除雪问题的数学模型

除雪问题
摘要：
本文是针对除雪机清扫路面问题进行建模与求解分析，具体分析了降雪速度的变化对积雪厚度的直接影响及对除雪机除雪速度造成的间接影响。

模型Ⅰ：
分为三种情况
1、降雪的速度始终为降雪的最大速度即v=10^-3m/s；
2、降雪的速度开始为最大速度v=10^-3m/s，之后降雪速度以线性关系递减；
3、降雪速度先从0开始以线性关系递增至最大速度v=10^-3m/s，再以线性关系递减至0。

模型II：
通过建立降雪速度和积雪厚度的微分方程模型，得出降雪时间与积雪厚度的函数关系，进而求得除雪机无法工作时的降雪强度系数。

关键词：
降雪强度系数降雪速度积雪厚度除雪速度微分方程
问题重述：
冬天，一台除雪机负责清除10km长的一条公路上的积雪。

一般当公路面积雪达0.5米时，除雪机就开始工作。

如果开始除雪后降雪仍然继续，随着路面积雪的加厚，除雪机工作的速度将逐渐降低。

当积雪达1.5m时除雪机将不能行动，被迫中止工作。

显然降雪速度的大小直接影响着除雪机的工作。

那么，在雪天，除雪机是否能顺利完成10公里长的路面的除雪工作？当降雪多大时除雪机将无法继续进行工作？
我们可以了解到的情况和有关数据如下：
（1）除雪机开始工作后降雪开始持续一个小时。

（2）降雪速度可能随时间变化，最大时积雪的增加量是0.1cm/s。

（3）积雪厚度达到1.5m时除雪机将无法进行工作。

（4）除雪机在无雪的路面上行驶的速度是10m/s。

问题分析：
对该问题的分析有，首先是考虑降雪的速度是多少，降雪的快慢影响着积雪厚度。

当雪达到一定的厚度时除雪机将无法正常工作，积雪厚度也影响着除雪的进度。

由此可知除雪的进度是受多方面因素影响，通过找出降雪速度和积雪厚度的关系，除雪进度和积雪厚度的关系进行更进一步的分析。

问题假设：
1、总共下了一小时的雪。

2、下雪的速度是变化的，但下得最大时地面上雪深度的增加量为0.1cm/s。

3、当雪的深度达到1.5m时除雪机将无法工作。

4、在没有雪的路面上，除雪机的行驶速度为10m/s。

5、不考虑积雪的融化，除雪机的功率有限。

符号说明：
模型的建立与求解：
模型Ⅰ：
铲雪机在无雪的路面上行驶的速度是10m/s，而在积雪厚度H达到1.5m时铲雪机将无法进行工作，可以认为铲雪机无法工作时铲雪机的工作速度为0m/s；根据上述关系，建立如下方程：
15
.05.10;105.1;0(H V V H b b kV H C C C -=
==+=得为常数）
情景一：
假设：降雪速度为匀速s V =0.1cm/s ，除雪机的速度C V 和积雪的厚度H 成线性关系，在积雪的厚度为h =0.5m 时，除雪机开始工作，将除雪机开始工作的时间记为零时刻，于是积雪的厚度与时间的关系为： c t H 3105.0-+=（31000≤≤c t ） 注：当除雪机开始工作即积雪厚度m h 5.0=时，降雪时间s V h t s s 50010
5
.03===-，所以得出c t 的范围。

建立积雪厚度与除雪车速度的关系：150
320c
C t V -=,其图像如图二所示
当c V 为零时，所得c t =1000s
图一 除雪速度与积雪厚度的函数关系
图二 积雪厚度与除雪车速度的图像
10
5
则S=⎰
1000
c c dt V =3.33310⨯m ＜m 4101⨯
所以除雪车在情景一下不能完成10公里长的路的除雪工作。

情景二：
假设：a 、积雪厚度达到0.5m 前，降雪速度为s m V S /103-=，达到0.5m 后开始
衰减。

基于情景一知m h 5.0=时，s t s 500=，得：降雪强度系数1a =3100103
--，所
以降雪速度c S t V 3100
10103
3
---=（31000≤≤c t ），此时积雪厚度25.0c
S t V H +=（31000≤≤c t ），由模型Ⅰ得15
.05.1H
V C -=
15
.0)
21
5.0(5.1c s c t V V +-=
,如图三所示：
2
5.0c
S t V H +
=令H=1.5；解得i 1948.72 1550. t i 1948.72 - 1550. t c c +==或。

无实根所以积雪厚度不可能达到1.5m 又由图像看出0≠c v ，所以在假设a 的情景下能完成10公里长的路的除雪工作。

b 、降雪速度的初始速度为s m V S /103
-=，之后以降雪强度3600
103
2-=a 一直衰减，
图三 除雪车速度与积雪厚度关系
此时降雪速度s S t V 3600
10103
3
---
=（36000≤≤s t ）又2s S t V H =然后画出积雪厚度关于降雪时间的图像如图四所示:
由图像可以看出m 5.1＜H ，所以在假设b 的情景下能完成10公里长的路
的除雪工作。

情景三：
假设：在这一个小时之内，降雪的初始速度为0m/s ，之后速度逐渐递增至
s m V S /103-=，以此速度持续一段时间后逐渐递减为0m/s.在此基础上做出降雪速度随时间变化的草图如图五：
图四 积雪厚度与降雪时间的关系
图五 降雪速度随时间变化的草图
再降雪速度达到1V 之前，降雪强度系数13310t a -=，=1V s t t 13
10-，降雪速度当达
到2V 后降雪强度系数234360010t a -=-，)(360010223
2t t t V s --=-。

所以积雪厚度的表达式如下：
当10t t s ≤≤时，t t H 1
3
1021-⨯=
当21t t t s ≤≤时，312
11
310)(1021--⨯-+⨯⨯=t t t t H
当36002≤≤t t 时，))(360010(2110)(10212233
122113t t t t t t t H --⨯+⨯-+⨯⨯=---
假设s t t 180021==，即以降雪最大速度s m V s /103-=持续时间最短； 当5.0=H 时，解得s t s 1341=；
当5.1=H 时，解得77.25601=s t ，23.46392=s t （舍）； 将H 代入15
.05.1H V c -=
； 15
.0)
1800)(180010103(2110180021[5.133
3--⨯+⨯⨯-=---s s c t t V
m m dt V s c 10000577477
.25601341
<=⎰
所以，除雪车在情景三下不能完成10公里长的路的除雪工作
模型Ⅱ
假设降雪强度从初始的最大降雪速度s m V S /103-=以降雪强度系数a 进行衰减，所以S V =s at --310，又将积雪厚度与降雪速度建立微分方程模型，可得
dH=s S dt V ，解得H=2
102
3
s s at t --，又H ≤1.5m ，所以解得a ≥3106-，因此在a=
3106
-左右除雪机不能完成规定的除雪任务。

H 与s t 的图像如图六所示：
8.
106
6.
106
4.
106
2.
106
模型的优缺点及改进方向
1．模型的优点
模型中很好的利用图像分析得除结果，解决了由于出现除0现象（因为求解结果非常接近于0）而无法求解的问题；
建立起降雪速度的变化对积雪厚度的函数关系及对除雪机除雪速度造成的间接影响的函数关系。

2.模型的缺点
在模型I 中对降雪速度进行了理想化假设，但在自然状态下不会出现这种情况;
模型II 求解结果在a= 3
106
左右，而没有确定所有的满足条件的a 的值.
模型的改进及推广
在模型1和模型II 中进行了比较合理的讨论，得出了相应的结论。

但是没有考虑到积雪的融化速度以及除雪车的功率是否变化，同时数据较少，没有进行对于类似降雪速度、除雪车的速度以及对于雪的大小形状的数据分析
参考文献：
《大学数学实验》，杨爱民，刘春凤、屈静国主编，科学出版社。

《数学建模案例精选》，朱道元主编，科学出版社。

附录：
Plot[{h=-0.15v+1.5},{v,0,10}]
Solve[1-1/2*(10^-3-10^-3/3100 t)t 0,t]//N
图六 H 与s t 的关系
Plot[{1-1/2*(10^-3-10^-3/3100 t)t},{t,0,3100}] Plot[{20/3-t/150},{t,0,3100}]
Plot[{1/2*(10^-3-10^-3/3600 t s)*t s},{t s,0,3600}] Plot[{(2*10^-3*t-3)/t2},{t,0,4000}]。