高考数学压轴专题营口备战高考《空间向量与立体几何》图文解析

新《空间向量与立体几何》专题解析
一、选择题
1．三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若
//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的
几何体的体积为（ ） A ．
39
B ．
33
C ．
13
D ．3
【答案】B 【解析】
根据题意画出如图所示的几何体：
∴三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体为三棱锥F ABC - ∵ABC 为正三角形，2AB = ∴132232ABC S ∆=
⨯⨯⨯= ∵CD ⊥底面ABC ，//AE CD ，2CD AE == ∴四边形AEDC 为矩形，则F 为EC 与AD 的中点 ∴三棱锥F ABC -的高为
1
12
CD = ∴三棱锥F ABC -的体积为13
313V =⨯⨯=
故选B.
2．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒
∠=∠=，则异
面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
A 3
B ．
66
C 3
D ．
36
【答案】B
【解析】 【分析】
设1AA c
=u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v
，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解出11AB BC ⋅u u u v u u u u v 和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB
BC <>u u u v u u u u v
，即可得所
求角的余弦值. 【详解】
设棱长为1，1AA c =u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v
由题意得：12a b ⋅=v v ，12b c ⋅=v v ，12
a c ⋅=v v
1AB a c =+u u u v v v Q ，11BC BC BB b a c =+=-+u u u u v u u u v u u u v v v v
()()
221111
11122
AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=u u u v u u u u v v v v v v v v v v v v v v v v
又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+=u u u v v v v v v v
(
)
2
22212222BC b a c
b a
c a b b c a c =
-+=++-⋅+⋅-⋅=u u u u v
v v v v v v v v v v v v
111111
6
cos ,6AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅u u u v u u u u v
u u u v u u u u v u u u v u u u u v
即异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为：66
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.
3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )
A ．
132
π
B ．7π
C ．
152
π
D ．8π
【答案】B 【解析】 【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可． 【详解】
由题意可知：几何体是一个圆柱与一个1
4
的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2， 可得：该几何体的表面积为：
221
41212274
ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯=．
故选：B ． 【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
4．在以下命题中：
①三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r
共面；
②若两个非零向量a r ，b r 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a r ，b r
共线； ③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--u u u r u u u r u u u u r u u u u r
，则P ，
A ，
B ，
C 四点共面
④若a r ，b r
是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠r r r ，则{},,a b c r r r 构成空
间的一个基底
⑤若{}
,,a b c r r r 为空间的一个基底，则{}
,,a b b c c a +++r r r r r r
构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论. 【详解】
①由空间基底的定义知，三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r
，
c r
共面，故①正确；
②由空间基底的定义知，若两个非零向量a r ，b r
与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a r ，b r
共线，故②正确；
③由22221--=-≠，根据共面向量定理知,,,P A B C 四点不共面，故③错误；
④由c a b λμ=+r r r ，当1λμ+=时，向量c r 与向量a r ，b r
构成的平面共面，则{}
,,a b c r r r 不
能构成空间的一个基底，故④错误；
⑤利用反证法：若{}
,,a b b c c a +++r r r r r r
不构成空间的一个基底， 设()()(
)1a b x b c x c a +=++-+r r r r r r ，整理得()1c xa x b =+-r r r ，即,,a b c r r r
共面，又因{}
,,a b c r r r 为空间的一个基底，所以{
}
,,a b b c c a +++r r r r r r
能构成空间的一个基底，故⑤正确.
综上：①②⑤正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题．
5．已知圆锥的母线与底面所成的角等于60°，且该圆锥内接于球O ，则球O 与圆锥的表面积之比等于（ ） A ．4：3 B ．3：4 C ．16：9 D ．9：16
【答案】C 【解析】 【分析】
由圆锥的母线与底面所成的角等于60°，可知过高的截面为等边三角形，设底面直径，可以求出其表面积，根据圆锥内接于球O ，在高的截面中可以求出其半径，可求其表面积，可求比值． 【详解】
设圆锥底面直径为2r ，圆锥的母线与底面所成的角等于60°，
则母线长为2r ， 则圆锥的底面积为：2r π，侧面积为1
222
r r π⋅， 则圆锥的表面积为2
21
2232
r r r r πππ+
⋅=， 该圆锥内接于球O ，则球在圆锥过高的截面中的截面为圆，即为边长为2r 的等边三角形的
内切圆，则半径为R =，表面积为22
1643r R ππ=
， 则球O 与圆锥的表面积之比等于2
216:316:93
r r ππ=，
故选：C ．
本题考查圆锥的性质，以及其外接球，表面积，属于中档题．
6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点.若AM ⊥平面α，且
B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（ ）
A ．3225+
B ．442+
C ．2225+
D ．62
【答案】A 【解析】 【分析】
根据线面垂直确定平面α，再根据截面形状求周长. 【详解】
显然在正方体中BD ⊥平面11ACC A ,所以BD ⊥ AM ,
取AC 中点E, 取AE 中点O,则11
tan tan AOA ACM AO AM ∠=∠∴⊥, 取A 1C 1中点E 1, 取A 1E 1中点O 1,过O 1作PQ//B 1D 1,分别交A 1B 1,A 1D 1于P ,Q 从而AM ⊥平面BDQP ,四边形BDQP 为等腰梯形， 周长为22222123225++⨯+=+，选A. 【点睛】
本题考查线面垂直判断以及截面性质，考查综合分析与求解能力，属难题.
7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 分别是AB 、11B C 的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为（ ）
A 3
B ．
13
C ．
5829
D ．
387
29
【答案】C 【解析】
取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF ，推导出四边形BDFE 为平行四边形，可得出
//BE DF ，可得出异面直线BE 与CD 所成的角为CDF ∠，通过解CDF V ，利用余弦定理可求得异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值. 【详解】
取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF .
易知EF 是111A B C △的中位线，所以11//EF A B 且111
2
EF A B =
. 又11//AB A B 且11AB A B =，D 为AB 的中点，所以11//BD A B 且111
2
BD A B =
，所以//EF BD 且EF BD =.
所以四边形BDFE 是平行四边形，所以//DF BE ，所以CDF ∠就是异面直线BE 与CD 所成的角.
因为4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 、F 分别是AB 、11B C 、11A C 的中点， 所以111122C F AC =
=，111122
B E B
C ==且C
D AB ⊥. 由勾股定理得2
2
442AB =
+=2242
AC BC CD AB ⋅=
== 由勾股定理得2222115229CF CC C F =+=+=
2222115229DF BE BB B E ==+=+=.
在CDF V 中，由余弦定理得(
(
2
2
2
29
2229
58cos 22922
CDF +-∠==
⨯⨯.
故选：C. 【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.
8．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
643
π B ．8316π
π+
C ．28π
D ．82163
π
π+
【答案】B 【解析】 【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积22221183242231633V r h r l πππππ=⋅+⋅=⋅+
⋅⋅=+，故选B ．
【点睛】
本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上一点且12CE EC =，则异面直线AE 与
1A B 所成角的余弦值为（ ）
A ．
1144
B ．
1122
C ．
211
44
D ．
1111
【答案】B 【解析】 【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值． 【详解】
解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设3AB =，则()3,0,0A ，()0,3,2E ，()13,0,3A ，()3,3,0B
，
()3,3,2AE =-u u u r ，()10,3,3A B =-u u u r
，
设异面直线AE 与1A B 所成角为θ， 则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为：
1111
cos 2218AE A B AE A B
θ⋅===⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查利用向量法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般.已知1l 的方向向量为a r
，2
l
的方向向量为b r
，则异面直线12,l l 所成角的余弦值为a b a b
⋅⋅r r r r .
10．已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是（ ）
A ．m l ⊥，m β⊂，l α⊥
B ．m l ⊥，l αβ=I ，m α⊂
C ．//m l ，m α⊥，l β⊥
D ．l α⊥，//m l ，//m β
【答案】D 【解析】 【分析】
A ，有可能出现α，β平行这种情况.
B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况.
C ，根据面面平行的性质定理判断.
D ，根据面面垂直的判定定理判断. 【详解】
对于A ，m l ⊥，m β⊂，l α⊥，则//αβ或α，β相交，故A 错误； 对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；
对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，由因为l βαβ⊥⇒∥，故C 错误； 对于D ，l α⊥，m l m α⇒⊥∥，又由m βαβ⇒⊥∥，故D 正确. 故选：D 【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
11．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到
；，
，∴
和
没有公共点，∴
，即
能得到
；∴“
”是“
”的必要不充分条件．故选B ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于
，而
，
并且
，显然能得到
，这样即可找出正确选项.
12．设A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，ABC ∆是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D ABC -体积的最大值为27，则该球的表面积为（ ） A ．36π B ．64π
C ．100π
D ．144π
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意画出图形，求出三棱锥D ABC -的外接球的半径，代入表面积公式求解． 【详解】 解：如图，
ABC ∆是斜边BC 长为6的等腰直角三角形，则当D 位于直径的端点时，三棱锥D ABC -体积取最大值为27，
由AB AC =，AB AC ⊥，6BC =，可得斜边BC 上的高3AE =，32AB AC ==， 由11
32322732
DE ⨯
⨯⨯⨯=，解得9DE =， 则2
1AE EF DE
==．
∴球O 的直径为10DE EF +=， 则球O 的半径为
1
1052
⨯=． ∴该球的表面积为245100S ππ=⨯=． 故选C ． 【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
13．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ） A ．若，与所成的角相等，则
B ．若，，则
C ．若，，则
D ．若，
，则
【答案】C
【解析】 试题分析：若，与所成的角相等，则或，相交或，异面；A 错. 若，，则或，B 错. 若，，则正确. D ．若，，则 ，相交或，异面，D 错
考点：直线与平面，平面与平面的位置关系
14．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D 是11A B 的中点，则AD 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ）
A ．55
B ．255
C ．1010
D ．1510
【答案】D
【解析】
【分析】
先找出直线AD 与平面11BCC B 所成角，然后在1B EF V 中，求出1sin EB F ∠，即可得到本题答案.
【详解】
如图，取AB 中点E ，作EF BC ⊥于F ，
连接11,B E B F ，则1EB F ∠即为AD 与平面11BCC B 所成角.
不妨设棱长为4，则1,2BF BE ==，
13,25EF B E ∴==
1315sin 25EB F ∴∠=
=. 故选：D
【点睛】 本题主要考查直线与平面所成角的求法，找出线面所成角是解决此类题目的关键.
15．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）
A ．PA ，P
B ，P
C 两两垂直
B ．三棱锥P -AB
C 的体积为83 C ．||||||6PA PB PC ===
D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为35
【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图，然后再计算可得.
【详解】 解：根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图如图所示，
其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC .
所以三棱锥P -ABC 的体积为114222323
⨯⨯⨯⨯=， 2AC BC PD ∴===，22
22AB AC BC ∴=+=，||||||2DA DB DC ∴===()22||||||226,PA PB PC ∴===+=
222
PA PB AB +≠Q ，PA ∴、PB 不可能垂直，
即,PA ,PB PC 不可能两两垂直， 1222222PBA S ∆=⨯=Q ()22161252
PBC PAC S S ∆∆==-=Q
∴三棱锥P -ABC 的侧面积为2522
故正确的为C.
故选：C.
【点睛】 本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.
16．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A ．
B ．12π
C ．
D ．10π
【答案】B
【解析】 分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解：根据题意，可得截面是边长为
的圆，且高为，
所以其表面积为22212S πππ=+=，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
17．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1
三棱柱的高为
A ．323π
B ．163π
C ．83π
D ．643
π 【答案】A
【解析】
【分析】
求得该直三棱柱的底面外接圆直径为22r ==，再根据球的性质，求得外接球的直径2R =，利用球的体积公式，即可求解.
【详解】
由题意可得该直三棱柱的底面外接圆直径为221r r ==⇒=，
根据球的性质，可得外接球的直径为24R ===，解得2R =， 所以该三棱柱的外接球的体积为343233
V R ππ=
=，故选A. 【点睛】
本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的性质的应用，其中解答中找出合适的模型，合理利用球的性质求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
18．等腰三角形ABC 的腰5AB AC ==，6BC =，将它沿高AD 翻折，使二面角B AD C --成60︒，此时四面体ABCD 外接球的体积为（ ）
A ．7π
B ．28π
C D
【答案】D
【解析】
分析：
详解：由题意，设BCD ∆所在的小圆为1O ，半径为r ，
又因为二面角B AD C --为060，即060BDC ∠=，所以BCD ∆为边长为3的等边三角形， 又正弦定理可得，03223sin 60r ==，即23BE =， 设球的半径为R ，且4=AD ， 在直角ADE ∆中，()22222244(23)28R AD DE R =+⇒=+=，
所以7R =，所以球的体积为3344287(7)333
V R πππ==⨯=，故选D ．
点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.
19．由两个14
圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．π3
B ．π2
C ．π
D ．2π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。

【详解】
由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2， 则21122V ππ=⋅⨯=， 故答案选C 。

【点睛】 本题主要考查根据几何体的三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。

20．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )
A ．15
B ．5
C ．6
D ．10 【答案】D
【解析】
【分析】
取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．
【详解】
由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,
所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，
设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===，
设直线AM 与1C N 所成角为θ，
在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 42522
θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为10，故选D ．
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．。