双曲线及其标准方程 2

|MF1|+|MF2|=2a
方程
x2 y 2 x2 y 2 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b y 2 x2 y 2 x2 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
焦点

1 1

例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地
晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
例3 已知双曲线的焦点在x轴上，并且双曲线上
的两点P1、P2的坐标分别（ 2 , 3）， 15 （ 3 , 2 ），求双曲线的标准方程。
设法一：
设法二：
变式 已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为
（ 2 , 3），（ 标准方程。
15 3
, 2），求双曲线的
课时小结：
1、双曲线及其焦点，焦距的定义，双曲线的标准方程 以及方程中的abc之间的关系 2、焦点位置的确定方法 3、求双曲线标准方程关键（定位，定量）
如图所示，建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上，并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y)， 则 PA PB 340 2 680 A o B x 即 2a=680，a=340 AB 800 2c 800, c 400, b2 c 2 a 2 44400 800 PA PB 680 0 , x 0 x 2 y2 1( x 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400
m＜－2 双曲线，则实数m的取值范围是______________
变式: 上述方程表示双曲线，则m的取值范围是 m＜－2或m＞－1 __________________ 求适合下列条件的双曲线的标准方程 ①a=4,b=3，焦点在x轴上； 2 y2 x 16 9 ②焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5) y2 x2 20 16
双曲线及其标准方程
新课引入
我们以前学过什么函数,它的图象是双曲线
y
o
x
动画
探索研究
椭圆的定义？
Y
平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数（大于 ｜F1F2｜）的点轨迹叫做椭圆。
M x, y
F1 c, 0
O
F2 c, 0 X
思考：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？ 即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么？
y
M F2
x
F1
| ( y c) x ( y c) x | 2a.
2 2 2 2
化简为：
c a b
2 2
2
三.双曲线两种标准方程的比较
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y
M F1 O F2
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y
x y 1 所求轨迹的方程为： 9 16
2
2
1.若 PF1 PF2 6呢？
x2 y 2 1( x 0) 9 16
2.若 PF1 PF2 10呢？
两条射线 轨迹不存在
3.若 PF1 PF2 12呢？
随堂练习
已知方程
x 2 m
2

y2 m 1
1 表示焦点在y轴的
3.列式． |MF1|
2
|
- |MF2||= 2a
2 2 2
即 ( x c) y ( x c) y 2a. 2 2 x y 4.化简. 2 2 2 即 2 2 1. b c a a b


• 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么？
F1 (0,-c) , F2 (0,c)
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
讨论：
当 m、n取何值时，方程 mx2 ny 2 1表示椭圆， 双曲线，圆 。
解：由各种方程的标准方程知， 当 m 0, n 0, m 当m
此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
F1 F2 ②若2a>2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么？ 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
F1
Байду номын сангаасF2
双曲线的定义
平面内与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等 于常数（小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
1 2
F1,F2 -----焦点 |F1F2| -----焦距记为2c
F1
M
F2
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(这里c>a)
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴， 线段F1F2的中点o为原点建立直角 如何求这优美的曲线的方程？ 坐标系 2.设点． 设M（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
F1
y
M O
F2
x
常数为2a
n 时方程表示的曲线是椭圆
n 0 时方程表示的曲线是圆
当 m n 0 时方程表示的曲线是双曲线
例题分析
例1:求适合下列条件的双曲线的标准方程。 （1）a=4,c=5,焦点在y轴上 （2）焦点为(-5,0),(5,0),且b=4
例题分析
例2. 已知 F1 (5, 0), F2 (5, 0) , 动点 P 到 F 、F2 的 1 距离之差的绝对值为6，求点 P 的轨迹方程.
电脑演示
看图分析动点M满足的条件： ①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面 两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支。
分3种情况来看： ①若2a=2c,则轨迹是什么？
M
F2
x
O
x
F1
① 方程用“－”号连接。 ② 分母是 a ③
2
, b2 , a 0, b 0 但 a, b
。
大小不定。
c 2 a 2 b2
2
④如果 x 的系数是正的，则焦点在 焦点在 y轴上。
x
轴上；如果
y 2的系数是正的，则
四、双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a