6-work

（1）重力势能： （2）引力势能：
重力势能通常以地面 为零势能点。
（3）弹性势能：
弹性势能以弹簧原长为 零势能点。
引力势能以两质点相 距无穷远为零势能点。
E pg mgz mgh
E pG G
Mm r
E pk
1 2
kx 2
注意：零势能点可以任意取，前述是一般取法。
27
小结：
17
●动量是矢量，它与速度的大小和方向都有关， 动能是标量，它与速度的大小有关，而与速度的方向无关。 ●动量的增量= 外力的冲量，与内力无关； 动能的增量= 外力和内力作的总功，与内力有关。 ●动量有守恒定律，动能没有守恒定律，这是因为还要考虑 势能。
18
• 下面看几个特殊的力的功
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（1）重力的功
x1 2( m ) 处运动到 x 2 3( m ) 处该力作的功？
W
( F dx F dy) (2 ydx 4dy) 2 ydx 4 dy
x y (L) (L)
2 y1
3
y2
（2） 质点的运动轨道为抛物线：
x 4y
2
要统一积分变量
w L1
f 1 d (r 1 r 2 )
r 2 r 1 r 21 两质点间的相对位置 r 1 r 2 r 12
f2
v
一对作用力和反作用力所作功之和等于一个质点所受的力在两质点 间的相对位移上所作的功，并不一定等于零！
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W外＋W内＝EK2 – EK1 所有外力对质点系做的功和内力对质点 系做的功之和等于质点系总动能的增量。 即： 外力的功之和＋内力的功之和 ＝系统末动能－系统初动能
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ACB
F dr

ADB
F dr
A
C
AC B D A
W F dr 0
l
D
B
质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作的功为零．
非保守力：力所作的功与路径有关．（例如摩擦力）
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三
势能
保守力的功 W ( E p 2 E p1 ) E P ——保守力作功，势能减少 P1 F dr ( EP 2 EP1 ) 与质点位置有关的能量． E p1 0 势能计算 F dr 令 E p1 0 E p
I , 引起 p 变化 W , 引起 E k 变化
F F
14
W
1 2
mv
2 2
1 2
mv12 E k 2 E k1
合外力对质点所作的功，等于质点 动能的增量 ——质点的动能定理
说明：
1、动能是状态量，任一运动状态对应一 定的动能(类似于动量) 2、功是过程量。 3、EK为动能的增量，增量可正可负，视功的正负而变。
k
保守力等于相应的势能函数的梯度的负值（势能曲线 斜率的负值）。
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四
势能曲线 E p E p ( x, y , z) 1 2 E p mg z Ep k x 2
m' m E p G r
Ep
Ep
O
Ep
x
O
z
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
z 0, E p 0
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二
保守力与非保守力
保守力作功的数学表达式
保守力所作的功与路径无关，仅决定 于始、末位置．
重力作功
W ( mgz b mgz a )
m'm m'm W ( G ) ( G ) rB rA
引力的功
1 2 1 2 弹力的功 W ( kx B kx A ) 2 2
P2
保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值
( p)
选取 r0为势能零点，即 EP 0 0 ，那么空间 某点的势能等于质点从该点移动到势能零点 位置时保守力所作的功，
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Ep

E p1 0
( p)
F dr
选取 r0为势能零点，即 EP 0 0 ，那么空间 某点的势能等于质点从该点移动到势能零点 位置时保守力所作的功，
2
注意：系统动量守恒的条件
1、充分必要条件是： F外 0
2、近似条件是： F外﹤﹤ f内
3、部分条件是：合外力在某个方向上的分矢量 为零，在该方向的分动量则是守恒的。
3
力的累积效应
F (t )对 t积累 I , p F 对 r积累 W , E
0 90 , dW 0
o o
正功 负功
90 o 180 o , dW 0 o 90 F dr dW 0
(2) 作功的图示
F cos
W F cos ds
s1
s2
o s1
ds
s2
s
7
（3）功是力的作用对空间的积累，功是一个过程量，与路径有关． （4）合力的功，等于各分力的功的代数和．
W m a ds m
s1 t s1 s2 s2
A
v1
θ
dv dt
dr
B
ds mv dv

1 2
mv
2 2
1 2
2 mv1
F
1 2
v2
力F 在位移dr 上的作用引起质点物理量
mv 2
的变化。
13
Ek
1 2
m 2
dt dr
描述质点运动状态的物理量 ——动能
2
2
3
1
9/4
x 2 dx
4 dy 10 .8( J )
1
11
质量为 2 kg 的质点在力 F 12 t i (SI) ＝ 的作用下，从静止出发，沿 x 轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。
例2
解
v v0 adt 0
0
t
t
F m
0
dt
t
12 t 2
B
dri
B
i
dr
*
W
A
B F dr F cos ds
A

解析式：
B
dr1 1 F 1 * A
F
Fi
W ( Fx dx Fy dy Fz dz ) ——线积分
A
6
讨论
(1)功等于质点受的力和它的位移的标积.功是标量，功的正、负
W P t （瓦特）
1
1 W 1 J s
1 kW 10 W
3
9
例 1 作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j ( N ) 求质点从
x1 2( m ) 处运动到 x 2 3( m ) 处该力作的功？
W
( F dx F dy) (2 ydx 4dy)
m'm F G 2 er r
A
rA
r
rB
m
dr
m'
r dr
B
r
万有引力作功仅与 作功路径的始末位 rB m'm 1 1 W G 2 dr Gm ' m ( ) 置有关，与路径无 rA rB rA 关 r

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(3)
F kx i
x 0, E p 0
r , Ep 0
30
弹性势能曲线
Ep
1 2
Ep
k x2
EP EP EP F Fx i Fy j Fz k x i y j z
k
x
O
Fx
E P
<0 x
由势能曲线上各点的斜率大小和正负，可以判定物 体所受保守力的大小和方向。
上节回顾： t2 冲量 I Fdt mv2 mv1 P
t1
1、冲量是力的作用对时间的积累； 2、质点的动量定理：质点所受冲量=其动量的增量；
3、质点所受平均冲力 Fx
mvx 2 mvx1 t
4、一对作用力与反作用力的冲量的矢量和为零； 5、系统所受合外力的冲量=系统动量的增量； 6、当系统所受合外力为零时，系统的总动量将保持 不变。——这就是动量守恒定律。
质点系的动能定理是不是可以写出来？
15
质点系的动能定理 W外＋W内＝EK2 – EK1
一对作用力和反作用力的功是否为零？
？
f1
dW内 f 1 d r 1 f 2 d r 2
f1 f
2
dW内 f 2 ( d r 2 d r 1 ) f 2 d ( r 2 r 1 )
x y (L) (L)

2
2 ydx 4 dy
y1
3
y2
（1） 质点的运动轨道为直线：
3
4y x 6
9/4
要统一积分变量
WL 2
2
2 ( x 6) dx 4 dy 21 .25 ( J )
1
1
10
例 1 作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j ( N ) 求质点从
t2 I F dt p
t1
F
F
F dr
4
一
1
功
恒力作用下的功 W F cos r
F r

F
r
功等于质点受的力和它的位移的点积
位移无限小时： dW F d r