山东省济南市届高三年级第一次模拟考试数学(理)

山东省济南市
2010 届高三年级第一次模拟考试
数学试卷（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

共150 分，测试时间120 分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60 分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号，考试科目用 2B 铅笔涂写在答题卡上。

2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案，不可以答在测试卷上。

一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只
有一项为哪一项切合题目要求的。

1．已知全集U R,会合A{ x | 3 x 7}, B { x | x27x 10 0}, 则e R ( A B) =
（）
A ．,3(5, )B．,35,
C．,35,D．,3(5,)
18 2．一次选拔运动员，测得7 名选手的身高（单位cm）散布茎叶图如图，
170 1
0 3 x 8 9
记录的均匀身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x 的值为（）
A ．5B．6C．7D．8
3．函数 f ( x) tan x
1
, x { x |x 0或0 x} 的图像为（）tan x22
4．曲线 y
2x x 3 在x
1 处的切线方程为
（
）
A ． x y 2 0
B ． x
y 2 0 C ． x y 2 0 D ． x y 2 0
5．已知各项不为
0 的等差数列
{ a }, 知足 2a
a 2 2a
0, 数列 {b } 是等比数列，且
n
3
7
11
n
b 7 a 7 ,则 b 6 b 8 =
（ ）
A ． 2
B ． 4
C ． 8
D ． 16
6．已知复数 z 1
m 2i, z 2
3 4i ,若
z 1
为实数，则实数 m 的值为 （
）
z 2
8
3
8
D ．—
3
A ．
B ．
C ．—
2
3
2
3
7．将函数 y
sin 2x
cos 2x 的图象向左平移
个单位，所得图像的解读式是
（
）
4
A ． y cos2x sin 2x
B ． y cos 2x sin 2x
C ． y
sin 2x
cos2x
D ． y
cos x sin x
8．若椭圆
x 2
y 2 1(a b 0) 的离心率为
3 ，则双曲线 x
2
y 2 1的渐近线方程
为
a 2
b 2
2
a 2
b 2
（ ）
A ． y
1 x B ． y
2x
C ． y
4x
D ． y
1 x
2
n
5
4
9．在如下图的程序框图中，假如输入的
，那么输出的 i=
（
）
A ． 3
B ． 4
C ． 5
D ． 6
10．已知三棱锥的三视图如下图，则它的外接球表面积为（）
A ．16
B ． 8C． 4D． 2
11 ．设函数f ( x)定义在实数集上，f (2x) f (x), 且当 x1时, f (x)ln x ，则有
（）
A ．f (1
) f (2) f (
1
)B．f (
1
) f (2) f (
1
) 3223 11
f (2)D．f (2)
11
C．f ( ) f ( ) f ( ) f ( )
2323
2
x
2
12．已知椭圆y 1 的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于
A 1A 2的直线交椭圆于P，则使得PF PF 0 的M点的概率为
12
（）
2
B ．2661
A ．
3C．D．
332
第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）
二、填空题：本大题共 4 个小题，每题 4 分，共 16 分。

将答案填在题中横线上。

x y1
13．已知变量x, y知足拘束条件x y 2 则目标函数 z y 2x 的最大值为。

0y3
14．已知a(sin t cost )dt ,则( x 1
)6的睁开式中的常数项为。

0ax
15．在△ ABC 中，角 A 、 B、 C 对应的边分别为a、 b、 c，若AB AC BA BC 1，那么c=。

16．长方体的长、宽、高分别为a， b， c，对角线长为 l，则以下结论正确的选项是（全部正确的序号都写上）。

（ 1 ）l a b c ；（2） l 2a2b2c2；（3） l 3a3b3c3；（4）l 3a3b3c3 .
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分 12 分）
已知 a(sin x,cos x), b(cos x, 3 cos x),函数 f ( x) a b 3 .
2
（ 1）求f ( x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
（2）当0x时，求函数 f (x) 的值域。

2
18．（本小题满分12 分）
已知数列 { a n} 的各项为正数，前n和为
S n, 且 S n
a n (a n1)
2, n N .
（ 1）求证：数列{ a n}是等差数列；
（ 2）设b 1
,T b b b , 求 T .
n n12n n
2S n
19．（本小题满分12 分）
如图，在四棱锥P— ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠ BAD=60 °， M 为 PC 上一点，且 PA//平面 BDM ，
（1）求证： M 为 PC 的中点；
（2）求证：面 ADM ⊥面 PBC。

20．（本小题满分12 分）
济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园 4 个旅行景点，一位客人阅读这四个景点的概率分别是，，，，且客人能否旅行哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时旅行的景点数与没有旅行的景点数之差的绝对值。

（1）求 =0 对应的事件的概率；
（2）求的散布列及数学希望。

21．（本小题满分12 分）
已知定点 F (0,1) 和直线l1: y1，过定点F与直线 l1相切的动圆圆心为点C。

（1）求动点 C 的轨迹方程；
（2）过点 F 在直线 l2交轨迹于两点 P、 Q，交直线 l1于点 R，求RP RQ的最小值。

22．（此题满分14 分）
设函数 f (x) x2e x 11
x3x2 (x R). 3
（1）求函数y f ( x)的单一区间；
（2）求y f ( x)在 [— 1， 2]上的最小值；
n （ 3）当x(1, ) 时，用数学概括法证明：n N , e x 1
x .
n!
参照答案
1— 5 BDAAD 6 — 10 DBACC 11 — 12 CC
13 13
5 14
2
152
16124
171 f ( x)
sin x cos x
3 cos 2 x
3
.2
2
1
sin 2 x
3
(cos2 x 1) 3
1
sin 2x
3
cos2x
2
2
2
2
2
sin(2 x
)4
3
f ( x) .
5
sin(2 x
) 0, 得 2x k ,
x
k ,k Z . 3
2
3
6
( k
,0),( k Z ).8
2
6
20 x.
2
2
.10
2x
3
3 3
3
) 1
sin(2 x
2
3
f ( x)[
3
,1].12
2
a n ( a n 1)
N , n 1时 ,
181 S n
2 , n
a 1 (a 1 1)
a 1
11
S 1
,
2
2S n
a n 2 a n
2a n
2( S n S n
1 )
a n
2
a n
2
a n a n 13
2S n 1 a n 2
a n
1
1
1
( a n a n
1 )(a n
a
n 1
1) 0, a n
a
n 1
a n
a n 1 1, n 2{ a n }
6
21 a n
n, S n
n(n 1) , 因此 b n
1
1 8
2
2S n
n( n 1)
T n
b 1 b 2
b n
1
1
1 1 2
2 3
n(n
1)
1 1
1
1 1
1
n
12
1
2
3
n
n 1 1
1 n
2
n
1
191
AC AC BDGPAC ∩ BDM=MG
PA//BDMPA//MG
3
ABCDG AC
MGPAC MPC5
2ADOPOBO
PADPO AD
PADABCD
POABCD 7
ABCD BAD=60 ° ABD
AD OB
OA
OB OP
{OA,OB,OP}
7
则 A(1,0,0), B(0, 3,0), D ( 1,0,0), P(0,0, 3)
DP (1,0, 3), AB ( 1, 3,0)
DM
1
( DP
DC )
1 AB )
(0,
3 3 2 ( DP ,
)9
2
2
2
BP (0,
3, 3),CB DA (2,0,0)
DM BP
3 3 0, DM CB
0 0
2 2
DM BP,DM CB 11
山东省济南市届高三年级第一次模拟考试数学(理)
DM PBC DM ADM
ADM PBC 12
201“”“”“
”“”A1A2A3A4 A1A2A3A4
P( A1)0.3,P( A2 )0.4, P( A3 )0.5,P( A4 )2
0 1 2 3 4
4 3 2 1 00 2 43
P(0) P(A1 A2 A3 A4)P(A1A2 A3 A4)P(A1 A2 A3 A4 )P(A1 A2 A3A4) P(A1 A2 A3 A4)P(A1 A2A3 A4)6
2P(4) P(A1A2 A3 A4 )P(A1 A2 A3 A4)8 P(
P(2) 1 P(0) P(
024
P
10
E =1.48.12
211C F l1
10/13
C
F l 1
2
x 2
4y 4
2l 2y
kx 1
y 得 x 2 4kx 4 0.
P( x 1 , y 1 ), Q( x 2 , y 2 ), 则x 1 x 2 4k, x 1 x 2
4.6
PQ k
0R (2
,1)
2
, y 1
2
, y 2
k
RP RQ (x 1
1) ( x 2
1)
k
k
( x 1
2
)( x 2
2) (kx 1 2)( kx 2 2)
8
k
k
(1 k 2
)x 1x 2 ( 2
2k )( x 1 x 2 ) 4
4
k 2 4
k 2 4(1 k 2 ) 4k( 2k) 4
k k 2
4(k 2 1 ) 8,
k 2
k 2
1 2k 2
1
11
k 2
RPRQ 4
2 8 16,即RP RQ
1612
221 f
(x) 2xe x 1 x 2 e x 1
x 2 2x
x( x
2)(e x 1 1)2
f (x)
0,可得x 1
2, x 2 0, x 3
1
x
(
, 2)
— 2
-2
0 0
(1, )
1 1
f ( x) —
+
—
+
f ( x)
y
f ( x)(
2,0) 和(1,
),
减区间为 (-
,-2) 和 (0,1)
5
2x
[ 1,2]时, f (
1) 1
2 0, f (2) 4(e
5
) 0
1
e 2 3
3
f ( x)极小
f ( 1),
f (1)
3
1 2
f ( x)在[
1,2]上的最小值为
e 2
8
3
n
3
g n e
x 1
x
,当 n 1时 ,只要证明 g 1 ( x) e x 1 x 0 n!
当 x (1, )时, g 1 ( x)
e x 1
1 0,
因此 g 1 ( x)
e x 1
x 在 (1,
)上是增函数 ,
g 1 (x) g(1) e 0 1 0,即 e x 1
x 10
当 x (1,
)时 ,假定 n k 时不等式建立 , 即 g k e x 1
x k 0,
k!
当 n k 1时,
由于 g k 1
e x 1
(k 1)x k
e x 1 e k 0,
(k 1)! k ! 因此 g k 1 (x)在 (1, )上也是增函数
因此 g k 1 (x) g k
1 (1) e
1
1
1 0
( k 1)!
(k 1)!
n
k 1
x (1,
)n N , e x 1
x n 14
n!。