2019-2020学年江西省宜春市相城中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2019-2020学年江西省宜春市相城中学高二数学文上学
期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 给出以下一个算法的程序框图（如图所示）：
该程序框图的功能是（）
A．求出a, b, c三数中的最大数 B．求出a, b, c三数中的最小数
C．将a, b, c 按从小到大排列 D．将a, b, c 按从大到小排列
参考答案：
B
2. 的展开式中，的系数可以表示从个不同物体中选出个的方法总数.下列各式的展开式中的系数恰能表示从重量分别为克的砝码（每种
砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为克的方法总数的选项是
（）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
A
3. 用数学归纳法证明：“”．从“到
”左端需增乘的代数式为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
分别列出和时左边的代数式，进而可得左端需增乘的代数式化简即可．【详解】当时，左端，
当时，左端，
从到时左边需增乘的代数式是：．
故选B．
【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4. 将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有（）
A． B． C． D．
参考答案：
B 解析：每个小球都有种可能的放法，即
5. 已知点，其中，，则在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是（）
A．6 B.12 C.8
D.5
参考答案：
A
6. 与命题“若则”的等价的命题是（）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
参考答案：
D
略
7. 过点（﹣3，2）且与=1有相同焦点的椭圆的方程是( )
A．=1 B．=1
C．=1 D．=1
参考答案：
A
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求出a，c，然后求出b，即可得到结果
【解答】解：由题意=1的焦点坐标（），
所以2a==2，
所以a=．
所以b2=15﹣5=10
所以所求椭圆的方程为：=1．
故选A．
【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，椭圆的定义的应用，考查计算能力．8. 下列命题中的假命题是( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
9. 若右边的程序框图输出的是126，则条件①可为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
10. 为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
则y
（）
A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝88＋x D．y＝176
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 集合，则____________.
参考答案：
-2
12. 在展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，则
， .
参考答案：
4；
13. 过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则POQ的面积为_________
参考答案：
2.
14. .P为抛物线上任意一点，P在轴上
的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为．
参考答案：
略
15. 以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线与椭圆有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条．
⑤过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）
参考答案：
①②④
【分析】①根据椭圆和双曲线的c是否相同即可判断．
②根据抛物线的性质和定义进行判断．
③根据双曲线的定义进行判断．
④根据抛物线的定义和性质进行判断．
⑤根据圆锥曲线的根据方程进行判断．
【解答】解：①由得a2=16，b2=9，则c2=16+9=25，即c=5，
由椭圆得a2=49，b2=24，则c2=49﹣24=25，即c=5，则双曲线和椭圆有相同的焦点，故①正确，
②不妨设抛物线方程为y2=2px（p＞0），
取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：
由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，
故圆心M到准线的距离等于半径，
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，故②正确，
③平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，
当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，∴故③不正确；
④过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）作直线l与抛物线相交于A、B两点，
当直线l的斜率不存在时，横坐标之和等于2，不合题意；
当直线l的斜率为0时，只有一个交点，不合题意；
∴设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l为y=k（x﹣1），
代入抛物线y2=4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0；
∵A、B两点的横坐标之和等于5，
∴=5，解得k2=，
∴这样的直线有且仅有两条．故④正确，
⑤设定圆C的方程为（x﹣a）2+（x﹣b）2=r2，其上定点A（x0，y0），设B（a+rcosθ，b+rsinθ），P（x，y），
由=（+）得，消掉参数θ，得：（2x﹣x0﹣a）2+（2y﹣y0﹣b）2=r2，即动点P的轨迹为圆，故⑤错误；
故答案为：①②④
16. 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
则以上两组数据的方差中较小的一个为= .
参考答案：
17. ，
则________
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦。

（1）当时，求的长。

（2）当弦被点平分时，求直线的方程。

参考答案：
（1）如图所示：
当时，
则，即
过O点作于H点
则，圆的半径
则
（2）点平分AB，则
，则，即
19. 已知椭圆C的两个焦点分别是(－2,0),(2,0)，并且经过.
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求与椭圆C相切且斜率为1的直线方程.
参考答案：
（I）设椭圆的方程为
由椭圆的定义，
……3分
椭圆的方程为；
……6分
（II）得,
与椭圆相切且斜率为的直线方程：
……12分
20. 已知函数的图象过点P（1,2），且在处取得极值（1）求a，b的值；
（2）求函数f(x)的单调区间；
（3）求函数f(x)在[－1,1]上的最值
参考答案：
（1）∵函数的图象过点P（1,2），
（1分）
又∵函数在处取得极值，
因
解得，（3分）
经检验是的极值点（4分）（2）由（1）得，
令＞0，得＜-3或＞，
令＜0，得-3＜＜，（6分）
所以，函数的单调增区间为，
单调减区间为（8分）
（3）由（2）知，在上是减函数，在上是增函数
所以在上的最小值为
，（10分）
又
所以在上的最大值为
所以，函数在上的最小值为，最大值为
（12分）
21. 已知动点P与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|＝|MB|，试求k的取值范围．
参考答案：
(1)∵x2－y2＝1，∴c＝. PF1|＋|PF2|＝a= b=1
∴P点的轨迹方程为＋y2＝1.
(2)设l：y＝kx＋m(k≠0)，则由，将②代入①得：(1＋
3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0 (*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点Q(x0，y0)的坐标满足：x0＝
即Q(－) ∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂线上，
∴k l k AB＝k·＝－1 ，解得m＝…③又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，
即 (6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0 ④，将③代入④得
12[1＋3k2－()2]＞0，解得－1＜k＜1，由k≠0，∴k的取值范围是k∈(－1，
0)∪(0，1).
22. 已知椭圆
（1）过椭圆右焦点作垂直于轴的直线AB，交椭圆于A,B两点，F1是椭圆的左焦点，求三角形AF1B的周长；
（2）已知点P是椭圆上一点，且以点P及焦点为顶点的三角形的面积等于1，求点P坐标.
参考答案：
（1）4
（2）
略。