高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第4讲 幂函数与二次函数课件

＝1 或 n＝－3，经检验只有 n＝1 符合题意．故选 B.
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(2)[2018·昆明模拟]设 a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则 a，b， c 的大小关系为( )
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
解析 由已知得 a＝80.1，b＝90.1，c＝70.1，构造幂函数 y＝x0.1，x∈(0，＋∞)，根据幂函数的单调性，知 c＜a＜b.
4ac－b2 4a .( × ) (4)当 α<0 时，幂函数 y＝xα 是定义域上的减函数．( × )
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2．[2018·济南诊断]已知幂函数 f(x)＝kxα 的图象过点
12， 22，则 k＋α＝(
)
1 A.2
B．1
3 C.2
D．2
解析 由幂函数的定义知 k＝1.又 f12＝ 22，所以12α＝
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2．幂函数的性质比较
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[必会结论] 1．一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是aΔ＞＜00，. (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是aΔ＜＜00，.
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触类旁通 确定二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数 法，选择规律如下：
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【变式训练 2】 已知二次函数 f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－ x)，且 f(0)＝0，f(1)＝1，求 f(x)的解析式．
() A．b<a<c
B．a<b<c
C．b<c<a D．c<a<b
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4
2
1
2
2
解析 因为 a＝2 3 ＝4 3 ，c＝25 3 ＝5 3 ，函数 y＝x 3 在
2
2
(0，＋∞)上单调递增，所以 4 3 <5 3 ，即 a<c，又因为函数
2
2
y＝4x 在 R 上单调递增，所以 4 3 <4 3 ，即 b<a，所以 b<a<c.
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考向 求二次函数的解析式 例 2 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1， 且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式． 解 解法一：(利用一般式) 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得a－b＋c＝－1，
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[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”)
(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( × ) (2)二 次 函 数 y＝ ax2 ＋ bx ＋ c(x∈R)，不可能是偶函
数．( × ) (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是
∴y＝f(x)＝ax－122＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
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解法三：(利用两根式) 由已知 f(x)＋1＝0 两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 f(x)max＝8，即4a－2a4－a 1－a2＝8. 解得 a＝－4 或 a＝0(舍)． ∴所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解析
由题意知aΔ><00，，
即a1>－02，0a<0，
解得Βιβλιοθήκη 1 a>20.2021/12/11
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板块 二 (bǎn kuài) 典例探究·考向突破
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考向 幂函数的图象与性质
例 1 (1)函数 f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数，且在 x
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5．[课本改编]函数 f(x)＝－x2＋4x＋1(x∈[－1,1])的最大 值等于____4____．
解析 因为对称轴为 x＝2∉[－1,1]，所以函数在[－1,1] 上单调递增，因此当 x＝1 时，函数取最大值 4.
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6．[课本改编]已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴 上方，则 a 的取值范围是____2_10_，__＋__∞____．
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4．[课本改编]函数 f(x)＝2x2－mx＋3，当 x∈[－2，＋
∞)时，f(x)是增函数，当 x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，
则 f(1)的值为( )
A．－3
B．13
C．7
D．5
解析 ∵m4 ＝－2，∴m＝－8，∴f(1)＝13.选 B.
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解 解法一：(一般式)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
c＝0， 则a＋b＋c＝1，
－2ba＝1
a＝－1，
⇒b＝2， c＝0，
∴f(x)＝－x2＋2x.
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解法二：(两根式)∵对称轴方程为 x＝1， ∴f(2)＝f(0)＝0，f(x)＝0 的两根分别为 0,2. ∴可设其解析式为 f(x)＝ax(x－2)． 又∵f(1)＝1，可得 a＝－1， ∴f(x)＝－x(x－2)＝－x2＋2x. 解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)， ∴可设其解析式为 f(x)＝a(x－1)2＋1. 又由 f(0)＝0，可得 a＝－1， ∴f(x)＝－(x－1)2＋1＝－x2＋2x.
22，解得 α＝12，从而 k＋α＝32.
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3．[课本改编]设 α∈－1，1，12，3，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
解析 α＝－1,1,3 时幂函数为奇函数，当 α＝－1 时定 义域不是 R，所以 α＝1,3.故选 A.
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命题角度 2 二次函数的最值 例 4 [2016·浙江高考]已知函数 f(x)＝x2＋bx，则“b<0” 是“f(f(x))的最小值与 f(x)的最小值相等”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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第2章 函数(hánshù)、导数及其应用
第4讲 幂函数(hánshù)与二次函数(hánshù)
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板块一
知识梳理(shūlǐ)·自主学习
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[必备知识] 考点 幂函数的图象和性质 1．五种幂函数图象的比较
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(2)当 a＝1 时，f(x)＝x2＋2x＋3， ∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为 x∈[－4,6]， 且 f(x)＝xx22＋ －22xx＋ ＋33， ，xx∈ ∈[0－，46，]，0]. ∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－4,0]．
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2．二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中 a≠0，顶点坐标为(－h， k))． (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中 a≠0，x1，x2 是二 次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标)．
b<0
或
b>2，所以“b<0”是“f(f(x))
的最小值与 f(x)的最小值相等”的充分不必要条件．故选
A.
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命题角度 3 二次函数中恒成立问题 例 5 [2018·石家庄模拟]设函数 f(x)＝ax2－2x＋2，对 于满足 1＜x＜4 的一切 x 值都有 f(x)＞0，则实数 a 的取值范
围为____12_，__＋__∞_____．
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解析 由 f(x)＞0，即 ax2－2x＋2＞0，x∈(1,4)，得 a ＞－x22＋2x在(1,4)上恒成立．
令 g(x)＝－x22＋2x＝－21x－122＋12， 1x∈14，1，所以 g(x)max＝g(2)＝12， 所以要使 f(x)＞0 在(1,4)上恒成立，只要 a＞12即可．
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解析
因为
f(x)＝
x2
＋
bx＝
x＋b2
2
－b2 4
，
其
最
小
值
为
f－b2＝－b42.因为 f(f(x))＝[f(x)]2＋b·f(x)＝fx＋b22－b42.因为
f(x)min＝－b42，若 f[f(x)]与 f(x)的最小值相等，当且仅当 f(x)
＝－b≥－b2时成立，解得 24
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【变式训练 1】 (1)已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－
3n(n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，
则 n 的值为( )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
解析 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n
4ac4－a b2＝8，
a＝－4，
解得b＝4， c＝7.
∴所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
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解法二：(利用顶点式) 设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线的对称轴为 x＝2＋2－1＝12. ∴m＝12.又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8.
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触类旁通 二次函数的最值及恒成立问题
(1)解决二次函数最值问题的思路：抓住“三点一轴” 数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称 轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可 完成．
(2)解决二次函数恒成立问题有两个解题思路：一是分 离参数，思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x) 恒成立⇔a≤f(x)min；二是不分离参数，对参数进行分类讨论．
故选 A.
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触类旁通 幂函数的图象特征
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条 线分第一象限为六个区域，即 x＝1，y＝1，y＝x 分区域．根 据 α<0,0<α<1，α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部 分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择 适当的函数，借助其单调性进行比较．
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考向 二次函数的图象和性质 命题角度 1 二次函数的单调性 例 3 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－4,6]上是 单调函数； (2)当 a＝1 时，求 f(|x|)的单调区间． 解 (1)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－ a，所以要使 f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4 或 －a≥6，即 a≤－6 或 a≥4.
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核心规律 1.幂函数 y＝xα(α∈R)的图象的特征 当 α＞0 时，图象过原点和点(1,1)，在第一象限图象上 升；
当 α＜0 时，图象过点(1,1)，但不过原点，在第一象限 图象下降．
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2.在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助二次函 数图象数形结合求解，一般从：①开口方向；②对称轴位置； ③判别式；④端点函数值的符号四个方面分析．
∈(0，＋∞)上为增函数，则实数 m 的值是( )
A．－1
B．2
C．3
D．－1 或 2
解析 f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒
m＝－1 或 m＝2.又 x∈(0，＋∞)上是增函数，所以 m＝2.
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2
1
(2)[2016·全国卷Ⅲ]已知 a＝2 3 ，b＝4 5 ，c＝25 3 ，则