第九章：离散时间系统的z域分析

(
z a
)
z sin 0 za sin 0 n a a sin(n 0 )u (n) 2 2 2 z 2 z cos 1 z 2 za cos 0 a 0 a a
( z a )
4. 序列线性加权( z 域微分) 设 x(n) X ( z ) （ r1 z r2 ） ，则
m 1 k x( k ) z X ( z) k m

m x(n m)u(n) z X ( z )
x( k ) z
k 0
m1
k

9.1.4 z变换和s变换的关系
② x(n) 是因果序列，则
x(n m)u(n) z m X ( z)
jnω0
( z a)
4. 复指数序列 e
X ( z)

u(n)

n
x(n)z
n
e
n 0

jn0
z
n

(e
n 0

j0
z 1 ) n
1 1 e
j0
z
1

z z e j0
j0 1 jnω0 1 收敛域 q e z z 1 ， 即 z 1 。表示为 e u(n) z e j0
上式中，第一项级数是左边序列，收敛域为 z r2 ，第二项级数 是右边序列， 级数域为 z r1 ，X ( z ) 的收敛域取二个级数收敛域的公 共部分。如果 r2 r1 ，则 X ( z ) 的收敛域为 r1 z r2 ；如果 r2 r1 ，则二 个级数的收敛域无公共部分， X ( z ) 不存在。 4. x(n) 是有限长序列




由于
e jnω0 u(n) z z e
j0
( z 1)
，
e jnω0 u(n)
z z e
j0
( z 1)
用线性特性求得
z ( z cos0 ) 1 z z cos(0 n)u (n) 2 z e j0 z e j0 z 2 2 z cos0 1 z sin 0 1 z z sin(0 n)u (n) 2 j z e j0 z e j0 z 2 2 z cos0 1 ( z 1) ( z 1)
在求差分方程时，常用到
x(n 1)u(n) z 1 X ( z) x(1)
x(n 2)u(n) z 2 X ( z) z 1 x(1) x(2)
n 2 例 9.2-2 已知 x(n) 2 1 ，求 y (n) x(n 1)u (n) 的 z 变换。
na n u (n) z
(z a)
5. z 域积分 设 x(n) X ( z ) （ r1 z r2 ） ，则
x ( n) zm nm


X (v ) v m 1
dv
z
m 为整数， m n 0 ，收敛域不变。
令 m 0 ，有
X (n) n


z
X (v) dv v
1 ，即
z 1 。表示为
3. 指数序列
n （1） x1 (n) a u(n)

X 1 ( z)
n
x (n)z
1
n

a z
n 0
n n

(az
n 0
1 n
)
1 1 az 1

z za
1 q az 1 ，即 z a 。表示为 a n u(n) 收敛域为 za
第九章 离散时间系统的z域分析
9.1 z 变换
9.1.1 z 变换的定义 离散时间信号(序列) x(n) 的双边 z 变换定义为
X ( z ) Z[ x(n)]
n



x(n) z n
单边 z 变换定义为
X ( z ) Z[ x(n)]

n 0
x ( n) z n
序列 x(n) 和其 z 变换 X ( z ) ，表示为 x(n) X ( z ) 。
x(n) X ( z 1 )
1 r z r2 ） （ 1
例 9.2-8 解
求 u ( n) 的 z 变换。
u(n)
u ( n)
z z 1
z 1 z 1 1
( z 1)
，得
1 1 z 1 ）即（ z 1 ） 1 z （
9.1.4 z变换和s变换的关系
2. 位移性 （1）双边变换 设 x(n) X ( z ) ，则
x(n m) z m X ( z)
x(n m) z m X ( z )
（2）单边变换 ① x(n) 是双边序列，设 x(n)u (n) X ( z ) ，则
x(n m)u(n) z
解
求得
1 2
x(n)u(n) 4 2 n u(n) u(n) X ( z) 4
z(3z 2) z z z 2 z 1 ( z 2)( z 1)
及 x(1) 2
1 1 。得
1
3z 2 z2 y (n) x(n 1)u (n) z X ( z ) x(1) 1 ( z 2)( z 1) ( z 2)( z 1)
例 9.2-1 已经求得 cos(n 0 )u (n) 和 sin(n 0 )u (n) 的 z 变换，得
zz cos 0 aa z 2 z cos 1 0 a a
2
a n cos(n 0 )u (n)

z ( z a cos 0 ) z 2 2 za cos 0 a 2
z 0。
变量 n 从 到 ，即 n ，其 z 变换为 X ( z) x(n) z ，将级数根
n n

据 n 取值正与负分为二部分，即
X ( z)
n


x(n) z
n

n

1
x ( n) n

n
(0) z 0 1
收敛域为整个 Z 平面。即
( n) 1
2. 单位阶跃序列 u ( n)
X ( z)
1
n


u (n)z n

n 0

z n
1 1 z 1
1

z z 1
这是个公比为 q z 的等比级数，收敛域为 z
u(n) z z 1 ( z 1)
z
( z 1)
9.1.4 z变换和s变换的关系
变量 z 与 s 的关系为
z e sT re j 1 s ln z j T
9.2
1．线性
z 变换的性质
设 x(n) X ( z ) ， v ( n) V ( z ) ， a , b 为实数或复数常数，则有
ax(n) bv(n) aX ( z ) bV ( z )
i 0 n
解
u(n)
z z 1
( z 1) ，由式（9.2-23）得
z z z2 (n 1)u (n) z 1 z 1 ( z 1) 2 （ z 1 ）
9.1.4 z变换和s变换的关系
7. 时域反转 设 x(n) X ( z ) ( r1 z r2 )，则
9.1.4 z变换和s变换的关系
3. 序列指数加权(z 域尺度变换) 设 x(n) X ( z ) （ r1 z r2 ） ，则
z a n x(n) X a
r z r 1 2 a
a 为常数。
例 9.2-3 解
n n 求 a cos(n0 )u(n) 和 a sin(n0 )u(n) 的 z 变换。
z a za za ( z a ) ，由式 (9.2-20)得
v z
(z a)
a n u(n 1) aan1u(n 1) az 1
a n u (n 1) n


z
a dv v (v a )


z
va 1 1 dv ln v va v
( z 1 ) ( z 1 )
n 2 u (n) z
n 例 9.2-5 求 Z [na u(n)]
d z 2 dz ( z 1)
z ( z 1) ( z 1) 3
解
a n u(n)
z za
( z a ) ，所以
d z az d z z a ( z a) 2
ln
z za
(z a)
9.1.4 z变换和s变换的关系
6. 部分和的 z 变换 已知 x(n) X ( z ) （ r1 z r2 ） ，取 x(n) 的前 n 项之和为 v(n) ，即
v(n)

i 0
n
x(i)
z X ( z) z 1
收敛域取 z 1 与 r1 z r2 的公共部分。 例 9.2-7 求 u (i) (n 1)u (n) 的 z 变换。
d nx(n) z X ( z) dz
d n x ( n) z X ( z) d z
m
m
2 nu ( n ) n 例 9.2-4 求 和 u(n) 的 z 变换。
解
z u ( n ) 已经求得 z 1
( z 1) ，所以
nu(n) z
d z z d z z 1 ( z 1) 2
0 n)u(n) 的 z 变换。 例 9.2-1 求 cos( 0 n)u (n) 和 sin(
解 用欧拉公式代入，有
cos(0 n)u(n)
1 1 j0n 0 n)u(n) e j0n e j0n u(n) e e j0n u(n) ， sin( 2j 2
z
( z a)
n （2） x2 (n) a u(n 1)
X 2 ( z)
n
x (n)z
2
1

n

n
a z
1
n n
n m

(a
m1
1
z)
m
a 1 z 1 a z
1

z za
收敛域为 q a
z n a u ( n 1 ) z 1 ，即 z a 。表示为 za

n0
x(n) z n

n0
x ( n) z n
第一部分含有 z 的负次项，要求 z 不能为 0，即 z 0 ；第二部 分含有 z 的正次项，要求 z 不能为 ，即 z 。
9.1.3 常用序列的z变换
1. 单位冲激序列 (n)
X ( z)
n
(n)z
例 9.2-6 解
n
a n u (n 1) a n u(n) 求 n 1 和 的 z 变换。 n
a n u(n) z za ( z a ) ，由式 (9.2-19)得
a u ( n) z z n 1
v 1 1 z va z z v a dv z 1 dv z 1 d v ln ln 2 z v (v a ) z a va v v a v v z a z a
x( n) 的变量从 n1 到 n2
x ( n) z ，即 n1 n n2 ，此时 X ( z ) n 为有限 n
n 1 n2
项之和， 只要保证每一项有限不是 ， 则 X ( z ) 收敛。 将级数根据 n 取 正值和负值分为二部分，即
X ( z)
n n1

n2
x ( n) z n
9.1.2 z变换的收敛域
1． x(n) 是右边序列 收敛域是半径为 r1 的圆外，但要除去级数中极点的部分。如果 n 从负值 开始，在级数中出现 z 的正次方，故 z 不能为 ，所以收敛域 z r1 。
1
2.
x (n) 是左边序列
0 ，级数中
收敛域是半径为 r2 的圆内，但要考虑 0 是否在内。如果 n2 有 z 的负次项，故 z 不能为 0，所以收敛域为 r2 3． x(n) 是双边序列