高考数学 热点难点精讲解析 1.1集合

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：1.1集合
一、集合的基本概念
1、相关链接
（1）由元素与集合的关系，可以分析集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性。

（2）在解决集合的概念的问题时，要注意养成自学使用符号的意识和能力，运用集合的观点分析、处理实际问题。

（3）集合的表示方法：有列举法、描述法和Venn图，在解题时要根据题目选择合适的方法。

注：①要特别注意集合中的元素所代表的特征。

如：A={y|y=x2+2},B={(x,y)|y=x2+2}.其中A表示数集，B表示二次函数y=x2+2的图象上所有点组成的集合，二者不能混淆。

②注意集合中元素的互异性
对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.
③常见集合的意义
集合{x|f(x)=0} {x|f(x)>0} {x|y=f(x)} {y|y=f(x)} {(x,y)|y=f(x)}
集合的意义方程f(x)=0的
解集
不等式
f(x)>0的解
集
函数y=f(x)
的定义域
函数y=f(x)
的值域
函数y=f(x)的
图象上的点集
2、例题解析
例1．(1)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( )
(A)9 (B)8 (C)7 (D)6
(2)已知-3∈A={a-2，2a2+5a，12}，则a=______.
【解题指导】(1)从P+Q的定义入手，可列表求出a+b的值.
(2)-3是A中的元素，说明A中的三个元素有一个等于-3，可分类讨论.
解析：(1)选B.根据新定义将a+b的值列表如下：
由集合中元素的互异性知P+Q 中有8个元素，故选B.
(2)∵-3∈A,∴a-2=-3或2a 2
+5a=-3， ∴a=-1或.=-3a 2
当a=-1时，a-2=2a 2
+5a=-3,不合题意;
当.=-3a 2时，A={-
7
2
，-3，12},符合题意, 故.=-3
a 2
答案：.=-3a 2
例2．集合{}0,2,A a =,{}
21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =U ,则a 的值 为
( )
A.0
B.1
C.2
D.4 答案 D
解析 ∵{}0,2,A a =,{}2
1,B a =,{}0,1,2,4,16A B =U ∴216
4
a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.
例3．下列集合中表示同一集合的是（ C ）
A ．M = {(3，2)}，N = {(2，3)}
B ．M = {(x ，y )|x + y = 1}，N = {y |x +y = 1}
C ．M = {4，5}，N = {5，4}
D ．M = {1，2}，N = {(1，2)}
答案：C
解析：由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。

二、集合间的基本关系和运算 1、相关链接
（1）子集与真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，刚其子集个数为2n
，真子集个数为2n
-1,非空真子集个数为2n
-2.
（2）全集是一个相对概念，一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集，是我们为研究集合关系临时选定的一个集合.
（3）集合A 与其补集的区别与联系:两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一起,就是全集. （4）集合的基本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意Venn 图及补集思想的应用。

（5）集合的简单性质：
①;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂
②;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃，A A φ⋃=，A A B ⊆⋃，B A B ⊆U ③);()(B A B A ⋃⊆⋂
④B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；
⑤S C （A ∩B ）=（S C A ）∪（S C B ），S C （A ∪B ）=（S C A ）∩（S C B ）。

⑥,,A B B C ⊆⊆⊆若则A C ；若A B ，B C ，则A C
（6）方法指导：
①解决集合相等问题的一般思路
若两个集合相等,首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组求解,要注意挖掘题目中的隐含条件.
②判断两集合关系的常用方法：
<1>化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系； <2>用列举法表示各集合，从元素中寻找关系. ③集合运算的常用方法
<1>集合元素离散时借助Venn 图运算；
<2>集合元素连续时借助数轴运算，借助数轴运算时应注意端点值的取舍.
2、例题解析
例1：(1)(2011·山东高考)设集合M={x|x 2
+x-6<0}, N={x|1≤x ≤3},则M ∩N=( ) (A)［1，2) (B)［1，2］ (C)(2，3］ (D)［2，3］
(2)(2011·湖南高考)设全集U=M ∪N={1，2，3，4，5}，M ∩U N ð={2，4}，则N=( ) (A){1，2，3} (B){1，3，5} (C){1，4，5} (D){2，3，4}
(3)(2011·辽宁高考)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩I M ð=Ø，则M ∪N=( ) (A)M (B)N (C)I (D)Ø 【解题指导】(1)化简集合M ，借助数轴求解. (2)借助于Venn 图知⊆U N M ，ð从而 .=U U
M N N I 痧
(3)借助于Venn 图寻找集合M ，N 的关系.
解析:(1)选A.∵M={x|-3<x<2},∴M ∩N={x|1≤x<2}. (2)选B.∵U=M ∪N, {},,,∴⊆∴==U U
U N M M N N 24I
痧?
又{}.
=∴=
U
N N U N135
U，，，
ð
(3)选A.如图，∵N∩
I
M
ð=Ø,∴N⊆M，∴M∪N=M.
例2：已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（）．
分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．
解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝φ时a的范围．如图
由
⎩
⎨
⎧
≥
+
≤
4
1
2
2
a
a
，得
⎩
⎨
⎧
-
≤
≥
≤
3
3
2
a
a
a
或
∴3
-
≤
a或2
3≤
≤a.
即A∩B＝φ时a的范围为3
-
≤
a或2
3≤
≤a.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为{}3
3
2
|<
<
-
>a
a
a或.
注：（1）一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．
（2）解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论思想的应用。

空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解。

三、集合与其他知识的综合应用
例1： (本小题满分13分)
已知集合}
,
,
,
,
{
3
2
1n
a
a
a
a
AΛ
=，其中)2
,
1(>
≤
≤
∈n
n
i
R
a
i
，)
(A
l表示和)
1(n
j
i
a
a
j
i
≤
<
≤
+
中所有不同值的个数．
24a2+1
a
（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ； （Ⅱ）若集合}2,,8,4,2{n A Λ=，求证：2
)
1()(-=
n n A l ； （Ⅲ）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 解：（Ⅰ）由,1486,1284,1064,1082,862,642=+=+=+=+=+=+ 得5)(=P l .
由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+ 得6)(=Q l .--------------------5分
（Ⅱ）证明：因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最多有2)1(2-=
n n C n 个值，所以.2
)
1()(-≤n n A l 又集合}2,,8,4,2{n
A Λ=，
任取),1,1(,n l k n j i a a a a l k j i ≤<≤≤<≤++ 当l j ≠时,不妨设l j <，则l k l j j j i a a a a a a +<≤=<++1
22，
即l k j i a a a a +≠+.[
当k i l j ≠=,时，l k j i a a a a +≠+.
因此，当且仅当l j k i ==,时， l k j i a a a a +=+. 即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同， 所以.2
)
1()(-=
n n A l ---------------9分 （Ⅲ） )(A l 存在最小值，且最小值为32-n ．
不妨设,321n a a a a <<<<Λ可得
,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+-ΛΛ
所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即.32)(-≥n A l 事实上，设n a a a a ,,,,321Λ成等差数列，
考虑)1(n j i a a j i ≤<≤+，根据等差数列的性质，
当n j i ≤+时，11-++=+j i j i a a a a ； 当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+；[
因此每个和)1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个，或者等于)12(-≤≤+n l a a n l 中的一个.
所以对这样的32)(,-=n A l A ,所以)(A l 的最小值为32-n . ---------------13分 例2：（本小题满分12分）已知集合{}
2120A x x x =--<，集合{
}
0822
>-+=x x x B ，集合
{}22430,0C x x ax a a =-+<≠，
（Ⅰ）求()R A C B I ； （Ⅱ）若)(B A C I ⊇，试确定实数a 的取值范围.
解答：（Ⅰ）依题意得：{}{34,4A x x B x x =-<<=<-或}2x >，()(3,2]R A C B =-I ………4分 （Ⅱ）∴{}24A B x x =<<I ①若0a =，则{}20C x x =<=∅不满足()C A B ⊇I ∴0a ≠ …6分 ②若0a >，则{}3C x a x a =<<，由()C A B ⊇I 得24
2343
a a a ≤⎧⇒≤≤⎨≥⎩ ……………………8分 ③若0a <，则{}3C x a x a =<<，由()C A B ⊇I 得32
4a a a ≤⎧⇒∈∅⎨
≥⎩
…………………10分 综上，实数a 的取值范围为4
23
a ≤≤ ………………12分
必记内容: 高中数学三角函数公式汇总
一、任意角的三角函数
在角α的终边上任取．．
一点),(y x P ，记：2
2y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x
=αcos 正切：x
y
=αtan 余切：y x =αcot
正割：x
r
=
αsec 余割：y
r =
αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的
有向．．
线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。

商数关系：αααcos sin tan =
，α
α
αsin cos cot =。

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式
⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．
锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵
απ
+2
、
απ
-2
、
απ+23、απ-2
3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．
锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+
βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+
β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=
-
五、二倍角公式
αααcos sin 22sin =
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*
α
α
α2tan 1tan 22tan -=
二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α
α
α2tan 1tan 22tan -=。

万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．
来表示。

七、和差化积公式
2cos 2
sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+ …⑴ 2sin
2
cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=- …⑵ 2
cos
2cos
2cos cos βαβ
αβα-+=+ …⑶ 2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-+-=- …⑷
了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：
2sin 2cos 2cos 2sin
22
sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=⎪⎭⎫
⎝⎛-++= 2sin 2cos 2cos 2sin
22sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=⎪⎭⎫
⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。

2sin 2sin 2cos 2cos
22cos cos βαβαβαβαβαβαα-+--+=⎪⎭⎫
⎝⎛-++= 2sin 2sin 2cos 2cos 22cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=⎪
⎭⎫
⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。

八、积化和差公式
[])sin()sin(2
1
cos sin βαβαβα-++=
⋅ [])sin()sin(2
1
sin cos βαβαβα--+=⋅ [])cos()cos(2
1
cos cos βαβαβα-++=
⋅ [])cos()cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-
=⋅ 我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、辅助角公式
)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （）
其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，
2
2sin b a b +=
ϕ，2
2cos b a a +=
ϕ，a
b =
ϕtan 。

十、正弦定理
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB
C ∆外接圆半径） 十一、余弦定理
A bc c b a cos 2222⋅-+=
B ac c a b cos 2222⋅-+=
C ab b a c cos 2222⋅-+=
十二、三角形的面积公式 高底⨯⨯=∆2
1ABC S
B ca A bc
C ab S ABC sin 2
1sin 2
1sin 2
1===∆（两边一夹角）
R abc
S ABC 4=
∆（R 为ABC ∆外接圆半径） r c
b a S ABC ⋅++=
∆2
（r 为ABC ∆内切圆半径） ))()((c p b p a p p S ABC ---=∆…海仑公式（其中2
c
b a p ++=
）
十三诱导公式
11。