【数学】福建版高三数学上学期第一次月考试题理

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第一次月考数学理试题【福建版】
考试时间：120分钟试卷满分：150分
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷满分150分．考试时间120分钟．
参照公式：
样本数据x1，x2，…，xn的标准差
s= 其中为样本平均数
锥体体积公式V=Sh 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式V=Sh 其中S为底面面积，h为高
球的表面积、体积公式，其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1．如图，在复平面内，若复数对应的向量分别是，
则复数所对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．一个简单几何体的主视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长、宽不相等的矩形；
②正方形；③圆；④三角形．其中正确的是
A．①②B．②③
C．③④ D．①④
3．命题“对任意，均有”的否定为
A．对任意，均有
B．对任意，均有
C．存在，使得D．存在，使得
4．对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据（，）（i=1，2，…，8），其回归直线方程是：，且，则实数的值是
A．B．C．D．
5．已知为两条不同的直线，为一个平面。

若，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．已知在各项均不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则等于
A．2 B．C．8 D．16
7．已知正方体的棱长为2，在正方体的外接球内任取一点，则该点落在正方体内的概率为A．B．C．D．
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是
A．（42，56]
B．（56，72]
C．（72，90]
D．（42，90）
9．已知向量若
则的值为
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A ．
B ．
C ．
D ．
10． 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”． 给出下列4个集合： ① ② ③ ④
其中所有“集合”的序号是 A ． ①②④ B ． ②③ C ． ③④ D ．①③④
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11． 已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则此双曲线的实轴长为 ． 12． 设变量、满足约束条件，则的最大值为 ． 13． 若二项式的展开式中的常数项为，则= ．
14． 已知()41x
f x =+，()4x
g x -=．若偶函数()h x 满足()()()h x mf x ng x =+（其中m ,n 为常
数），且最小值为1，则m n += ．
15．对于30个互异的实数，可以排成m 行n 列的矩形数
阵，右图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一．将30个互异的实数排成m
行n 列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为
12,,m a a a ⋅⋅⋅，并设其中最小的数为a ；把每列中最小的数选出，记为
12,,n b b b ⋅⋅⋅，并设其中最大的数为b ．
两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：
①a 和b 必相等； ②a 和b 可能相等；
③a 可能大于b ； ④b 可能大于a ．
以上四个结论中，正确结论的序号是_______（请写出所有正确结论的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）
为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分
组区间是:[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,25,20．
（Ⅰ）求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)40,35岁的人数; （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再
从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望． 17．（本小题满分13分）
某同学用“五点法”画函数)2
,0()sin()(π
ϕωϕω<>+=x A x f 在某一个周期内的图象时，
列表并填入的部分数据如下表：
（Ⅰ）请写出上表的1x 、2x 、3x ，并直接写出函数的解析式；
126126
126
x x x y y y z z z
（Ⅱ）将()f x 的图象沿x 轴向右平移
2
3
个单位得到函数()g x 的图象，P 、Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低点（如图），求OQP ∠的大小．
18．（ 本小题满分13分）
如图直三棱柱111ABC A B C -中，12,AC CC AB BC ===，D 是1BA 上一点，且AD ⊥平
面1A BC ．
（I ）求证：BC ⊥平面11ABB A ；
（Ⅱ）在棱1BB 是否存在一点E ，使平面AEC 与平面11ABB A 的夹角等于60，若存在，试确定E 点的位置，若不存在，说明理由． 19．（本小题满分13分）
已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F ，离心率为1
2
，过1F 的直线l 与
椭圆C 交于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值． 20．（本小题满分14分） 已知函数2
()ln f x x x =+．
（I ）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）在（1）的条件下，若1a >，3()3x
x h x e
ae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值；
（Ⅲ）设2
()2()3()F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点,(0)m n m n <<，且满足
02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，
若不能，请说明理由． 21． 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2小题作答，满分14分．如果
多做，则按所做的前两题记分． （1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
把曲线2
2
21x y -=先进行横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变的伸缩变换，再做关于x 轴的反射变换变为曲线C ，求曲线C 的方程． （2）（本小题满分7分）选修4一4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：1x t y kt =⎧⎨=+⎩
（t 为参数），以O 为原点，Ox 轴为
极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：2
sin 4cos ρθθ=
①写出直线l 和曲线C 的普通方程。

②若直线l 和曲线C 相切，求实数k 的值。

（3）（本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲 设函数f （x ）=|x －4|+3-x , （Ⅰ）求f （x ）的最小值m
（Ⅱ）当m c b a =++32 （a,b,c∈R）时,求222c b a ++的最小值．
参考答案
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）321-
=x ，342=x ，3
10
3=x ……………………3分
()3sin()23
f x x ππ
+所以 ……………………6分
（Ⅱ）将()f x 的图像沿x 轴向右平移2
3个单位得到函数()2
g x x π=…………7分
因为P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，
所以(3,P Q …………………………………………9分 所以2,4,OP PQ ==…………………………………………10分
222
cos 2OQ PQ OP OQ OQ QP θ+-===⋅12分
所以6
π
θ=
…………………………………………13分
法2：60,60,30=30o o o o POx P QOx θ∠=∠=∠=可以得所以
法3：利用数量积公式cos QP QO QP QO
θ⋅=
=
=⋅，=30o θ所以 19．解：（I ）由题意知，48a =，所以2a =．
因为12e = 所以222222
314b a c e a a -==-=， 所以2
3b =． 所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=． ------4分 （II ）由题意,当直线AB 的斜率不存在，此时可设00(,)A x x ，00(,)B x x -． 又A ，B 两点在椭圆C 上，
所以2200143x x +=，2012
7
x =．
所以点O 到直线AB 的距离12221
77
d =
=
． --------6分 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+．
所以222
2
222
4128(1)03434m k m k m k k
-+-+=++．-----------11分 整理得)1(1272
2+=k m ，满足0∆>． 所以点O 到直线AB 的距离
212221
77
1
d k =
=
=
+为定值． --------13分 20．解：（Ⅰ）21
()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x '=-=+-=
+- 由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1
(2)a x x
≤+．…… 2分
又1
0,222x x x
>+
≥2x =时等号成立． 故min 1
(2)22x x
+=2a ≤ ……4分
设(0,1)m u n =
∈，⑤式变为2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+ 设2(1)
ln ((0,1))1
u y u u u -=-∈+，
所以函数2(1)
ln 1
u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，
因此，1|0u y y =<=，即2(1)
ln 0.1u u u --<+也就是，2(1)ln 1m m n
m n n
-<+，此式与⑤矛盾． 所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴．……14分 21．（1）解：先伸缩变换M=10,201⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
后反射变换N=1001⎛⎫ ⎪-⎝
⎭,得
A=NM=1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭10201⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭=1
02
1⎛⎫
⎪ ⎪
-⎝⎭
……………4分 在A 变换下得到曲线C 为1242
2
=-y x 。

……………………………7分
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