大学物理 第6章 静电场中的导体和电介质(小结)

3、两个带电球单独存在时的静电能
W1
2
Q 8
1

0 E dV 体
2

R1 2
0
2
(
Q 4 0 r
2
) 4 r dr －
2 2
－ ＋ －
－
2

0 R1
r
dr
2

Q
－
－ －
＋
＋ ＋ － ＋ －
＋ R1 ＋
＋ － －
－
－ －
8 0 R 1

W2
2
Q
2
1
0
补充:
带电体系处于状态 a
静电场的能量
或：
一、带电体系的静电能
状态 a 时的静电能是什么？
定义：把系统从状态 a 无限分裂 到彼此相距无限远的状态过程中静 电场力作的功，叫作系统在状态a 时的静电能。又称电场能。 使物体带电：外界其他形式能 量转变为带电体系的电能。
把这些带电 体从无限远 离的状态聚 合到状态a的 过程中，外 力克服静电 力作的功。
Q
W A

0
q 4 0 R
dq

Q
2
8 0 R
三、电容器所储藏的电能 electrostatic energy of capacitor
电容器 : C ， V , +Q , -Q
dA Udq , U
Q
q C
Q
2
A
dA
Q

C dq
0
q

2C
Q C U
2
E dV 体
2

R2 2
0
2
(
Q 4 0 r
2
) 4 r dr
2 2
Q
R2
Q

8
0 R2
r
dr
2

Q
8 0 R 2
W1
Vdq
0

4
0
qdq
0
R1 Q
2
W W W1 W 2
1
Q
2
4 0 R1 2

8 0 R1
本章小结
一、导体的静电感应 1、自由电子 2、静电平衡：导体上没有电荷作定向运动的状态 3、静电平衡条件： 4、导体表面的电荷分布 二、电介质的极化 1、极化电荷
2 R2

R1 2
0
2 (
( 1
Q 4 0 r 1 R2
2
) 4 r dr
2 2
－
R2

8
0 R1
r
dr
2

Q
8
)
0
R1
2、两带电球相互作用的电势能：可看成带负电的外 球壳在带正电的内球壳的电场中的电势能（反之亦 然） W = q V 2 Q Q W Q 4 0 R 2 4 0 R 2
2 0 S ＋ S E dS ＋
S
＋
E


0
＋

S 0 0
S

E dS ES
＋
S
＋
S
＋ ＋
＋ ＋
2ES
2 S
E表
0
＋ ＋
讨论: 1、这两个式子是否矛盾? 为什么? 2、如果将等量的电荷Q分别放在尺寸 相同的介质板上和金属导体板上, 其附 近场强E的大小相同吗? 为什么? ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
单位长度的电容：
C
Q0 U


U
ln

0
la a
说明：任何导体之间，实际上都存在着电容，导线 之间，导线与电器元件之间，与金属外壳之间等， 称为“分布电容”，通常分布电容很小，可不计。 但对于高频电路就必须考虑分布电容的影响。
例题3 有A、B、C是三块平行金属板，面积均为 200cm2, A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两 板接地，设A板带电荷q=+3.0×10-7C，不计边缘效应， 求（1）B板和C板上的感应电荷。（2）A板的电势。
2、介质内场强的变化： E E E 0 E 0 0 3、极化强度矢量： P e 0 E
4、电位移矢量： D E 0 (1 e ) E 0 r E
三、有介质存在时的高斯定理

S
D dS
2、电势能：通常指的是不同带电体之间相互作用能。
3、带电系统的静电能：等于各带电体单独存在时的 静电能与形成该系统后它们之间相互作用的电势能之 和。
例题：求球形电容器的静电能
1、静电能（电场能）
W
－ －
－
－
－
＋ ＋ ＋ － －
＋
＋ R1 ＋ ＋ ＋
－
－ － － － －
2
Q
2
1
R2 0
E dV 体
二、带电体系所储藏的静电能（电场能）
electrostatic energy of charged system 一带电系统，带电 qi 电势 Vi ,再从∞处将 qi 移到该系统，外力作功：
Ai V i q i W i
分成 N 步，外力作的总功：（系统所储藏的静电能）
A
A
R3
1230 (V )

VB

rB
E dr
rB
4
q 1 dr
0
r
2

0 dr
R2

R3
4
q 3 dr
0
r
2

q1 4 0 R 2 1 4
0

q1 4 0 rB q2 R2
q1
q3 R3
q3 4 0 R 3 )
2
能量密度为
1 2
E
2

1 D 2
2

1 2
DE
V体
1 we D E 2
普遍成立
dW w e dV 体
W
dW

V体
w e dV 体
V体
2
1
E dV 体
2
五、静电能（电场能）与电势能的区别
differences between electrostatic energy and potential energy 1、静电能：通常指的是一个带电体或一个带电系统 的总能量。
q1 4 0 rB q1
为什么只考虑q1 , 不 考虑q2和q3的作用？
请判断下列哪个答案正确，为什么？
VB
VB
（只考虑电荷q1的作用）
（按rB距球面的距离考虑） q3 q2 4 0 rB 4 0 ( R 2 rB ) 4 0 ( R 3 rB )
VB
i

V q
i
i
W
若带电体连续分布
q
全部变成系统 储藏的能量— —静电能
W A
Vdq
0
例：一带电导体球 带电量 Q 半径 R
求:带电体系所储藏的静电能 当导体球带电为q 时,其电势为Ｖ,
V q 4 0 R
dq
再将dq电荷从无穷远处移到导体球面上，要克服 电场力作功： dA Vdq 当带电球带Ｑ电量时，静电能为：
Q 解：看成是带电球，电量为Q， 电势： V 以无限远为电势零点。 4 0 R
Q Q
静电能：
We A
Vdq
0

4
0
qdq
0
R
Q
2
8 0 R
当Q不变时，使R增大到R’=2R时，We’=We / 2 ；可见， 当R增大时，静电能减小，说明电场力对外作正功， 即帮助汽泡增大；从受力情况看，肥皂泡上每个电荷 元都受到其他电荷的电场力作用，力的方向沿半径向 外，半径增大时，电场力作正功，电场能减小。
(2) V A E AB d AB 1 . 0 10 8 . 85 10
7 12
C C
7
q1
0S
d AB
3 4
4 . 0 10
200 10
2 . 3 10 (V )
3
例题4 两均匀带电金属同心球壳，如图，内球半径为： R1=0.05m, 带电q1=+(2/3) ×10-8C, 外球内径R2=0.07m , 外径R3=0.09m, 带电q’=－2×10-8C. 求： （1）外球电荷如何分布？ （2）求距球心分别为：0.03, 0.06, 0.08, 0.10 m 的A，B，C，D四个点的场强和电势。
例题6 平板电容器极板间的距离为d，保持极板上的电荷不变 ，把相对介电常数为r 厚度为 (＜d)的玻璃板插入极板间，求 无玻璃板时和插入玻璃板后极板间电势差的比。
r 0
解 看成三个电容器串联
1 C 1 C1 1 C2 1 C3 x1
4 0 r 4 0 r r 为该点到球心的距离. （2）球内（无论是空心与实心）的场强E=0， （内无电荷）；电势不为零，等于球面上的电势。 （3）求E和V时，要将形成场的所有电荷都考虑 到，然后求矢量（E）和或代数和（V）。
2
E
及
V
例题5 有一带正电的肥皂泡，吹大到使它的半径为原 来的2 倍，问静电能有什么变化？电荷的存在对吹泡 有帮助还是有妨碍？
(2)
又有： U
AB
U
AC
即 E AB d AB E AC d AC
1 2
7

q1 q2

E AB E AC

d AC d AB
(3)
B板上的感应电荷： q 1 1 . 0 10 C板上的感应电荷： q 2 2 . 0 10
E
E

2 0
E表
0


Q S

Q 2S

2 0

Q/S 2 0

Q 2 0 S
E
0

Q / 2S
0

Q 2 0 S
例题2 求两平行长直导线单位长度的电容。
解：由高斯定理求场强： 1 S E d s q i i 0
E 2 xd d / 0
A

CU 2
2

QU 2
W
2C
此式适用于任何结构的电容器
四、电场能量密度
energy density 单位体积内的电能 — —能量密度
CU 2
2
能量储存于场中
we dW dV 导出：
W 1 2
we

S d
W
E d

2
2

1 2
E ( Sd )
a
+ l －
EA 同理 EB

2 0 x
d
0
x
x

2 0 ( l x )
E EA EB

2
0
(
1 x

1 lx
)
A
B
两导线间的电势差：
la
U

a
E dx
la

a

2
0
(
1 x

1 lx
) dx

0
ln
la a
解（1）设q2 、 q3为外球壳内、外 层所带电荷。 由高斯定理可得：
R2 R1 D C B A 0
R3
q 2 q1
2 3
10
8
C
q2 q3 q
q3 4 3 10
8
q1
C
q2
q3
（2）各点的场强和电势 B点： q1 由高斯定理得： E B 2 4 0 rB
VB
q1 4 0 rB
q1 4 0 rB


q2 4 0 rB
q2 4 0 R 2


q3 4 0 rB
q3 4 0 R 3
（所有电荷集 中在0点）
1230 (V )
VB

q1 4 0 rB

q2 4 0 R 2
R2

q3 4 0 R 3
4

q3 4 0 R 3
1333 (V )
q1 q 2 q 3 4 r
2 0 D
1 . 2 10 (V / m )
1200 (V )
q1 q 2 q 3 4 0 rD
小结 （1）导体球外一点的场强和电势，可将电量看 作集中于球心，应用 q q
q
W A
Vdq
0
W
dW

w
V体
e
dV 体
V体

2E
1
2
dV 体
W A q1 q 2
r
E 1 dl q U 2 21
W W W1 W 2
六、例题1 1、对比无限大均匀带电平面的场强和金属导体表面 的场强。 E d S E dS E dS 2 ES S S S S ＋

i
q0i
D E
真空中 = 0

E ds
q
i
i
S
0
注：1、在非均匀介质中，E线不连续，D线连续 2、决定电荷受力的是E，而不是D。
四、电容器的电容
1、定义： 2、求电容器的电容的一般步骤：
C
Q U
设Q
E
U AB
C
Q U
五、电场的能量与电势能
q2
(
q1 rB

( q 2 q 1 )
q3 4 0 R 3 978 (V )
A点：E A 0 , V A
4 0 R 1

4 0 R 2
C点： E 0 , V C C D点： E D
VD
q1 4 0 rC

q2 4 0 rC
解:设A板两个面分别带电为q1和q2
C
A
B
（1）则由高斯定理可证： B板感应电 荷为-q1, C板为-q2 再由电荷守恒定律有
q 1 q 2 q (1)
-q2 +q2 +q1 -q1 可视为均匀电场：
E AB q1
0S
E AC
q2
0 S
q
则
q1 q2

E AB E AC