2024-2025学年福建省闽侯县数学九年级第一学期开学检测试题【含答案】

学校_
__
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___班级__
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___姓名___
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__考场_
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_准考证号……
…
……
…
…
…
……
密…
……
…
封…
……
…
线
…
…
…
…内
…
……
…不
…
……
…
要
……
……
答
…
…
…
…题
…
…
…
……
…
…
…
……
2024-2025学年福建省闽侯县数学九年级第一学期开学检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（）A ．5，12，13B ．3，5，2C ．6，9，14D ．4，10，132、（4分）如图，边长2的菱形ABCD 中，60A ∠=，点M 是AD 边的中点，将菱形ABCD 翻折，使点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N ，则线段EC 的长为()A 6B 61C 7D ．71-3、（4分）已知正比例函数y=kx ，且y 随x 的增大而减少，则直线y=2x+k 的图象是（）A ．B ．C ．D ．4、（4分）下列各式中，运算正确的是（）
A ．222()-=-
B 284=
C 2810=
D ．222
=5、（4分）如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四条边的中点，要使四边形EFGH 为矩形，四边形ABCD 应具备的条件是（）
A ．对角线互相垂直
B ．对角线相等
C ．一组对边平行而另一组对边不平行
D ．对角线互相平分6、（4分）如图，P 为□ABCD 对角线BD 上一点，△ABP 的面积为S 1，△CBP 的面积为S 2，则S 1和S 2的关系为（）A ．S 1>S 2B ．S 1=S 2C ．S 1<S 2D ．无法判断7、（4分）关于抛物线()212y x =+与()222y x =-的说法，不正确的是（）A ．1y 与2y 的顶点关于y 轴对称B ．1y 与2y 的图像关于y 轴对称C ．1y 向右平移4个单位可得到2y 的图像D ．1y 绕原点旋转180可得到2y 的图像8、（4分）如图，点D 、
E 、
F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，连接DE 、EF 、FD 得△DEF ，如果△ABC 的周长是24cm ，那么△DEF 的周长是（）
A ．6cm
B ．12cm
C ．18cm
D ．48cm
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）农科院对甲、乙两种甜玉米各10块试验田进行试验后，得到甲、乙两个品种每公顷的平均产量相同，而甲、乙两个品种产量的方差分别为20.01S ≈甲，2
0.002S ≈乙，则
产量较为稳定的品种是_____________（填“甲”或“乙”）．10、（4分）在从小到大排列的五个整数中，中位数是2，唯一的众数是4，则这五个数和的最大值是__________．11、（4分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD=12cm ．点P 从点A 出发，以3cm/s 的速度在射线AD 上运动；同时，点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度在射线CB 上运动．运动时间为t ，当t=______秒（s ）时，点P 、Q 、C 、D 构成平行四边形．12、（4分）函数中，自变量x 的取值范围是________．13、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AC 为对角线，点E 为BC 上一点，连接AE,若∠CAD ＝2∠BAE,CD=CE=9，则AE 的长为_____________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图,在ABCD 中,点E 、F 是对角线AC 上两点,且AE CF =.(1)求证:四边形BFDE 是平行四边形.
(2)若22EF AE ==.45ACB ∠=︒,且BE AC ⊥,求ABCD 的面积.
15、（8分）某车间加工1200个零件后，采用新工艺，工效提升了20%，这样加工同样多的零件就少用10h ，采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？
16、（8分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数：当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们把这样的两个函数称作互为
友好函数，例如：一次函数y=x-2，它的友好函数为y=（1）直接写出一次函数y=-2x+1的友好函数．（2）已知点A(2，5)在一次函数y=ax-1的友好函数的图象上，求a 的值.（3）已知点B(m ，)在一次函数y=x-1的友好函数的图象上，求m 的值.17、（10分）计算：（1）（）（﹣）2；（2）318、（10分）如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点A 、B 、C 在格点（网格线的交点）上．（1）将绕点B 逆时针旋转，得到，画出；（2）以点A 为位似中心放大，得到，使放大前后的三角形面积之比为1:4，请你在网格内画出．B 卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在△ABC 中，AC=5，若BC 边上的高等于3，则BC 边的长为_____．
20、（4分）如图所示，将长方形纸片ABCD 进行折叠，∠FEH=70°，则∠BHE=_______.
21、（4分）如图，ABCD 中，AB AC =，AB AC ⊥，2AB =，则BD =__________．22、（4分）若分式67x --的值为正数，则x 的取值范围_____．23、（4分）一个多边形的每个外角都是18，则这个多边形的边数是________.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）计算：（1）(2)5)++25、（10分）如图，AD 是△ABC 的中线，AE ∥BC ，BE 交AD 于点F ，且AF=DF.(1)求证:△AFE ≌ODFB ；(2)求证:四边形ADCE 是平行四边形；(3)当AB 、AC 之间满足什么条件时，四边形ADCE 是矩形.26、（12分）如图，已知ABC ，利用尺规在AC 边上求作点D ，使AD=BD （保留作图痕迹，不写作法）
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
先分别求出两个小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【详解】
解：A、52+122＝132，即以5、12、13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、32+52≠（2）2，即以3、5、2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、62+92≠142，即以6、9、14为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、42+102≠132，即以4、10、13为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
2、D
【解析】
过点M作MF DC
⊥于点F，根据在边长为2的菱形ABCD中，60
A
∠=，M为AD中点，得到22
MD AD CD
===，从而得到60
FDM
∠=，30
FMD
∠=，进而利用锐角三角函数关系求出FM的长，利用勾股定理求得CM的长，即可得出EC的长．
【详解】
如图所示：过点M作MF DC
⊥于点F，
在边长为2的菱形ABCD中，60
A
∠=，M为AD中点，
22
MD AD CD
∴===，60
FDM
∠=，
30
FMD
∴∠=，
1122FD MD ∴==，cos30FM DM ∴=⨯=MC ∴==，∵AM=ME=1,1
EC MC ME ∴=-=
．故选D ．此题主要考查了菱形的性质以及折叠的性质等知识，翻折变换
(折叠问题)实质上就是轴对称变换，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，利用勾股定理计算求解．
3、D 【解析】∵正比例函数y kx =，且y 随x 的增大而减少，0k ．∴<在直线2y x
k =+中，200k ><，，∴函数图象经过一、三、四象限．
故选D ．4、B 【解析】
=（a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．【详解】
A
2=，故原题计算错误；
B 、=，故原题计算正确；
C 、+=
D 、2不能合并，故原题计算错误；
故选B ．此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则．5、A 【解析】分析：根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH 一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解．详解：连接AC、BD，两线交于O，根据三角形的中位线定理得：EF∥AC，EF=AC ，GH ∥AC ，GH=AC ，∴EF ∥GH ，EF=GH ，∴四边形EFGH 一定是平行四边形，∴EF ∥AC ，EH ∥BD ，∵BD ⊥AC ，∴EH ⊥EF ，∴∠HEF=90°，故选：A ．点睛：能够根据三角形的中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．掌握这些结论，以便于运用．
6、B
【解析】
分析：根据平行四边形的性质可得点A 、C 到BD 的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等.
详解：∵在□ABCD 中，点A 、C 到BD 的距离相等，设为h.
∴S 1=S △ABP =12BP h ,S 2=S △CPB =1 2BP h .∴S 1=S 2,故选：B.点睛：本题主要考查的平行四边形的性质，关键在于理解等底等高的三角形的面积相等的性质.7、D 【解析】利用对称变换和平移变换法则，分析两条抛物线的位置关系，即可做出选择..【详解】解：A,()212y x =+与()222y x =-，当纵坐标相同，横坐标互为相反数，故正确；B,()212y x =+与()222y x =-，当纵坐标相同，横坐标互为相反数，故正确；C ，()212y x =+与()222y x =-的对称轴分别为x=-2和x=2，故正确；D ，1y 绕原点旋转180，只是开口方向发生变化，故D 错误；故答案为D.本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中熟练的掌握给定函数解析式求顶点坐标，对称轴方程和开口方向的方法，是解答的关键.8、B 【解析】利用三角形的中位线定理可以得到：DE=12AC ，EF=12AB ，DF=12BC ，则△DEF 的周长是△ABC 的周长的一半，据此即可求解．【详解】∵D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 的中点，
∴DE=12AC ，
同理，EF=12AB ，DF=12BC ，
∴C △DEF =DE+EF+DF=12AC+12BC+12AB=12(AC+BC+AB)=12×24=12cm ，
故选B ．本题考查了三角形的中位线定理，正确根据三角形中位线定理证得：△DEF 的周长是△ABC
的周长的一半是关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、乙
【解析】因为S
甲2≈0.01＞S
乙
2≈0.002，方差小的为乙，所以本题中比较稳定的是乙．
10、2
【解析】
根据中位数和众数的定义分析可得答案．
【详解】
解：因为五个整数从小到大排列后，其中位数是2，这组数据的唯一众数是1．
所以这5个数据分别是x，y，2，1，1，且x＜y＜2，
当这5个数的和最大时，整数x，y取最大值，此时x=0，y=1，
所以这组数据可能的最大的和是0+1+2+1+1=2．
故答案为：2．
主要考查了根据一组数据的中位数来确定数据的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意：找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
11、3或6
【解析】
根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的对边相等列出方程即可求出结论．
【详解】
解：当P运动在线段AD上运动时，AP=3t，CQ=t，
∴DP=AD-AP=12-3t，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴12-3t=t ，∴t=3秒；当P 运动到AD 线段以外时，AP=3t ，CQ=t ，∴DP=3t-12，∵四边形PDCQ 是平行四边形，∴PD=CQ ，∴3t-12=t ，∴t=6秒，故答案为：3或6此题考查的是平行四边形与动点问题，掌握平行四边形的对应边相等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．12、x≤1【解析】分析：根据二次根式有意义的条件解答即可.详解：∵二次根式有意义，被开方数为非负数，∴1-x≥0，解得x≤1.故答案为x≤1.点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数为非负数是解题
的关键.
13、【解析】
如图，作AM 平分∠DAC ，交CD 于点M ，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，证明△ABE ∽△ADM ，根据相似三角形的性质可得AB ：AD=BE ：DM ，证明△ADM ≌△ANM ，根据全等三角形
的性质可得AN=AD ，MN=DM ，设BE=m ，DM=n ，则AN=AD=BC=9+m ，MN=n ，CM=9-n ，由此可得99m m n =+，即9n=m(9+m)，根据勾股定理可得，从而可得CN=-（9+m ）,在Rt △CMN 中，根据勾股定理则可得（9-n ）2=n 2-（9+m ）]2，继而由9n=m(9+m)，可得-2m(9+m)=2(9+m)2，=9+2m ，两边同时平方后整理得m 2+6m-27=0，求得m=3或m=-9（舍去），再根据勾股定理即可求得答案.【详解】如图，作AM 平分∠DAC ，交CD 于点M ，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，则∠CAD=2∠DAM=2∠NAM ，∠ANM=∠MNC=90°，∵∠CAD ＝2∠BAE ，∴∠BAE=∠DAM ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=9，∠B=∠D=90°，AD=BC ，∴△ABE ∽△ADM ，∴AB ：AD=BE ：DM ，又∵AM=AM ，∴△ADM ≌△ANM ，∴AN=AD ，MN=DM ，设BE=m ，DM=n ，则AN=AD=BC=CE+BE=9+m ，MN=n ，CM=CD-DM=9-n ，∵AB ：AD=BE ：DM ，∴99m m n =+，即9n=m(9+m)，
∵∠B=90°，∴=，
∴-（9+m ）,
在Rt △CMN 中，CM 2=CN 2+MN 2，
即（9-n ）2=n 2+[-（9+m ）]2，
∴81-18n+n 2=n 2+92+(9+m)2+(9+m)2，
又∵9n=m(9+m)，∴81-2m(9+m)+n 2=n 2+92+(9+m)2+(9+m)2，即-2m(9+m)=2(9+m)2，=9+2m ，∴92+(9+m)2=(9+2m)2，即m 2+6m-27=0，解得m=3或m=-9（舍去），∴==，故答案为：.本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用等，综合性较强，难度较大，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识，准确计算是解题的关键.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）证明见详解；（2）1【解析】（1）先连接BD ，交AC 于O ，由于四边形ABCD 是平行四边形，易知OB=OD ，OA=OC ，而AE=CF ，根据等式性质易得OE=OF ，即可得出结论．（2）由AE=CF ，OE=OF ，EF=2AE=2，得出AE=CF=OE=OF=1，AC=4，CE=3，证出△BCE
是等腰直角三角形，得出BE=CE=3，得出▱ABCD 的面积=2△ABC 的面积=2×12×AC ×BE ，即可得出结果．
【详解】
（1）证明：连接BD ，交AC 于O ，如图所示：
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD ，OA=OC ，∵AE=CF ，∴OA-AE=OC-CF ，∴OE=OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形；（2）解：∵AE=CF ，OE=OF ，EF=2AE=2，∴AE=CF=OE=OF=1，∴AC=4，CE=3，∵∠ACB=45°，BE ⊥AC ，∴△BCE 是等腰直角三角形，∴BE=CE=3，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴▱ABCD 的面积=2△ABC 的面积=2×12×AC ×BE=4×3=1．本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．15、采用新工艺前每时加工20个零件，采用新工艺后每时加工1个零件．【解析】设采用新工艺前每时加工x 个零件，那么采用新工艺后每时加工1.2x 个零件，根据时间＝
零件数÷每小时加工零件数，由等量关系：加工同样多的零件1200个少用10h ，可列方程求解．
【详解】
设采用新工艺前每时加工x 个零件，则采用新工艺后每时加工1.2x 个零件，依题意有1200
1200
101.2x x -=，
解得x ＝20，经检验：x ＝20是原分式方程的解，且符合题意，则1.2x ＝1．答：采用新工艺前每时加工20个零件，采用新工艺后每时加工1个零件．本题考查分式方程的应用和理解题意能力，关键是设出采用新工艺之前每小时加工x 个，然后表示出采用新工艺后每小时加工多少个，再以时间做为等量关系列方程求解．16、（1）；（2）2；（3）-1或5.【解析】（1）根据友好函数的定义解答即可；（2）因为-2＜0，所以把A （-2，5）代入中即可求得a 的值；（3）分和两种情况求m 的值即可.【详解】（1）的友好函数为，（2）解：因为-2＜0，所以把A （-2，5）代入中得，，∴；（3）当时，把B （m ，）代入中得，，∴；
当时，把B （m ，）代入中得，
，
∴
本题是阅读理解题，根据题意正确理解友好函数的定义是解决问题的关键.17、（1）；（2）3-2.【解析】分析：(1)用平方差公式和完全平方公式计算；(2)把式子中的二次根式都化为最简二次根式后，再加减.详解：)﹣＋)2＝7－5－(3＋＋18)＝－19－；3＝32--＝3－2.点睛：本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号，能够使乘法公式的尽量使用乘法公式．18、(1)见解析；（2）见解析【解析】（1）分别作出点A 、C 绕点B 逆时针旋转90°所得对应点，再顺次连接即可得；（2）分别作出点B 、C 变换后的对应点，再顺次连接即可得．
【详解】
（1）如图所示，△A 1BC 1即为所求．
（2）如图所示，△AB 2C 2即为所求．考查作图-旋转变换、位似变换，解题的关键是掌握旋转变换和位似变换的定义与性质．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、9或1【解析】【分析】△ABC 中，∠ACB 分锐角和钝角两种：①如图1，∠ACB 是锐角时，根据勾股定理计算BD 和CD 的长可得BC 的值；②如图2，∠ACB 是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD ﹣CD 代入可得结论．【详解】有两种情况：①如图1，∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，由勾股定理得：==5，=，∴BC=BD+CD=5+4=9；②如图2，同理得：CD=4，BD=5，
∴BC=BD ﹣CD=5﹣4=1，
综上所述，BC 的长为9或1；故答案为：9或1．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．20、70°【解析】由折叠的性质可得∠DEH=∠FEH=70°，再根据两直线平行，内错角相等即可求得答案.【详解】由题意得∠DEH=∠FEH=70°，∵AD//BC ，∴∠BHE=∠DEH=70°，故答案为：70°.本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质以及平行线的性质是解题的关键.21、【解析】利用平行四边形的对角线互相平分得出AO=12AC=1，BD=2BO ，根据勾股定理求出BO 的长，进而可求出BD 的长.【详解】解：∵▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=AC=2，
∴AO=CO=12AC=1，BD=2BO ．∵AB ⊥AC ，
BO ∴===
∴BD=2BO=
故答案为：
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单.22、x>1【解析】试题解析：由题意得：67x --＞0，∵-6＜0，∴1-x ＜0，∴x ＞1．23、20【解析】正多边形的外角和是360°，而每个外角是18°，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数．【详解】设多边形边数为n ，于是有18°×n=360°，解得n=20.即这个多边形的边数是20.本题考查多边形内角和外角，熟练掌握多边形的性质及计算法则是解题关键.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）（2）17+【解析】（1）先根据二次根式的性质把各个根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．（2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可.
【详解】
解：（1）原式=63-⨯+
=-
（2）原式=215+++=17+本题考查了二次根式的性质和多项式与多项式相乘，解题的关键是准确的化简二次根式，以及掌握乘法运算法则.25、（1）见解析；（2）见解析；（3）当AB=AC 时，四边形ADCE 是矩形.【解析】（1）根据“AAS ”即可证明△AFE ≌△DFB ；（2）由△AFE ≌△DFB 可证明AE=CD ，再由AE ∥BC 可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE 是平行四边形；（2）当AB=AC 时，根据等腰三角形三线合一可得AD ⊥BC ，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论.【详解】（1）∵AE ∥BC ，∴∠AEF=∠DBF ,∵∠AFE=∠DFB ，AF=DF,∴△AFE ≌△DFB （AAS ）;（2）∵△AFE ≌△DFB ，∴AE=BD ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD,∴AE=CD ,∵AE ∥BC,∴四边形ADCE 是平行四边形；
（3）当AB=AC 时，四边形ADCE 是矩形；∵AB=AC ，AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，
∴∠ADC=90°
∵四边形ADCE 是平行四边形,
第21页，共21页∴四边形ADCE 是矩形,∴当AB=AC 时，四边形ADCE 是矩形.此题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形、平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．26、见解析【解析】根据尺规作线段垂直平分线的作法，作出AB 的垂直平分线与AC 的交点，即可．【详解】如图所示：∴点D 即为所求．本题主要考查线段的垂直平分线的尺规作图，熟练掌握线段的中垂线尺规作图的基本步骤，是解题的关键．。