2013高三数学一轮复习课时提能演练 6.5 合情推理与演绎推理 理 新课标

2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 6.5 合情推理
与演绎推理 (45分钟100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·某某模拟)已知a n ＝(13
)n
，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：
a 1 a 2a 3a 4 a 5a 6a 7a 8a 9 …
记A(s ，t)表示第s 行的第t 个数，则A(11,12)＝( ) (A)(13)67(B)(13)68(C)(13)111(D)(13
)112
2.(2012·某某模拟)记S n 是等差数列{a n }前n 项的和，T n 是等比数列{b n }前n 项的积，设等差数列{a n }公差d≠0，若对小于2 011的正整数n ，都有S n ＝S 2 011－n 成立，则推导出a 1 006＝0，设等比数列{b n }的公比q≠1，若对于小于23的正整数n ，都有T n ＝T 23－n 成立，则( ) (A)b 11＝1 (B)b 12＝1 (C)b 13＝1 (D)b 14＝1
3.三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②某某人是中国人；③某某人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是( ) (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)②①
4.对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：
其中为凸集的是( )
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④ 5.(预测题)在集合{a ，b ，c ，d}上定义两种运算
和
，各元素间运算结果如下：
那么d
(a
c)＝( )
(A)a (B)b (C)c (D)d
6.对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0. 将它类比到平面的情形是：
若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0. 将它类比到空间的情形应该是： 若O 是四面体ABCD 内一点，则有( )
(A)V O —ACD ·OA ＋V O —BCD ·OB ＋V O —ABC ·OC ＋V O —ABD ·OD ＝0 (B)V O —BCD ·OA ＋V O —ACD ·OB ＋V O —ABD ·OC ＋V O —ABC ·OD ＝0 (C)V O —ABD ·OA ＋V O —ABC ·OB ＋V O —BCD ·OC ＋V O —ACD ·OD ＝0 (D)V O —ABC ·OA ＋V O —ABD ·OB ＋V O —ACD ·OC ＋V O —BCD ·OD ＝0 二、填空题(每小题6分，共18分)
7.给出下列不等式：1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋1
15
>2，…，则按此规律
可猜想第n 个不等式为.
8.(2012·某某模拟)在△ABC 中，若BC⊥AC，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2
＋b
2
2.
将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S —ABC 中，若SA 、SB 、SC 两两垂直，SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，则四面体S —ABC 的外接球半径R ＝.
9.(易错题)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝
12＋12，12＝13＋16，13＝14＋1
12
，…，则第10行第4个数(从左往右数)为. 11 1212 13161
3 141121121
4 151201301201
5
……
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点. (1)求第n 行实心圆点个数与第n －1，n －2行实心圆点个数的关系. (2)求第11行的实心圆点的个数.
11.(2012·某某模拟)在Rt△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC 于点D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1
AC 2，那么
在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由. 【探究创新】
(16分)如图，在直角三角形ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，有很多大家熟悉的性质，例如“AB⊥AC”，勾股定理“|AB|2＋|AC|2＝|BC|2
”和“1|AD|2＝1|AB|2＋1|AC|2”等，由此联想，
在三棱锥O —ABC 中，若三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，可以推出哪些结论？至少写出两个结论.
答案解析
1.【解析】选D.由于该三角形数阵的每一行数据个数分别为1,3,5,7,9，…，可得前10行共有10(1＋19)2＝100个数，A(11,12)表示第11行的第12个数，则A(11,12)是数列{a n }的
第100＋12＝112个数，即可得A(11,12)＝(13
)112
，故应选D.
2.【解析】选B.由等差数列中S n ＝S 2 011－n ，可导出中间项a 1 006＝0，类比得等比数列中T n ＝T 23－n ，可导出中间项b 12＝1.
3.【解题指南】根据三段论的结构特征即可解决，务必要分清大前提、小前提及结论. 【解析】选A.解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”(①所有的中国人都坚强不屈)，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②某某人是中国人)”，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(③某某人一定坚强不屈)”.故选A.
4.【解题指南】根据凸集的定义，结合图形的形状特征即可判定. 【解析】选B.根据凸集的定义，结合图形任意连线可得②③为凸集.
5.【解析】选A.∵a c ＝c ， ∴d
(a
c)＝d
c ＝a ，故选A.
6.【解析】选B.由线段AB 上|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0类比可得， O 是△ABC 内一点，则S △OBC ·OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，
故四面体中OA 与V O —BCD 对应，OB 与V O —ACD 对应，OC 与V O —ABD 对应，OD 与V O —ABC 对应，故应选B.
7.【解题指南】第一个不等式左侧3项，第二个7项，第三个15项，故第n 个应有2n ＋1
－1
项，右侧，为1，3
2，2，…，
故第n 个应为n ＋1
2
，从而可得_____.
【解析】观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为2
n ＋1
－1，不等式右边为首项
为1，公差为12的等差数列，故猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1－1>n ＋1
2.
答案：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋1
2
8.【解析】由于SA ，SB ，SC 两两垂直，则S —ABC 的外接球即为以SA ，SB ，SC 为邻边的长方体的外接球，即(2R)2
＝SA 2
＋SB 2
＋SC 2
，即4R 2
＝a 2
＋b 2
＋c 2
， ∴R ＝a 2
＋b 2
＋c
2
2.
答案：a 2
＋b 2
＋c
2
2
9.【解析】由数阵可知，第n 行的第一个数为1
n ，
第二个数为1n(n －1)，∴第9行的第二个数为1
9×8，
第10行的第二个数为1
10×9
.
由已知可知第10行的第三个数为19×8－110×9＝1
360，
而第9行的第三个数为18×7－19×8＝1
252，
∴第10行的第四个数为1252－1360＝1
840.
答案：1
840
10.【解题指南】设出第n 行实心圆点的个数a n ，空心圆点的个数b n ，则它与第n －1行的关系由题意不难得出，整理可得解.
【解析】(1)设第n 行实心圆点有a n 个，空心圆点有b n 个，由树形图的生长规律可得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
b n ＝a n －1a n ＝a n －1＋b n －1，
∴a n ＝a n －1＋b n －1＝a n －1＋a n －2，
即第n 行实心圆点个数等于第n －1行与第n －2行实心圆点个数之和.
(2)由(1)可得数列{a n }为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，∴第11行实心圆点的个数就是该数列的第11项55.
【方法技巧】解决“生成”数列的方法
解决生成数列的关键在于抓住该数列的生成规律，一方面可以通过不完全归纳法来猜想结论，另一方面也可以通过第n 项与第n －1项的关系来分析与处理.此类问题是高考的热点. 【变式备选】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第几行？
【解析】杨辉三角中某行全为奇数时转换后此行才都为1，由数阵可得，全行的数都为1分别是第1,3,7,15，…行，由此可猜想第n 次全行的数都为1的是第2n
－1行. 11.【解析】如图①所示，由△ABD ∽△CAD 及射影定理知 AD 2
＝BD ·DC ，
AB 2
＝BD ·BC ，AC 2
＝BC ·DC ，
∴
1AD 2＝
1
BD ·DC
＝BC
2
BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2
AB 2·AC
2. 又BC 2
＝AB 2
＋AC 2
， ∴1AD 2＝AB 2
＋AC 2
AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴
1AD 2＝1AB 2＋1AC
2. 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想：
四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，
AE ⊥平面BCD ， 则
1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD
2. 图②
证明：如图②，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF.
∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD.
而AF 平面ACD ，∴AB ⊥AF. 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴
1AE 2＝1AB 2＋1AF
2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴
1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD
2. 【探究创新】 【解析】有以下结论：
(1)三个侧面OAB 、OAC 、OBC 两两垂直 (2)1OH 2＝1OA 2＋1OB 2＋1
OC 2(H 为△ABC 的垂心) (3)S △OAB 2
＋S △OAC 2
＋S △OBC 2
＝S △ABC 2
以下给出具体的证明：
(1)∵OA ⊥OC ，OB ⊥OC ，OA ∩OB ＝O ， ∴OC ⊥平面OAB ，
∴平面OAC ⊥平面OAB ，平面OBC ⊥平面OAB ，同理可证平面OBC ⊥平面OAC. (2)如图连接AH ，并延长AH 交BC 于D ，连接OD ， ∵OA ⊥平面OBC ，∴OA ⊥OD ， 在Rt △AOD 中，∵OH ⊥AD ， ∴OH ·AD ＝OA ·OD ， ∴OH 2
·AD 2
＝OA 2
·OD 2
， 又∵AD 2
＝OA 2
＋OD 2
， ∴
1OH 2＝1OA 2＋1OD
2①， ∵AD ⊥BC ，由三垂线定理得：BC ⊥OD ，
∴在Rt △OBC 中，OD 2·BC 2＝BO 2·CO 2
， ∴OD 2
＝BO 2
·CO 2
BC
2
，又∵BC 2＝BO 2＋CO 2
， ∴
1OD 2＝1BO 2＋1CO
2② 由①②得：
1OH 2＝1OA 2＋1OB 2＋1OC
2.
(3)令OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ， ∵H 为垂心，∴AD ⊥BC ， 又∵OA 、OB 、OC 两两垂直， ∴S △OAB ＝12ab ，S △OBC ＝1
2bc ，
S △OAC ＝12ac ，S △ABC ＝1
2
BC ·AD ，
∴S △OAB 2＋S △OAC 2＋S △OBC 2
＝14(a 2b 2＋a 2c 2＋b 2c 2)
＝14a 2(b 2＋c 2)＋14b 2c 2
.① 又∵在Rt △BOC 中，OD ⊥BC ， ∴OB 2
·OC 2
＝b 2c 2
＝OD 2
·BC 2
＝OD 2
·(b 2
＋c 2
).②
∴②代入①得：S △OAB 2＋S △OBC 2＋S △OAC 2＝14(b 2＋c 2)·AD 2＝14BC 2·AD 2＝S △ABC 2.
【方法技巧】解此类问题的技巧
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路.如表：。