河北省石家庄市2019-2020学年高考第四次模拟数学试题含解析

河北省石家庄市2019-2020学年高考第四次模拟数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则A B I 等于（ ）
A ．{}012
,, B ．{2,1,0,1,2}-- C ．{}2,1,0,1,2,3-- D ．{}12
, 【答案】A 【解析】 【分析】
进行交集的运算即可． 【详解】
{0A =Q ，1，2，3}，{|22}B x x =-剟， {0A B ∴=I ，1，2}．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 2．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】
当0k ≥时,等式2
2
4||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,2
2
4||4kx y k k +==-,可化为
22144
y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】
本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.
3．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )
A ．25
5
-
B ．55
-
C ．
55
D ．25
-
【答案】A 【解析】 【分析】
设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依
题有OA OB ⊥,则90αβo
=+，利用诱导公式即可得到答案.
【详解】
如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β
因为点()1,2A 在角β的终边上，所以22
25
sin 12β=
=
+依题有OA OB ⊥,则90αβo
=+，
所以25
cos cos(90)sin αββo =+=-=-， 故选：A 【点睛】
本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.
4．已知复数1cos23sin 23z i =+o
o
和复数2cos37sin37z i =+o
o
，则12z z ⋅为 A ．
132- B ．
312
i + C ．
132+ D 312
i - 【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出． 【详解】
z 1z 2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝122
+． 故答案为C ． 【点睛】
熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算. 5．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则
21
1
a b +-的最小值为（ ）
A ．
34
+ B ．
34+ C ．
36
+ D ．
36
+ 【答案】A 【解析】 【分析】 所求
211
a b +-的分母特征，利用5a b +＝变形构造(1)4a b +-=，再等价变形121
()[(1)]41a b a b +
+--，利用基本不等式求最值. 【详解】
解：因为0,1a b >>满足5a b +＝， 则
()21211
()1114
a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦-- ()2111
3(3414
b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当
()211
b a
a b -=
-时取等号， 故选：A ． 【点睛】
本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 6．给出下列三个命题：
①“2
000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；
②在ABC V 中，“30B ︒>”是“cos B <
”的充要条件；
③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π
个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】
对于命题①,因为()2
2
0002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,
即①是假命题;
对于命题②,充分性:ABC V 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即31cos 2
B -<<
,即可得到3
cos B <,即充分性成立;必要性:ABC
V 中,0180B ︒︒<<,若3
cos 2
B <
,结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;
对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛
⎥⎫+ ⎪
⎝⎝
⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题． 故假命题有①③. 故选:C 【点睛】
本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.
7．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）
A
．
3
B
．C
．D
【答案】D 【解析】 【分析】
设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得
sin sin120AB AC
α=︒
，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】
设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，
则AC =
CD =
由正弦定理得
sin sin120AB AC α=︒
，即sin α=， 从而(
)cos cos 90sin BCD αα∠=︒+=-=
， 在BCD ∆
中，由余弦定理得：21349
92333
BD =+
+⨯=
，
则BD =
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 8．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．
27 28 16 15 59
28 32 17 14 63
29 51 21 28 100
30 38 27 23 88
A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势
B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义
C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降
D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据表格和折线统计图逐一判断即可.
【详解】
A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；
B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；
C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；
D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为5459
56.5
2
+
=,不正确；
故选：B
【点睛】
此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.
9．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：
小明说：“鸿福齐天”是我制作的；
小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；
小金说：“兴国之路”不是我制作的，
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（）
A ．小明
B ．小红
C ．小金
D ．小金或小明
【答案】B 【解析】 【分析】
将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】
依题意，三个人制作的所有情况如下所示： 1 2 3 4 5 6 鸿福齐天 小明 小明 小红 小红 小金 小金 国富民强 小红 小金 小金 小明 小红 小明 兴国之路
小金
小红
小明
小金
小明
小红
若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红， 故选：B. 【点睛】
本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.
10．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒
∠=∠=，则异面直线1AB 与1
BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．
3
3
B ．
66
C ．
34
D 3【答案】B 【解析】 【分析】
设1AA c =u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v
，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解出11AB BC ⋅u u u v u u u u v 和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v
，即可得所求角的余弦值.
【详解】
设棱长为1，1
AA c =u u u v v
，AB a =u u u v v ，
AC b =u u u v v
由题意得：12a b ⋅=v v ，12b c ⋅=v v ，
12
a c ⋅=v v
1AB a c =+u u u v v v Q ，11BC BC BB b a c =+=-+u u u u v u u u v u u u v v v v
()()
221111
11122
AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=u u u v u u u u v v v v v v v v v v v v v v v v
又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+=u u u v v v v v v v
(
)
2
22212222BC b a c
b a
c a b b c a c =
-+=++-⋅+⋅-⋅=u u u u v
v v v v v v v v v v v v
111111
6
cos ,66AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅u u u v u u u u v
u u u v u u u u v u u u v u u u u v
即异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为：66
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.
11．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．2
D ．23【答案】A 【解析】 【分析】
由CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方后展开整理，即可求得2
CD u u u r ，则CD 的长可求．
【详解】
解：Q CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r
，
∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++u u u r u u u r u u u r
u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
g g g ， Q CA AB ⊥u u u r
u u u r
，BD AB ⊥u u u r u u u r
，
∴0CA AB =u u u r u u u r g ，0BD AB =u u u r u u u r
g ，
1
||||cos1202442
CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r g ．
∴244162416CD =++-⨯=u u u r
，
||4CD ∴=u u u r
，
故选：A ． 【点睛】
本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且
()
()2
2
2
4
m f m f f n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，
则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4 B ．6
C ．3
D ．8
【答案】A 【解析】 【分析】
根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值.
【详解】
函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()
()2
2
2
4
m f m f f n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
⋅=，
则()()m f f n f m n ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1
2
01x x <
<， 故120x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，
令1m x =，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
， 即()()11220x f x f x f x ⎛⎫
-=<
⎪⎝⎭
， 故函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 故()()max 16f x f =，
令16m =，4n =，
故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【点睛】
本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且2DA BD =u u u r u u u r ，设CA a =u u r r ，CB b =u u u r r ，则CD =u u u r ________（用a r ，b
r
表示）
【答案】1233
a b +r r
【解析】 【分析】
结合图形及向量的线性运算将CD uuu r 转化为用向量,CA CB u u u r u u u r
表示，即可得到结果． 【详解】
在CAD ∆中CD CA AD =+u u u r u u u r u u u r ，因为2DA BD =u u u r u u u r
，
所以2CD CA AB 3
=+u u u r u u u r u u u r ，又因为AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r ，
所以2212()33331233CD CA AB CA CB CA a b CA CB =+=+-==++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ．
故答案为：1233
a b +r r
【点睛】
本题主要考查三角形中向量的线性运算，关键是利用已知向量为基底，将未知向量通过几何条件向基底转化．
14．已知,a b ∈R ，复数z a i =-且
11z
bi i
=++（i 为虚数单位），则ab =__________，z =_________．
【答案】6ab =- z = 【解析】
∵复数z a i =-且
11z
bi i
=++ ∴
()(1)(1)(1)1122
a i a i i a a i
bi i -----+===++
∴1
12{12a a b -=+-=
∴3{2
a b ==- ∴6ab =-
，z ==故答案为6-
15．设函数()()f x x R ∈ 满足()(),()(2)f x f x f x f x -==-,且当[0,1]x ∈时3()f x x =,又函数
()|cos()|g x x x π=,则函数()()()h x g x f x =-在13
[,]22
-上的零点个数为___________.
【答案】1 【解析】 【分析】
判断函数()f x 为偶函数，周期为2，判断()g x 为偶函数，计算(0)0,(1)1f f ==，
113
(0)()()()0222
g g g g ==-==，画出函数图像，根据图像到答案.
【详解】
()()f x f x -=知，函数()f x 为偶函数，()(2)f x f x =-，函数关于1x =对称。

()(2)(2)f x f x f x =-=-，故函数()f x 为周期为2的周期函数，且(0)0,(1)1f f ==。

()|cos()|g x x x π=为偶函数，113
(0)()()()0222g g g g ==-==，()11g =，
当10,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()cos()g x x x π=，()'()cos()sin g x x x x πππ=-，函数先增后减。

当13,22x ⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
时，()cos()g x x x π=-，()'()sin cos()g x x x x πππ=-，函数先增后减。

在同一坐标系下作出两函数在13[,]22-上的图像，发现在13
[,]22
-内图像共有1个公共点， 则函数()h x 在13
[,]22
-上的零点个数为1． 故答案为：6.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，确定函数的奇偶性，对称性，周期性，画出函数图像是解题的关键.
16．若5
2ax x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为240，则实数a 的值为________. 【答案】－3 【解析】 【分析】
依题意可得二项式展开式的常数项为3
323152C T ax x x +⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭
即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：∵二项式52ax x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3
323152C 80240T ax x a x +⎛⎫=⋅-=-= ⎪⎝⎭
， ∴解得3a =-. 故答案为：3- 【点睛】
本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数2()e 3x f x m x =-+，其中m R ∈．
（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）极小值(1)2h -=-，极大值(1)2h =；（Ⅱ）4
132e e m -<<或
36
e m = 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据偶函数定义列方程，解得0m =.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即
得极值，（Ⅱ）先分离变量，转化研究函数()23
e
x
x g x -=，[]2,4x ∈-，利用导数研究()g x 单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的m 的取值范围． 【详解】
（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=， 即()2
2e 3e 3x x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立， 所以0m =. 此时()()3
3h x xf x x x ==-+，则()2
33h x x =-'+.
由()0h x '=，解得1x =±. 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：
所以()h x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递减，在()1,1-上单调递增. 所以()h x 有极小值()12h -=-，()h x 有极大值()12h =.
（Ⅱ）由()2
e 30x
f x m x =-+=，得23
e
x
x m -=. 所以“()f x 在区间[]2,4-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线()23
e
x
x g x -=，[]2,4x ∈-有且只有两个公共点”. 对函数()g x 求导，得()223
e x
x x g x -++'=.
由()0g x '=，解得11x =-，23x =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：
所以()g x 在()2,1--，()3,4上单调递减，在()1,3-上单调递增. 又因为()2
2e g -=，()12e g -=-，()()3632e g g =
<-，()()41341e
g g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线()2
3
e x
x g x -=，[]2,4x ∈-有且只有两个公共点.
即当4132e e m -<<或3
6e
m =时，函数()f x 在区间[]2,4-上有两个零点. 【点睛】
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
18．已知函数()e ln x
b f x a x x
=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =.
（1）求a ，b 的值；
（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-. 【答案】（1）2,1a b ==（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求导，可得f '（1）a =，f （1）be =-，结合已知切线方程即可求得a ，b 的值；
（2）利用导数可得0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，0(1,2)x ∈，再构造新函数2
()2,121
h x lnx x x =-<<-，利用导数求其最值即可得证． 【详解】
（1）函数的定义域为(0,)+∞，2
()
()x x a b xe e f x x x -'=-，
则f '（1）a =，f （1）be =-，
故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=， 又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=， 2a ∴=，1b =；
（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则2
2()x x
x xe e f x x -+'=，
令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减， 又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<， 故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，
且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<， 故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，
且当0(0,)x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0<g x ，()0f x '<，()f x 单调递减，
故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x
g x x x e e =-+=，即00
002,(1,2)1
x x e x x =
∈-， 则0000002()221
x e f x lnx lnx x x =-=--， 令2
()2,121
h x lnx x x =-
<<-，则222()0(1)h x x x '=+
>-， 故()h x 在(1,2)上单调递增，
由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即002
22221
lnx ln x -<--， 0()222f x ln ∴<-．
【点睛】
本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题．
19
．已知向量(()2
2sin ,,cos ,2cos 1==-r r a x b x x ， ()f x a b =⋅r r .
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，且1,==a b (
)f A ABC ∆的面积.
【答案】（1）π；（2
）2
或
2
【解析】 【分析】
（1）利用平面向量数量积的坐标运算可得()sin()f x x π
=-
223
，利用正弦函数的周期性即可求解；（2）
由（1
）可求sin(2)3
A π
-
=
，结合范围52333
A πππ
--剟，可求A 的值，由余弦定理可求c 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
（1）()f x a b =⋅r r
22sin cos 1)x x x =-
sin 22x x =2sin(2)3
x π
=-
∴最小正周期22
T π
π=
= .
（2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
， ∴()2sin 23f A A π⎛⎫
=-
= ⎪⎝
⎭
∴sin 232
π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭A ， 又52A 333πππ-≤-≤ ∴2A 3
3
π
π
-=
或22A =
3
3π
π-
. 解得3
A π=或2A π=
当3
A π
=时，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-
即
2
22121cos
3
π
=+-⨯⋅c c ， 解得=2c .
此时11sin 12sin 2232
π∆==⨯⨯=
ABC S bc A . 当2
A π
=时，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-.
即
2
22121cos
2
c c π
=+-⨯⋅，解得c
此时11sin 1sin 222ABC S bc A π∆==⨯=
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性，考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题． 20．已知,(0,)a b ∈+∞，(1)(1)a b b a -=-，()|21||2|f x x x =++-. （1）求22a b +的最小值；
（2）若对任意,(0,)a b ∈+∞，都有(
)22
()4f x a b ≤+，求实数x 的取值范围.
【答案】（1）2；（2）7,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
【解析】 【分析】
（1）化简(1)(1)a b b a -=-得11122a b +=，所以()2
22221122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
，展开后利用基本不等
式求最小值即可；
（2）由（1），原不等式可转化为|21||2|8x x ++-≤，讨论去绝对值即可求得x 的取值范围. 【详解】
（1）∵,(0,)a b ∈+∞，(1)(1)a b b a -=-， ∴2a b ab +=，∴
11
122a b
+=. ∴()2
2222222211122224b a b a a b a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++++
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1(2224≥+⨯=. 当且仅当2222b a a b
=且b a a b =即1a b ==时，()
22min
2a b
+=.
（2）由（1）知，(
)
22
min
2a b
+=，
对任意,(0,)a b ∈+∞，都有(
)22
()4f x a b ≤+，
∴()8f x ≤，即|21||2|8x x ++-≤. ①当210x +<时，有2128x x ---+≤， 解得71
32
x -
≤<-； ②当210x +≥，20x -≤时，有2128x x +-+≤， 解得1
22
x -
≤≤； ③当20x ->时，有2128x x ++-≤， 解得23x <≤； 综上，7
33
x -
≤≤， ∴实数x 的取值范围是7,33
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查基本不等式的运用和求解含绝对值的不等式，考查学生的分类思想和计算能力，属于中档题. 21．已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足()2
2
120n n a n a n n -+--=.
（1）求1a ，2a 及{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2
n
a 的前n 项和n
S
.
【答案】（1）13a =；25a =.21n a n =+；（2）()8413
n
n S =- 【解析】 【分析】
（1）根据题意，知0n a >，且()22
120n n a n a n n -+--=，令1n =和2n =即可求出1a ，2a ，以及运
用递推关系求出{}n a 的通项公式；
（2）通过定义法证明出{}n b 是首项为8，公比为4的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式，即可求得{}2
n
a 的前n 项和n
S
.
【详解】
解：（1）由题可知，0n a >，且()22
120n n a n a n n -+--=， 当1n =时，2
11230a a --=，则13a =， 当2n =时，2
223100a a --=，25a =，
由已知可得()()210n n a n a n +-+=⎡⎤⎣⎦，且0n a >， ∴{}n a 的通项公式：21n a n =+.
（2）设2n a
n b =，则212n n b +=，
所以
21
22112242
n n n n b b +--===，3128b ==， 得{}n b 是首项为8，公比为4的等比数列， 所以数列{}n b 的前n 项和n S 为：
12n n S b b b =+++L ，
即()()352181482224114
3
n n n
n S +-=++⋅⋅⋅+==
--， 所以数列{}2n
a 的前n 项和：()8413
n
n
S
=
-. 【点睛】
本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前n 项和公式，考查计算能力. 22．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=． （1）求n a ． （2）设2n n
n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】 (1) ()23n a n =- (2) 2
(4)216n n T n +=-⋅+
【解析】 【分析】
(1)由数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，解得30a =，又由46582a a a +==，解得2d =， 即可求得数列的通项公式；
(2)由（1）得()1
232
n
n n n b a n +=⋅=-⋅，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n 项和．
【详解】
(1)由题意，数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，又533S a =，30a ∴=， 由46582a a a +==，得54a =，所以5324a a d -==，解得2d =， 所以数列的通项公式为()()3323n a a n d n =+-=-． (2)由（1）得()1
232
n
n n n b a n +=⋅=-⋅，
()()()234122120232n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅L ， ()()()()3412221242322n n n T n n ++=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅L ，
两式相减得(
)()2
341
2
222222
32
n n n n T T n ++-=⋅-++++-⋅L ，
()1228128(3)2(4)21612
n n n n n -++--
+-⋅=-⋅+=-，
即2
(4)216n n T n +=-⋅+．
【点睛】
本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
23．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线,AC BD 交于点,O M 为棱PD 的中点，
MA MC =．求证：
（1）//PB 平面AMC ； （2）平面PBD ⊥平面AMC ． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
(1) 连结,OM 根据中位线的性质证明//PB OM 即可. (2) 证明AC BD ⊥,AC PD ⊥再证明AC ⊥平面PBD 即可. 【详解】
解：()1证明：连结,OM
O Q 是菱形ABCD 对角线AC BD 、的交点,
O ∴为BD 的中点,
M Q 是棱PD 的中点,
//,OM PB ∴
OM ⊂Q 平面,AMC PB ⊄平面,AMC
//PB ∴平面,AMC
()2解：在菱形ABCD 中,,AC BD ⊥且O 为AC 的中点,
,MA MC Q ＝
AC OM ∴⊥, OM BD O ⋂Q ＝, AC ∴⊥平面,PBD AC ⊂Q 平面AMC ,
∴平面PBD ⊥平面AMC ．
【点睛】
本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.。