2018-2019学年人教A版选修2-2 2.2 直接证明与间接证明(第1课时) 作业1

自我小测
1．若a ，b ，c 是不全相等的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ca .
证明过程如下：
∵a ，b ，c ∈R ，
∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .
又a ，b ，c 不全相等，
∴以上三式至少有一个“＝”不成立．
∴将以上三式相加，得2(a 2＋b 2＋c 2)＞2(ab ＋bc ＋ac )，
∴a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac .此证法是( )
A ．分析法
B ．综合法
C ．分析法与综合法并用
D ．反证法
2．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
3．要使a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0成立的充要条件是( )
A ．|a |≥1且|b |≥1
B ．|a |≥1且|b |≤1
C ．(|a |－1)(|b |－1)≥0
D ．(|a |－1)(|b |－1)≤0
4．使不等式3＋8＞1＋a 成立的正整数a 的最大值是( )
A ．13
B ．12
C ．11
D ．10
5．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确的命题的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．平面内有四边形ABCD 和点O ，=OA OC OB OD ++，则四边形ABCD 为________．
7．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则
x y
＝________. 8．要证3a －3b ＞3a －b 成立，则a ，b 应满足的条件是________．
9．△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c
. 10．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.
(1)求证：AF ∥平面BDE ；
(2)求证：CF ⊥平面BDE .
参考答案
1．解析：由因导果，故为综合法．
答案：B
2．解析：由sin A sin B ＜cos A cos B 得cos A cos B －sin A sin B ＞0，即cos(A ＋B )＞0，－cos C ＞0，cos C ＜0，从而角C 必为钝角，△ABC 一定为钝角三角形．
答案：C
3．解析：a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0⇔a 2(1－b 2)＋(b 2－1)≤0⇔(b 2－1)(1－a 2)≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0⇔(|a |－1)(|b |－1)≥0.
答案：C
4．解析：由a ＜3＋8－1得a ＜(3＋8－1)2.
而(3＋8－1)2＝3＋8＋1＋224－23－28
＝12＋46－23－4 2
≈12.68.
因此使不等式成立的正整数a 的最大值为12.
答案：B
5．解析：若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确；
若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确；
若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行、相交或异面，③不正确；
若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确．
答案：A
6．解析：因为=OA OC OB OD ++，
所以=OA OB OD OC --，
所以=BA CD ，故四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形
7．解析：由条件知lg xy ＝lg(x －2y )2， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即⎝⎛⎭⎫x y 2－5⎝⎛⎭⎫x y ＋4＝0，
∴x y ＝4或x y
＝1. 又x ＞2y ，故x y
＝4， ∴
＝＝4. 答案：4
8．解析：要证3a －3b ＜3a －b ，
只需证(3a －3b )3＜(3a －b )3，
即a －b －33a 2b ＋33ab 2＜a －b ，
即33a 2b －33ab 2＞0， 即3ab (3a －3b )＞0.
故所需条件为⎩⎨⎧ 3ab >0，3a －3b >0，
或⎩⎨⎧ 3ab <0，3a －3b <0，
即ab ＞0且a ＞b 或ab ＜0且a ＜b .
答案：ab ＞0且a ＞b 或ab ＜0且a ＜b
9．证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c
＝3. 即证c a ＋b ＋a b ＋c
＝1，
即c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.
∵△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， ∴B ＝60°.
由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac ，
∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2.命题得证．
10．证明：(1)设AC ，BD 的交点为G ，
连接EG ，因为EF ∥AG ，且EF ＝1，
AG ＝12
AC ＝1， 所以四边形AGEF 为平行四边形， 所以AF ∥EG .
因为EG ⊂平面BDE ，AF 平面BDE ， 所以AF ∥平面BDE .
(2)连接FG .
因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1， 所以四边形CEFG 为菱形，所以CF ⊥EG . 因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC ． 又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，
且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，
所以BD ⊥平面ACEF ，
所以CF ⊥BD ．
又BD ∩EG ＝G ，所以CF ⊥平面BDE .。