2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分69离散型随机变量的均值与方差、正态分布

2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分69离散型随机
变量的均值与方差、正态分布
1．[xx·天津]某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
解析：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)
＝C1
3
·C27＋C03·C37
C3
10
＝
49
60
.
所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为
49
60
.
(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝
C k4·C3－k
6
C310(k＝0,1,2,3)．
所以，随机变量X的分布列是
随机变量X的数学期望E(X)＝0×
1
6＋1×
1
2＋2×
3
10＋3×
1
30＝
6
5.
2．[xx·福建]为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
(ⅰ)顾客所获的奖励额为60元的概率；
(ⅱ)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
解析：(1)设顾客所获的奖励额为X ，
(ⅰ)依题意，得P(X ＝60)＝C 11C 13C 24
＝12， 即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.
(ⅱ)依题意，得X 的所有可能取值为20,60.
P(X ＝60)＝12，P(X ＝20)＝C 23C 24
＝12， 即X 的分布列为
所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×12＋60×12＝40(元)．
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为
X 1的期望为E(X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，
X 1的方差为D(X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16
＝1 6003.
对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为
X 2的期望为E(X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，
X 2的方差为D(X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝
4003.
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.
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3．[xx·湖北]计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的频率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：
运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
解析：(1)依题意，p 1＝P(40＜X ＜80)＝1050＝0.2，
p 2＝P(80≤x ≤120)＝3550＝0.7，
p 3＝P(X ＞120)＝550＝0.1.
由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概
率为
P ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9104＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103×⎝ ⎛⎭
⎪⎫110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．
①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
②安装2台发电机的情形．
依题意，当40＜X ＜80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P(Y ＝4 200)＝P(40＜X ＜80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000.因此P(Y ＝10 000)＝P(X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下
所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.
③安装3台发电机的情形．
依题意，当40＜X ＜80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y ＝3 400)＝P(40＜X ＜80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P(Y ＝9 200)＝P(80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X ＞120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P(Y ＝15 000)＝P(X ＞120)＝p 3＝0.1.因此得
Y的分布列如下：
所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．4．[xx·课标全国Ⅰ]从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8＜Z＜212.2)；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．
附：150≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，
P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4.
解析：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33×＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而
P(187.8＜Z＜212.2)＝P(200－12.2＜Z＜200＋12.2)＝0.682 6.
②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为
0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.35026 88D2 裒37620 92F4 鋴q26542 67AE 枮33771 83EB 菫22077 563D 嘽'G38067 94B3 钳K 37258 918A 醊32878 806E 聮。