再论群论中几个没有解决的问题

再论群论中几个没有解决的问题
施武杰
【摘要】文章综述多年前由作者提出的几类有限群所涉及的几个没有解决的群论
问题.
【期刊名称】《重庆文理学院学报（社会科学版）》
【年(卷),期】2013(032)003
【总页数】3页(P1-2,5)
【关键词】群;元的阶;群阶;有限单群
【作者】施武杰
【作者单位】重庆文理学院数学与财经学院,重庆永川402160
【正文语种】中文
【中图分类】O512
在《没有解决的数论问题》一书［1］的序言中，作者指出:“数学之所以保持活力，比其它学科更加活跃，在于没有解决的问题的不断出现，这些问题来自于数学本身和越来越多的应用学科.”对于群论，有由俄罗斯科学院西伯利亚分院
V.D.Mazurov院士等主编的《群论中没有解决的问题》系列丛书［2］.我们在文
献［3］中提出的如下“群论中两个没有解决的新问题”，列入了上述丛书的
1992年版:
12.39(施武杰)［2］如果一个群G与一个有限单群M有相同的阶和同样的元的阶之集，它们是否同构?
12.84(公开问题)［2］如果两个非同构的群有相同的元的阶之集，是否存在无限多个群具有同样给定的元的阶之集?
现在，上述两个问题已经得到解决(前一个为肯定，后一个为否定).在解决的过程中，国内外产生了一批高质量的学术论文.本文就作者所研讨过的两类群提出一些问题
与读者共同研讨.其中，下文中列出的问题1即将列入上述丛书的第18版.
我们的硕士学位论文研讨了元素的阶均为素数(除单位元外)［4］和均为素数幂［5］的有限群.其中，在文献［5］的第3页和第6页有如下两个命题:
命题1［5］设G是有限质幂元群，H ＜G， (，d)=1，则整除G中d阶元的个数．
命题2［5］设G是可解质幂元群，G不是p-群，Q是G的极大正规q-子群．若G的Sylow 2-子群不是广四元数群，则GQ是亚循环群，且若G的阶为pαqβ，GQ的阶为pαqγ，则qγ(p-1)，G有主因子:
其中b是q(mod pα)的指数．
问题1 命题1的逆是否成立?即:设G是有限群，若对G的一切子群H有:如(，
d)=1，则整除G中d阶元的个数，问这样的群G是否仅为质幂元群［6］?
对上述问题，如果我们将条件加强为“若对G的一切子群H有:如(，d)=1，则整
除G中d阶元所在的共轭类的长度”．易证，这样的群是质幂元群．
设G不是p群，则不为质元群［4］的阶最小的对称群为S4，它是阶为24的质
幂元群，主因子为2，3，22．然而，在研讨112阶(112=24·7)群中，却发现不
存在主因子为2，7，23的质幂元群．事实上，由Magama软件，从计算知，112阶群共有43个不同构的群，它们均含14阶元(即不存在112阶质幂元群)．于是，什么样的p，q;α，β可以成为阶为pαqβ的有限质幂元群?这是一个
需进一步研究的问题．
问题3 研讨无限质元群和无限质幂元群.
文献［4］研讨了有限质元群，其主要结果是:
命题3 有限质元群只有以下3类:
1)方指数为p的p-群;
2)主因子为p;qb，…，qb(其中b是q(mod p)的指数)的可解质元群;
3)A5．
问题4 什么是无限质元群?对无限质元群是否有“不可解即单”的结论?
对于无限的局部有限质幂元群，读者可参考文献［7-8］．
命题4 设G是有限单群，如果= 4，则G同构于下述单群之一:An，n=7，8，9，10;M11，M12，J2;L2(q)，q=16，25，49，81; L3(q)，q=4，5，7，8，
17;L4(3);S4(q)，q= 4，5，7，9;S6(2)，O8+(2)，G2(3);U3(q)，q= 4，5，7，8， 9; U4(3); U5(2);3D4(2); 2F4(2)';Sz(8)，Sz(32);以及L2(r)，r满足下列方程式: 其中a≥1，b≥1，c≥1，r，u为素数，u＞3; L2(2m)，且满足下列方程式:
其中m≥1，u，t为奇素数，n≥1．
容易看出，单K4-群的个数决定于不定方程(1)～(4)的解数，比较单K3-群仅有8个，单K4-群的个数是有限还是无限?这个问题引起了不少群论、数论专家的兴趣．文献［11］曾对上述不定方程得出错误的结论，认为方程组(1)仅有两组解，(3)仅有一组解，而(2)和(4)无解．文献［12］指出了其错误，而文献［13］于2001年证明了如下命题［8］:
命题5 在命题4的不定方程(2) ～(4)中，除(3)中m=5，t=61，u=11，n=2外，没有n大于1的解．
文献［14］用计算机验证了群阶的最大素因子≤1060的单K4-群，共有101个.其中满足不定方程(1)的有35个，满足(2)的有54个，满足(3)的有8个，而满足(4)
的有4个.
作者曾与M.Herzog研讨过单K4-群的个数问题，一个共同的估计是:方程(2)、(3)
和(4)可能只有有限多个解，而方程(1)可能有无限多个解.
问题5 如何证明方程(1)有无限多个解?即证明单K4-群的个数为无限.
致谢:在研讨112阶群的元素的阶时，作者先后得到李金宝、曲海鹏两位博士的帮助，用Magama软件得出的结果是他们给出的，特此致谢!
【相关文献】
［1］Richard K.Guy，Unsolved problems in number theory［M］.Springer Verlag，1994. ［2］Mazurov V D，Khukhro E I.Unsolved problems in group theory
［M］.Novosibirsk:The Kourovka Notebook，1992:130-148.
［3］施武杰.群论中两个没有解决的新问题［J］.西南师范大学学报:自然科学版，1996，
21(S1):6-10.
［4］施武杰，杨文泽.A5的一个新刻划与有限质元群［J］.西南师范学院学报:自然科学版，
1984(1):36-40.
［5］施武杰，杨文泽.有限质幂元群［J］.云南教育学院学报:自然科学版，1986(1):2-10.
［6］Shi W J.Two unsolved problems in group theory［M］. Mathematical Forum，Vol.6，Groups and Graphs(Review of Science:The South of Russia)，Vladikavkaz，2012:152-154. ［7］Yang W Z.Zhang Z R.Local soluble infinite groups in which every element has prime power order［J］.South Asian Bulletin of Mathematics，2003，26(5):857-864.
［8］Heineken H.On groups all of whose elements have prime power order
［J］.Mathematical Proceedings of Royal Irish Academy，2006，106A(2):191-198.
［9］Herzog M.On finite simple groups of order divisible by three prime only
［J］.J.Algebra，1968，10(3):383-388.
［10］施武杰.关于单 K4-群［J］.科学通报，1991，36 (17):1281-1283.
［11］乐茂华，徐广善.K4-单群的几个Diophantine方程问题［J］.中国科学(A辑)，1996，
26(9):769-773.
［12］袁平之.几个未解决的不定方程问题［J］.数学研究与评论，2000，20(4):627-628.
［13］Bugeaud Y，Cao Z，Mignotte M.On simple K4-groups［J］.J.Algebra，2001，
241(2):658-668.
［14］邓辉文.关于单K4-群的个数［J］.西南师范大学学报，1998，23(4):375-378.。