高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法试题 理 北师大版-北师大版高三全

第七章不等式 7.2 一元二次不等式及其解法试题理北师大版
1．“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2－
4ac
Δ>0Δ＝0Δ<0
二次函数y＝ax2＋
bx＋c (a>0)的图
像
一元二次方程ax2
＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，
x2(x1<x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
b
2a
没有实数根
一元二次不等式
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2} {x|x≠－
b
2a
} {x|x∈R}
一元二次不等式
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1< x<x2} ∅∅
2.常用结论
(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法
不等式
解集
a<b a＝b a>b
(x－a)·(x －b)>0{x|x<a或
x>b}
{x|x≠a}
{x|x<b或
x>a}
(x－a)·(x
－b)<0
{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 口诀：大于取两边，小于取中间．
【知识拓展】 (1)
f x
g x
>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)．
(2)
f x
g x
≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.
以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax 2
＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )
(2)若不等式ax 2
＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )
(3)若方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2
＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2
＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2
－4ac ≤0.( × ) (5)若二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图像开口向下，则不等式ax 2
＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )
1．(教材改编)不等式x 2
－3x －10>0的解集是( ) A ．(－2,5) B ．(5，＋∞)
C ．(－∞，－2)
D ．(－∞，－2)∪(5，＋∞) 答案 D
解析 解方程x 2
－3x －10＝0得x 1＝－2，x 2＝5，
由于y ＝x 2
－3x －10的图像开口向上，所以x 2
－3x －10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)． 2．设集合M ＝{x |x 2
－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N 等于( ) A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[－1,0) D ．(－1,0] 答案 B
解析 ∵M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}， ∴M ∩N ＝[0,4)．
3．(教材改编)y ＝log 2(3x 2
－2x －2)的定义域是________________________．
答案 (－∞，1－73)∪(1＋7
3，＋∞)
解析 由题意，得3x 2
－2x －2>0，
令3x 2
－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73
，
∴3x 2－2x －2>0的解集为(－∞，1－73)∪(1＋73，＋∞)，即函数y ＝log 2(3x 2
－2x －2)的
定义域是(－∞，1－73)∪(1＋7
3
，＋∞)．
4．(教材改编)若关于x 的不等式ax 2
＋bx ＋2>0的解集是(－12，13)，则a ＋b ＝________.
答案 －14
解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13
是方程ax 2
＋bx ＋2＝0
的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 4－b
2＋2＝0，
a 9＋b
3＋2＝0，
解得
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－12，
b ＝－2，
∴a ＋b ＝－14.
5．不等式x 2
＋ax ＋4≤0的解集不是空集，则实数a 的取值X 围是________________． 答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞) 解析 ∵x 2
＋ax ＋4≤0的解集不是空集， ∴x 2
＋ax ＋4＝0一定有解．
∴Δ＝a 2
－4×1×4≥0，即a 2
≥16，∴a ≥4或a ≤－4.
题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参数的不等式
例1 求不等式－2x 2
＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2
＋x ＋3<0为2x 2
－x －3>0， 解方程2x 2
－x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝32
，
∴不等式2x 2
－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32
，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－
1)∪(3
2
，＋∞)．
命题点2 含参数的不等式
例2 解关于x 的不等式：x 2
－(a ＋1)x ＋a <0. 解 由x 2
－(a ＋1)x ＋a ＝0，得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，
①当a >1时，x 2
－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}． 引申探究
将原不等式改为ax 2
－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1
a
)(x －1)>0，
解得x <1
a
或x >1.
若a >0，原不等式等价于(x －1
a
)(x －1)<0.
①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1
a )(x －1)<0无解；
②当a >1时，1a
<1，解(x －1
a
)(x －1)<0，
得1
a
<x <1；
③当0<a <1时，1a >1，解(x －1
a
)(x －1)<0，
得1<x <1
a
.
综上所述，当a <0时，解集为{x |x <1
a
或x >1}；
当a ＝0时，解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，解集为{x |1<x <1
a
}；
当a ＝1时，解集为∅；
当a >1时，解集为{x |1
a
<x <1}．
思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
解下列不等式：
(1)0<x 2
－x －2≤4；
(2)求不等式12x 2
－ax ＞a 2
(a ∈R )的解集． 解 (1)原不等式等价于
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －2>0，x 2
－x －2≤4⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －2>0，
x 2
－x －6≤0⇔
⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2x ＋1>0，x －3
x ＋2≤0
⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
x >2或x <－1，
－2≤x ≤3.
借助数轴，如图所示，
所以原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (2)∵12x 2
－ax ＞a 2
，∴12x 2
－ax －a 2
＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得x 1＝－a 4，x 2＝a
3
.
当a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
x |x ＜－a 4或x ＞a 3；
当a ＝0时，x 2
＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；
当a ＜0时，－a 4＞a
3，解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x ＜a 3或x ＞－a 4.
综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x ＜－a 4或x ＞a 3；
当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；
当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
x |x ＜a 3或x ＞－a 4.
题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R 上的恒成立问题
例3 (1)若一元二次不等式2kx 2
＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值X 围为( )
A ．(－3,0]
B ．[－3,0)
C ．[－3,0]
D ．(－3,0)
(2)设a 为常数，对于任意x ∈R ，ax 2
＋ax ＋1>0，则a 的取值X 围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0，＋∞) D．(－∞，4) 答案 (1)D (2)B
解析 (1)∵2kx 2
＋kx －38<0为一元二次不等式，
∴k ≠0，
又2kx 2
＋kx －38<0对一切实数x 都成立，
则必有⎩
⎪⎨⎪
⎧
2k <0，Δ＝k 2
－4×2k ×－38<0，解得－3<k <0.
(2)对于任意x ∈R ，ax 2
＋ax ＋1>0，则必有⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ＝a 2
－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4.
命题点2 在给定区间上的恒成立问题
例4 设函数f (x )＝mx 2
－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，
即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4
m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
方法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4
m －6，x ∈[1,3]．
当m >0时，g (x )在[1,3]上是增加的， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，
所以m <67，所以0<m <6
7；
当m ＝0时，－6<0恒成立；
当m <0时，g (x )在[1,3]上是减少的，
所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述，m 的取值X 围是{m |m <6
7
}．
方法二 因为x 2
－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34
>0，
又因为m (x 2
－x ＋1)－6<0，所以m <6
x 2
－x ＋1
.
因为函数y ＝
6
x 2－x ＋1＝
6⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <6
7即可． 所以，m 的取值X 围是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
m |m <67.
命题点3 给定参数X 围的恒成立问题
例5 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2
＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值X 围． 解 由f (x )＝x 2
＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2
－4x ＋4.
由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
g －1＝x －2×－1＋x 2
－4x ＋4>0，g
1＝x －2＋x 2
－4x ＋4>0.
解得x <1或x >3.
故当x 的取值X 围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．
思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的X 围，谁就是主元，求谁的X 围，谁就是参数．
(1)已知函数f (x )＝x 2
＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，
则实数m 的取值X 围是________． 答案 (－
2
2
，0) 解析 作出二次函数f (x )的草图， 对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，
则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
f m <0，
f m ＋1<0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
＋m 2
－1<0，m ＋12
＋m m ＋1－1<0，
解得－
2
2
<m <0. (2)已知不等式mx 2
－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值X 围；若不存在，请说明理由． 解 不等式mx 2
－2x －m ＋1<0恒成立，
即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图像全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x <0，则x >1
2，不满足题意；
当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2
－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即
⎩
⎪⎨
⎪⎧
m <0，Δ＝4－4m 1－m <0，
不等式组的解集为空集，
即m 无解．
综上可知，不存在这样的m . 题型三 一元二次不等式的应用
例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加8
5
x 成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值X 围．
解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋850x .
因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1－x 10－80≥0.
所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2
－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134
.
所以x 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2.
思维升华 求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．
(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．
甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时
可获得的利润是100·(5x ＋1－3
x
)元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值X 围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
解 (1)根据题意，得200(5x ＋1－3
x
)≥3 000，
整理得5x －14－3x
≥0，即5x 2
－14x －3≥0，
又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.
即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值X 围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则
y ＝
900x ·100(5x ＋1－3x
)
＝9×104
(5＋1x －3x
2)
＝9×104
[－3(1x －16)2＋6112]，
故当x ＝6时，y max ＝457 500元．
即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．
思维升华 求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．
(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．
14．转化与化归思想在不等式中的应用
典例 (1)已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．
(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x
，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值X
围是________．
思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． 解析 (1)由题意知f (x )＝x 2
＋ax ＋b
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22
＋b －a 2
4.
∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 2
4.
∴f (x )＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋a 22
. 又∵f (x )<c ，∴⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋a 22
<c ，
即－a 2－c <x <－a
2
＋c .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－a 2－c ＝m ， ①－a
2＋
c ＝m ＋6. ②
②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.
(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x
>0恒成立，
即x 2
＋2x ＋a >0恒成立．
即当x ≥1时，a >－(x 2
＋2x )＝g (x )恒成立．
而g (x )＝－(x 2
＋2x )＝－(x ＋1)2
＋1在[1，＋∞)上是减少的， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值X 围是{a |a >－3}． 答案 (1)9 (2){a |a >－3}
1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( ) A ．{x |1≤x ≤2} B．{x |x ≤1或x ≥2} C ．{x |1<x <2} D ．{x |x <1或x >2} 答案 A
解析 由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0， 所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}． 2．(2016·潍坊模拟)函数f (x )＝
1
ln
－x 2
＋4x －3
的定义域是( ) A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D
解析 由题意得－x 2
＋4x －3>0，即x 2
－4x ＋3<0， ∴1<x <3，
又ln(－x 2
＋4x －3)≠0，即－x 2
＋4x －3≠1， ∴x 2
－4x ＋4≠0，∴x ≠2. 故函数定义域为(1,2)∪(2,3)．
3．若集合A ＝{x |ax 2
－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值X 围是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D．{a |0≤a ≤4} 答案 D
解析 由题意知a ＝0时，满足条件． 当a ≠0时，由⎩⎪⎨
⎪⎧
a >0，Δ＝
－a
2
－4a ≤0，
得0<a ≤4.所以0≤a ≤4.
4．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－4x ＋6，x ≥0，
x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )
A ．(－3,1)∪(3，＋∞)
B ．(－3,1)∪(2，＋∞)
C ．(－1,1)∪(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A
解析 由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≥0，
x 2
－4x ＋6>3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x <0，
x ＋6>3，
解得－3<x <1或x >3.
5．已知不等式x 2
－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2
＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2
＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，那么a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．1 C ．－1 D ．3 答案 A
解析 由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}， 则不等式x 2
＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}． 由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2， 所以a ＋b ＝－3，故选A.
6．若关于x 的不等式x 2
－2ax －8a 2
<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52B.7
2
C.154
D.152 答案 A
解析 由x 2
－2ax －8a 2
<0， 得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a >0， 所以不等式的解集为(－2a,4a )， 即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15， 得4a －(－2a )＝15，解得a ＝5
2
.
7．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2
－bx －a <0的解集是( )
A ．(2,3)
B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞
答案 A
解析 由题意知－12，－13是方程ax 2
－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝
b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a
.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2
－bx －a <0， 即x 2
－5x ＋6<0，解集为(2,3)．
8.已知函数f (x )＝－x 2
＋ax ＋b 2
－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值X 围是( ) A ．－1<b <0 B ．b >2
C ．b <－1或b >2
D ．不能确定 答案 C
解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图像的对称轴为直线x ＝1， 则有a
2
＝1，故a ＝2.
由f (x )的图像可知f (x )在[－1,1]上是增加的．
∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2
－b ＋1＝b 2
－b －2， 令b 2
－b －2>0，解得b <－1或b >2.
9．若不等式－2≤x 2
－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为________．
答案
1±5
2
解析 若不等式－2≤x 2
－2ax ＋a ≤－1有唯一解， 则x 2
－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根， 所以Δ＝4a 2
－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52
.
10．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3
a ＋1，则实数a 的取
值X 围是________． 答案 (－1，2
3
)
解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，
∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1. ∴
2a －3a ＋1<－1⇔3a －2
a ＋1
<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0， ∴－1<a <23
.
11.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2
－4x ，则不等式f (x ＋2)<5的解集是______________． 答案 {x |－7<x <3}
解析 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2
－4x ，∴f (－x )＝(－x )2
－4(－x )＝x 2
＋4x ，
又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2
＋4x ，故有f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－4x ，x ≥0，x 2
＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，
x 2
－4x <5，
得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧
x <0，
x 2
＋4x <5，
得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5)． 由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)， 故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．
12．设二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1
a
，比较f (x )与m 的大小．
解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )． 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.
当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．
(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1
a
，
∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .
13.(2016·某某模拟)已知不等式(a ＋b )x ＋(2a －3b )<0的解为x >－34，解不等式(a －2b )x
2
＋2(a －b －1)x ＋(a －2)>0. 解 因为(a ＋b )x ＋(2a －3b )<0， 所以(a ＋b )x <3b －2a ， 因为不等式的解为x >－3
4，
所以a ＋b <0，且3b －2a a ＋b ＝－3
4，
解得a ＝3b <0，
则不等式(a －2b )x 2
＋2(a －b －1)x ＋(a －2)>0 等价为bx 2
＋(4b －2)x ＋(3b －2)>0， 即x 2
＋(4－2b )x ＋(3－2b
)<0，
即(x ＋1)(x ＋3－2
b
)<0.
因为－3＋2
b
<－1，
所以不等式的解为－3＋2
b
<x <－1.
即所求不等式的解集为{x |－3＋2
b
<x <－1}．。