全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总附答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x ＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；
（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．
【答案】（1）213
42
y x x =
-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【解析】 【分析】
（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为1
2
y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，
直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组12
22y x y x t
⎧=⎪
⎨⎪=-⎩得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112
S 4t t t 223
∆=⋅⋅-⋅⋅然后根据二次函数的性质解决问题； （3）设Q 213m,
m m 42⎛
⎫- ⎪⎝⎭，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC
=时，△PQO ∽△COA ，则
213m m 2|m |42-=；当PQ PO
AC OC
=时，△PQO ∽△CAO ，则
2131
m m m 422
-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3， ∴B 点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6）， 把A （8，4）代入得a•8•2＝4，解得a ＝1
4
， ∴抛物线解析式为y ＝14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32
x ； （2）设M （t ，0），
易得直线OA 的解析式为y ＝1
2
x ， 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，
把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=⎧⎨
+=⎩，解得k 2
b 12=⎧⎨=-⎩
，
∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12， ∵MN ∥AB ，
∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ， 把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ， ∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ，
解方程组12
22y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得43
23x t y t ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，则42N t,t 33⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM
112
4t t t 223
=
⋅⋅-⋅⋅ 21
t 2t 3
=-+
21
(t 3)33
=--+，
当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）； （3）设213m,
m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ∵∠OPQ ＝∠ACO ， ∴当
PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84
=，
∴PQ ＝2PO ，即213
m m 2|m |42
-=， 解方程213
m m 2m 42
-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程213
m m 2m 42
-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当
PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48
=， ∴PQ ＝1
2
PO ，即2131m m m 422-=， 解方程2131
m m m 422
=-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）； 解方程2131
m m m 422
=
-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
2．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表： 时间(天) 1 3 6 10 36 … 日销售量(件)
94
90
84
76
24
…
未来40天内，前20天每天的价格y 1(元/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 1=t+25(1≤t≤20且t 为整数)；后20天每天的价格y 2(原/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 2=—t+40(21≤t≤40且t 为整数).下面我们来研究 这种商品的有关问题.
(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；
(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润(a ＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.
【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a ＜4．
【解析】
分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围．
详解：（1）设数m=kt+b，有,解得
∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上
析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．
（2）设日销售利润为P，
由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，
∵21≤t≤40且对称轴为t=44，
∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，
∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），
答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元.
（3）P1=（-2t+96）
=-+（14+2a）t+480-96n，
∴对称轴为t=14+2a，
∵1≤t≤20，
∴14+2a≥20得a≥3时，P1随t的增大而增大，
又∵a＜4，
∴3≤a＜4．
点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．
3．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线系数”．
(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是(填“真”或“假”)命题；
(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为；
(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；
(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）假；（2
）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）． 【解析】
分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；
（2）根据“抛物线三角形”定义得到2
2y x =-，由此可得出结论；
（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形， 由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到
21
22
b b =
⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；
（2）由题意得：2
2y x =-，令y =0，得：x
=，∴ S
=1
22
⨯=12x x ；
（3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）； 当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．
∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半得到：2
1
22
b b =
⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．
（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．
∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，
∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0），
则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．
∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）． ②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．
∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，
∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．
∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）． 综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．
点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．
4．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣1
2
x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和
点B（0，5
2
），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时
针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+
5
2
；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐
标为（0，7
2
）或（0，﹣
7
2
）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y=﹣1
2
（x﹣2）2+
9
2
，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物
线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，9
2
﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，
DP=DC=t，则P（2+t，9
2
﹣t），然后把P（2+t，
9
2
﹣t）代入y=﹣
1
2
x2+2x+
5
2
得到关于t
的方程，从而解方程可得到CD的长；
（3）P点坐标为（4，9
2
），D点坐标为（2，
5
2
），利用抛物线的平移规律确定E点坐标
为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到1
2
•（m+
5
2
+2）•2=8
当m＜0时，利用梯形面积公式得到1
2
•（﹣m+
5
2
+2）•2=8，然后分别解方程求出m即可
得到对应的M点坐标．
【详解】（1）把A（﹣1，0）和点B（0，5
2
）代入y=﹣
1
2
x2+bx+c得
1
0252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得252b c =⎧⎪
⎨=⎪⎩，
∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+5
2
； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+9
2
， ∴C （2，
9
2
），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t ，则D （2，
9
2
﹣t ）， ∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处， ∴∠PDC=90°，DP=DC=t ， ∴P （2+t ，
9
2
﹣t ）， 把P （2+t ，
92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得﹣12（2+t ）2+2（2+t ）+52=9
2
﹣t ， 整理得t 2﹣2t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2， ∴线段CD 的长为2；
（3）P 点坐标为（4，
92），D 点坐标为（2，5
2
）， ∵抛物线平移，使其顶点C （2，
9
2
）移到原点O 的位置， ∴抛物线向左平移2个单位，向下平移9
2
个单位，
而P 点（4，
92）向左平移2个单位，向下平移9
2
个单位得到点E ， ∴E 点坐标为（2，﹣2）， 设M （0，m ），
当m ＞0时，
12•（m+52
+2）•2=8，解得m=72，此时M 点坐标为（0，7
2）；
当m ＜0时，12•（﹣m+52
+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M 点坐标为（0，﹣7
2）；
综上所述，M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣7
2
）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（7
3
，
20
9
）或（
10
3
，﹣
13
9
），
【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为
负倒数设直线PC的解析式为y=-1
3
x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为
y=-
1
3
x+3，再解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
-+
⎪⎩
＝
＝
得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物
线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得
3
p q
q
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
3
3
p
q
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC 的解析式为y=3x+3， ∴直线PC 的解析式可设为y=﹣1
3
x+b ， 把C （0，3）代入得b=3， ∴直线PC 的解析式为y=﹣
1
3
x+3， 解方程组2231
33y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪
⎩＝＝，解得03x y =⎧⎨=⎩或73
209x y ⎧
=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，则此时P 点坐标为（73，209）； 过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=﹣x+b ， 把A （﹣1，0）代入得
13+b=0，解得b=﹣1
3
， ∴直线PC 的解析式为y=﹣
13x ﹣1
3
， 解方程组22311
33y x x y x ⎧-++⎪⎨--
⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103
139x y ⎧
=
⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣13
9
）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（
73，209）或（103，﹣139
）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为()1,0-，且4OA OC OB ==，抛物
线()2
0y ax bx c a =++≠图象经过,,A B C 三点．
（1）求,A C 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ⊥于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．
【答案】解：（1）点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；；
（2）抛物线的表达式为：2
34y x x ＝﹣
﹣ ； （3）PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为2，此时点P （2，﹣6）． 【解析】 【分析】
（1）OA ＝OC ＝4OB ＝4，即可求解；
（2）抛物线的表达式为：2
34y x x ＝a （x+1）(x-4)=a(﹣
﹣) ，即可求解； （3）22
4342
--++＝（）
PD x x x ，即可求解． 【详解】
解：（1）OA ＝OC ＝4OB ＝4，
故点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；
（2）抛物线的表达式为：2
34y x x ＝a （x+1）(x-4)=a(﹣
﹣)， 即﹣4a ＝﹣4，解得：a ＝1，
故抛物线的表达式为：2
34y x x --＝ ；
（3）直线CA 过点C ，设其函数表达式为：4y kx -＝， 将点A 坐标代入上式并解得：k ＝1， 故直线CA 的表达式为：y ＝x ﹣4， 过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，
∵OA ＝OC ＝4，
45OAC OCA ∴∠∠︒＝＝ ，
∵//PH y 轴，
45PHD OCA ∴∠∠︒＝＝，
设点234P x x x --（，）
，则点H （x ，x ﹣4）， 22
2
4342222
--+++＝（）
=-PD x x x x x
∵2
-
＜0，∴PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为22， 此时点P （2，﹣6）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示PD ，是本题解题的关键
7．如图1，抛物线
经过平行四边形
的顶点
、
、，抛物线与轴的另一交点为
.经过点的直线将平行四边形
分割为面
积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点
为直线上方抛物线上一动点，设点
的横
坐标为.
（1）求抛物线的解析式； （2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点
使
为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理
由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析：（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，
∵B（﹣1，0），
∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（，），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，
∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
∴最大值的立方根为=；
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴PG=AG，
∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），
②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，
∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．
考点：二次函数综合题
8．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x 2﹣4x+3；（2）S △BCP 最大=27
8
；（3）当△BMN 是等腰三角形时，m 22，1，2． 【解析】
分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE 的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案． 详解：（1）将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得
30
9330a b a b ++⎧⎨
++⎩
＝＝， 解得14a b ⎧⎨-⎩
＝＝，
这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3； （2）当x=0时，y=3，即点C （0，3），
设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得
30
0k b b +⎧⎨
⎩
＝＝， 解这个方程组，得
1
3k b -⎧⎨⎩
＝＝ 直线BC 的解析是为y=-x+3， 过点P 作PE ∥y 轴
，
交直线BC于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+S CPE=1
2
（-t2+3t）×3=-
3
2
（t-
3
2
）2+
27
8
，
∵-3
2＜0，∴当t=
3
2
时，S△BCP最大=
27
8
.
（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）
MN=m2-3m，BM=2|m-3|，
当MN=BM时，①m2-3m=2（m-3），解得m=2，
②m2-3m=-2（m-3），解得m=-2
当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，
m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）
当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，
-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m的值为2，-2，1，2．
点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
9．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，
∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC
于点D，求△DMH周长的最大值．
【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；
（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，），
∴OB=3，OC=，
∴tan∠BCO==，
∴∠BCO=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO=30°，
∴=tan30°=，即=，解得AO=1，
∴A（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；
（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，
∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°， ∴DH=
DM ，MH=
DM ，
∴△DMH 的周长=DM+DH+MH=DM+
DM+
DM=
DM ，
∴当DM 有最大值时，其周长有最大值， ∵点M 是直线BC 上方抛物线上的一点， ∴可设M （t ，﹣t 2+t+
），则D （t ，﹣
t+），
∴DM=﹣t 2+t+），则D （t ，﹣t+）， ∴DM=﹣t 2+
t+
﹣（﹣
t+
）=﹣t 2+
t=﹣
（t ﹣
）2+
，
∴当t=时，DM 有最大值，最大值为， 此时
DM=
×
=
， 即△DMH 周长的最大值为
．
考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想
10．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax 2+bx+4过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP =t （0＜t ＜10）．
（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE =∠OCD ？ （3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．
【答案】（1）B （10，4），C （0，4），215463y x x =-++；（2）3；（3）103或 203
. 【解析】
试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C 点坐标，由矩形的性质可求得B 点坐标，由
B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设P （t ，4），则可表示出E 点坐标，从而可表示出PB 、PE 的长，由条件可证得△PBE ∽△OCD ，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；
（3）当四边形PMQN 为正方形时，则可证得△COQ ∽△QAB ，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt △BCQ 中可求得BQ 、CQ ，则可用t 分别表示出PM 和PN ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值． 试题解析：
解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4， ∴C （0，4），
∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0）， ∴B （10，4），
把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得1001044
4240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩
，
解得1653a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线解析式为y ＝16-
x 2＋5
3
x ＋4； （2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-t 2＋5
3
t ＋4）， ∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-
t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋5
3
t ， ∵∠BPE ＝∠COD ＝90°， 当∠PBE ＝∠OCD 时， 则△PBE ∽△OCD ，
∴
PE PB
OD OC
=，即BP •OD ＝CO •PE ， ∴2（10﹣t ）＝4（16-t 2＋5
3
t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去）， ∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ； 当∠PBE ＝∠CDO 时， 则△PBE ∽△ODC ，
∴
PE PB
OC OD
=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-
t 2＋5
3
t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去） 综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；
（3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ，
∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°，
∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°，
∴∠OCQ ＝∠AQB ，
∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ， ∴CO OQ AQ AB
=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，
∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8，
①当m ＝2时，CQ BQ
∴sin ∠BCQ ＝BQ BC ，sin ∠CBQ ＝CQ BC ，
∴PM ＝PC •sin ∠PCQ t ，PN ＝PB •sin ∠CBQ （10﹣t ），
∴t （10﹣t ），解得t ＝103
， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝203
， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为
103或203． 点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE ∽△OCD 是解题的关键，在（3）中利用Rt △COQ ∽Rt △QAB 求得CQ 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。