长沙广益实验学校八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案

长沙广益实验学校八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案
一、选择题
1．下列各式从左边到右边的变形属于因式分解的是（ ）
A ．6ab ＝2a •3b
B ．a （x +y ）＝ax +ay
C ．x 2+4x +4＝x （x +4）+4
D ．a 2﹣6a +9＝（a ﹣3）2 2．化简211m m m m --÷的结果是 （ ） A ．m
B ．1m
C ．1m -
D ．1m m - 3．若m+
1m =5，则m 2+21m 的结果是（ ） A ．23
B ．8
C ．3
D ．7 4．如图，已知AC ⊥BD ，垂足为O ，AO ＝ CO ，AB ＝ CD ，则可得到△AOB ≌△COD ，理由
是( )
A ．HL
B ．SAS
C ．ASA
D ．SSS
5．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，①BD CD =，AD BC ⊥；②DE DF =；③若点P 为AC 上任意一点，且3DE =，则DP 的取值范围是3PD <；④BDE CDF ∠=∠．其中，正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．5cm
7．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A ．2cm ，3cm ，4cm
B ．1cm ，4cm ，2cm
C ．1cm ，2cm ，3cm
D ．6cm ，2cm ，3cm
8．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则123(∠+∠+∠= )
A ．90
B ．135
C ．150
D ．180 9．在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（ ）
A ．8
B ．9.6
C ．10
D ．12 10．在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点P 从原点O 出发，沿着“1234O A A A A →→→→…”的路线运动(每秒一条直角边)，已知1A 坐标为()()()231,12,0,,1,3A A ()44,0A ···，设第n 秒运动到点(n P n 为正整数)，则点2020P 的坐标是)（ ）
A ．()2020,0
B ．()2019,1
C ．()1010,0
D ．()2020,1-
二、填空题
11．已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为
_____________．
12．如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分AB 于点E ，交AC 于点D ，若△ABC 的周长为26cm ，BC=6cm ，则△BCD 的周长是__________cm ．
13．若关于x 的分式方程3111m x x
+=--无解，则m 的值是__________． 14．()()()
243232121211++⋯++计算结果的个位数字是______________． 15．计算:()32ab b b +÷=______．
16．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝60°，点P 是直线AB 上不同于A 、B 的一点，且PC ＝
4，∠ACP ＝30°，则PB 的长为_____．
17．如图，//AB CD ，EG AB ⊥，垂足为G ．若150∠=︒，则E ∠=_______．
18．如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥BC 交AC 于点E ，若DE ＝6cm ，AE ＝5cm ，则AC ＝_____cm ．
19．已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是______________；
20．小敏设计了一种衣架，如图，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，衣架杆18OA OB cm ==，若衣架收拢时，60AOB ∠=，则A 、B 的距离为_____cm ．
三、解答题
21．如图所示，△ABC 中，AB=BC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点D ，交AC 于F ． ⑴若∠AFD=155°，求∠EDF 的度数；
⑵若点F 是AC 的中点，求证：∠CFD=12
∠B ．
22．如图，AD ，AE 和AF 分别是ABC ∆的高、角平分线和中线．
（1）对于下面的五个结论：
①2BC BF =；②12
CAE CAB ∠=∠；③BE CE =；④AD BC ⊥；⑤AFB AFC S S ∆∆=． 其中正确的是 （只填序号）
（2）若66C ∠=︒，30ABC ∠=︒，求DAE ∠的度数．
23．已知ABC ，80ABC ∠=︒，点E 在BC 边上，点D 是射线AB 上的 一个动点，将ABD △沿DE 折叠，使点B 落在点B '处，
（1）如图1，若125ADB '∠=︒，求CEB '∠的度数；
（2）如图2，试探究ADB '∠与CEB '∠的数量关系，并说明理由；
（3）连接CB '，当//CB AB '时，直接写出CB E ∠'与ADB '∠的数量关系为 ．
24．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b ）2、（a ﹣b ）2、ab 之间的等量关系是 ； （2）根据（1）中的结论，若x+y ＝5，x•y ＝94
，则x ﹣y ＝ ； （3）拓展应用：若（2019﹣m ）2+（m ﹣2020）2＝15，求（2019﹣m ）（m ﹣2020）的值．
25．如图，点D 是等边三角形ABC 的边AC 上一点，//DE BC 交AB 于E ，延长CB 至F ，使BF AD =，连结DF 交BE 于G ．
（1）请先判断ADE 的形状，并说明理由．
（2）请先判断BG 和EG 是否相等，并说明理由．
26．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F .
（1）求证：AE ＝AF ；
（2）过点E 作EG ∥DC ，交AC 于点G ，试比较AF 与GC 的大小关系，并说明理由．
27．如图，AB ＝AD ＝BC ＝DC ，∠C ＝∠D ＝∠ABE ＝∠BAD ＝90°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°，过点A 作∠GAB ＝∠FAD ，且点G 在CB 的延长线上．
（1）△GAB 与△FAD 全等吗？为什么？
（2）若DF ＝2，BE ＝3，求EF 的长．
28．（1）如图，ABC 中，点D 、E 在边BC 上，AD 平分BAC ∠，AE BC ⊥，35B ∠=︒，65C =︒∠，求DAE ∠的度数；
（2）如图，若把（1）中的条件“AE BC ⊥”变成“F 为DA 延长线上一点，
FE BC ⊥”，其它条件不变，求DFE ∠的度数；
（3）若把（1）中的条件“AE BC ⊥”变成“F 为AD 延长线上一点，FE BC ⊥”，其它条件不变，请画出相应的图形，并求出DFE ∠的度数；
（4）结合上述三个问题的解决过程，你能得到什么结论？
29．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC
（1）若∠B=70°，∠C=30°，求；
①∠BAE 的度数．
②∠DAE 的度数．
（2）探究：如果只知道∠B=∠C+40°，那么能求岀∠DAE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
30．如图，//AB CD ，点E 在直线CD 上，射线EF 经过点,B BG ，平分ABE ∠交CD 于点G ．
（1）求证：BGE GBE ∠=∠；
（2）若70∠︒=DEF ，求FBG ∠的度数．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可.
【详解】
解：A 、从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B 、从左到右的变形，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C 、从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D 、从左到右的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D .
【点睛】
此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成整式的积的性质，叫做将多项式因式分解也叫做分解因式，掌握多项式的因式分解与整式乘法之间的区别是解题的关键.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
先化除为乘，然后按照分式乘法法则进行计算即可．
【详解】 解：211m m m m
--÷ =2
11
m m m m -⨯- =m ．
故答案为A ．
【点睛】
本题考查了分式的的乘除运算，掌握分式乘除运算法则是解答本题的关键．
3．A
解析：A
【解析】
因为m +1m =5，所以m 2+21m =(m +1m
)2﹣2=25﹣2=23，故选A ． 4．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定定理进行判断.
【详解】
A. AC ⊥BD ，垂足为O ，AO ＝ CO ，AB ＝ CD ，所以由HL 可得到△AOB ≌△COD ，所以A 正确；
B.错误；
C.错误；
D.错误.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握定理是本题解题的关键.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD ，AD ⊥BC ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AD 上的点到AB 、AC 两边的距离相等，根据垂线段最短判断PD 的取值范围，根据等边对等角的性质可得∠B=∠C ，等角的余角相等即可判断．
【详解】
在ABC 中，
∵AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，
∴BD CD =，AD BC ⊥（三线合一），①正确；
∵AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴DE DF =，②正确；
∵3DE =，
∴DF=3，
∵点P 为AC 上任意一点，且DF AC ⊥，
∴3PD ≤，③错误；
∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴90BDE B CDF C ∠+∠=∠+∠=︒，
∴BDE CDF ∠=∠，④正确；
即①②④正确；
故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质和垂线段最短的性质为解题关键．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可知：AC ＝AE ＝6，CD ＝DE ，设CD ＝DE ＝x ，在Rt △DEB 中利用勾股定理解决．
【详解】
解：在Rt △ABC 中，
∵AC ＝6，BC ＝8，
∴AB ＝10，
△ADE 是由△ACD 翻折，
∴AC ＝AE ＝6，EB ＝AB−AE ＝10−6＝4，
设CD ＝DE ＝x ，
在Rt △DEB 中，
∵222DE EB DB +=，
∴()2
2248x x +=-， ∴x ＝3，
∴CD ＝3．
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的之差一定小于第三边；进行解答即可．
【详解】
A 、2+3＞4，能围成三角形；
B 、1+2＜4，所以不能围成三角形；
C 、1+2=3，不能围成三角形；
D 、2+3＜6，所以不能围成三角形；
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系的应用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
标注字母，利用“边角边”判断出△ABC 和△DEA 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再判断出∠2=45°，然后计算即可得解．
【详解】
如图，在△ABC 和△DEA 中，
90AB DE ABC DEA BC AE ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩
＝＝＝＝， ∴△ABC ≌△DEA （SAS ），
∴∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
又∵∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．
故选B ．
【点睛】
本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
如图，作CE AB ⊥与E,利用勾股定理的逆定理证明AD BC ⊥,再利用面积法求出EC 即可.
【详解】
如图，作CE AB ⊥与E.
AD 是ABC ∆的中线,BC =12,
∴BD=6,
10,8,6,AB AD BD ===
∴ 222AB AD BD =+,
90,ADB ∴∠=
,AD BC ∴⊥ 11,22ABC S BC AD AB CE ∆=
= 1289.6.10
CE ⨯∴=
= 故选B.
【点睛】 本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果便可．
【详解】
解：由题意知，
A 1（1，1），
A 2（2，0），
A 3（3，1），
A 4（4，0），
A 5（5，-1），
A 6（6，0），
A 7（7，1），
…
由上可知，每个点的横坐标等于序号，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，-1，0这样循环，
∴A 2020（2020，0），
故选：A ．
【点睛】
本题是一个规律题，根据题意求出点的坐标，从中找出规律来，这是解题的关键所在．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
由等腰三角形的定义，对腰长进行分类讨论，结合三角形的三边关系，即可得到答案.
【详解】
解：∵等腰三角形的其中两边长分别为，，
当4为腰长时，，不能构成三角形；
当9为腰长时，
解析：22
【解析】
【分析】
由等腰三角形的定义，对腰长进行分类讨论，结合三角形的三边关系，即可得到答案.【详解】
解：∵等腰三角形的其中两边长分别为4，9，
当4为腰长时，4489，不能构成三角形；
当9为腰长时，能构成三角形，
++=；
∴这个等腰三角形的周长为：49922
故答案为：22.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义，以及三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义进行解题.注意运用分类讨论的思想.
12．16
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线性质求出AD=BD，根据△ABC周长求出AC，推出△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+AC，代入求出即可．
【详解】
∵DE垂直平分AB，
∴AD=B
解析：16
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线性质求出AD=BD，根据△ABC周长求出AC，推出△BCD的周长为
BC+CD+BD=BC+AC，代入求出即可．
【详解】
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵AB=AC，△ABC的周长为26，BC=6，
∴AB=AC=(26-6)÷2=10，
∴△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=6+10=16．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质和等腰三角形的应用，解此题的关键是求出AC 长和得出△BCD 的周长为BC+AC ，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 13．3
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x 的值，代入整式方程计算即可求出m 的值．
【详解】
解：
去分母，得，
∴，
∵关于的分式方程无解，
∴最简公分母，
∴当时
解析：3
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x 的值，代入整式方程计算即可求出m 的值．
【详解】 解：3111m x x
+=-- 去分母，得31m x -=-，
∴2x m =-，
∵关于x 的分式方程无解，
∴最简公分母10x -=，
∴当1x =时，得3m =，即m 的值为3．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，解题的关键是弄清分式方程无解的条件．
14．6
【解析】
【分析】
根据平方差公式化简所求，再根据2的n 次幂的变化规律即可求解．
【详解】
=
=
=
=
=
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128
解析：6
【解析】
【分析】
根据平方差公式化简所求，再根据2的n 次幂的变化规律即可求解．
【详解】
()()24323212121(1++⋯++）
=(
)()()()22432212121211-++⋯++ =()()()4432
2121211-+⋯++ =323221)2((1)1-++
=64211-+
=642
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…
∴64÷4=16
∴个位数为6
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是熟知平方差公式的特点，题型较好，难度适中，是一道不错的题目，通过此题能培养学生的观察能力．
15．3a+2
【解析】
【分析】
直接根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可．
【详解】
解：．
故答案为：3a+2．
【点睛】
此题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 解析：3a+2
【解析】
【分析】
直接根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可．
解：()323232ab b b ab b b b a +÷=÷+÷=+．
故答案为：3a+2．
【点睛】
此题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
16．4或8
【解析】
【分析】
分两种情形分别画出图形即可解问题．
【详解】
分两种情况讨论：
①如图，当点P 在线段AB 上时．
∵∠CAP=90°，∠ACB=60°，∠ACP=30°，
∴∠APC=60
解析：4或8
【解析】
【分析】
分两种情形分别画出图形即可解问题．
【详解】
分两种情况讨论：
①如图，当点P 在线段AB 上时．
∵∠CAP =90°，∠ACB =60°，∠ACP =30°，
∴∠APC =60°，∠B =30°．
∵∠APC =∠B +∠PCB ，
∴∠PCB =∠B =30°，
∴PB =PC =4．
②当点P '在BA 的延长线上时．
∵∠P 'CA =30°，∠ACB =60°，
∴∠P 'CB =∠P 'CA +∠ACB =90°．
∵∠B =30°，P 'C =4，
∴BP '=2P 'C =8．
故答案为：4或8．
本题考查了含30°角的直角三角形，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．40°
【解析】
【分析】
∠1和∠2是对顶角相等，∠2和∠3为同位角，根据两直线平行，同位角相等可求出∠3，在直角三角形中，两锐角互余，即可求解．
【详解】
解：∵∠1=50°，
∴∠1=∠2（
解析：40°
【解析】
【分析】
∠1和∠2是对顶角相等，∠2和∠3为同位角，根据两直线平行，同位角相等可求出
∠3，在直角三角形中，两锐角互余，即可求解．
【详解】
解：∵∠1=50°，
∴∠1=∠2（对顶角相等），
∵AB∥CD，
∴∠3=∠2=50°，
又∵EG⊥AB，
∴∠E=90°-∠3=90°-∠50°=40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．
18．11
【解析】
【分析】
由CD是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠BCD，而DE∥BC，则∠BCD=∠EDC，于是∠ACD=∠EDC，再利用等角对等边可求出DE=CE，从而求出AC的长．
【详解】
解析：11
【解析】
【分析】
由CD是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠BCD，而DE∥BC，则∠BCD=∠EDC，于是∠ACD=∠E DC，再利用等角对等边可求出DE=CE，从而求出AC的长．
【详解】
∵CD是∠ACB的平分线，.
∴∠ACD=∠BCD，.
又∵DE∥BC，.
∴∠BCD=∠EDC．.
∴∠ACD=∠EDC．.
∴DE=CE．.
∴AC=AE+CE=5+6=11．.
故答案为11．
【点睛】
本题利用了角平分线性质以及等腰三角形的性质、平行线的性质．对线段的等量代换是正确解答本题的关键．
19．29
【解析】
【分析】
没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：当5为腰长时，
∵5+5<12，故不能组成三角形，
当12为腰长时，边
解析：29
【解析】
【分析】
没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：当5为腰长时，
∵5+5<12，故不能组成三角形，
当12为腰长时，边长分别为：5，12，12，
∵5+12>12，故能组成三角形，
故周长为：5+12+12=29；
故答案为：29．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，同时需要验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 20．18
【解析】
【分析】
证明△AOB 是等边三角形，得出AB=OA=18cm 即可．
【详解】
解：连接，如图所示：
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了等边三角形
解析：18
【解析】
【分析】
证明△AOB 是等边三角形，得出AB=OA=18cm 即可．
【详解】
解：连接AB ，如图所示：
∵OA OB =，60AOB ∠=，
∴AOB ∆是等边三角形，
∴18AB OA cm ==，
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定方法是解题的关键．
三、解答题
21．（1）50°；（2）见解析
【解析】
试题分析：⑴根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与四边形的内角和为360°，可求得所求角的度数.
⑵连接BF ，根据三角形内角和定理与等腰三角形三线合一，可知12CFD ABC ∠=
∠. 试题解析：⑴ ∵∠AFD =155°，∴∠DFC =25°，∵DF ⊥BC ，DE ⊥AB ，
∴∠FDC =∠AED =90°，
在Rt △EDC 中，∴∠C =90°﹣25°=65°，
∵AB =BC ，∴∠C =∠A =65°，
∴∠EDF=360°﹣65°﹣155°﹣90°=50°．
⑵ 连接BF ，∵AB =BC ，且点F 是AC 的中点，
∴BF ⊥AC ，12
ABF CBF ABC ∠=∠=∠， ∴∠CFD +∠BFD =90°，∠CBF +∠BFD =90°，
∴∠CFD =∠CBF ， ∴12
CFD ABC ∠=∠． 22．解：（1）①②④⑤；（2）18DAE ∠=︒
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的高、角平分线和中线的定义即可得到AD ⊥BC ，∠CAE=
12∠CAB ，BC=2BF ，S △AFB =S △AFC ．
（2）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠ABC-∠C=84°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE=12
∠CAB=42°，∠ADC=90°，则∠DAC=90°-∠C=24°，然后利用∠DAE=∠CAE-∠DAC 计算即可．
【详解】
（1）∵AD ，AE 和AF 分别是△ABC 的高、角平分线和中线，
∴AD ⊥BC ，∠CAE=∠BAE=
12∠CAB ，BF=CF ，BC=2BF ， ∵S △AFB =12BF•AD ，S △AFC =12
CF•AD ， ∴S △AFB =S △AFC ，故①②④⑤正确，③错误，
故答案为①②④⑤；
（2）∵∠C=66°，∠ABC=30°，
∴∠CAB=180°-∠ABC-∠C=84°，
∴∠CAE=12
∠CAB=42°， ∵∠ADC=90°，∠C=66°，
∴∠DAC=24°
∴∠DAE=∠CAE-∠DAC=42°-24°=18°．
【点睛】
本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，三角形内角和为180°．也考查了三角形的面积．正确的识别图形是解题的关键．
23．（1）35CEB '∠=︒；（2）20ADB CEB ''∠=∠-︒，理由见解析；（3）①当点D 在边AB 上时，80CB E ADB ''∠=∠-︒，②当点D 在AB 的延长线上时，
80CB E ADB ''∠+∠=︒；
【解析】
【分析】
（1）利用四边形内角和求出∠BEB′的值，进而可求出CEB '∠的度数；
（2）方法类似（1）；
（3）分两种情形：如图1-1中，当点D 线段AB 上时，结论：∠CB′E+80°=∠ADB′；如图2中，当点D 在AB 的延长线上时，结论：∠CB′E+∠ADB′=80°．分别利用平行线的性质证明即可．
【详解】
解：（1）如图1中
由翻折的性质可知，∠DBE=∠DB′E=80°，
∵∠ADB′=125°，
∴∠BDB′=180°-125°=55°，
∵∠BEB′+∠BDB′+∠DBE+∠DB′E=360°，
∴∠BEB′=360°-55°-80°-80°=145°，
∴∠CEB′=180°-145°=35°．
（2）结论：∠ADB′=∠CEB′-20°．
理由：如图2中，
∵80ABC ∠=︒，
∴B′=CBD=180°-80°=100°，
∵∠ADB′+∠BEB′=360°-2×100°=160°，
∴∠ADB′=160°-∠BEB′，
∵∠BEB′=180°-∠CEB′，
∴∠ADB′=∠CEB′-20°．
（3）如图1-1中，当点D 线段AB 上时，结论：∠CB′E+80°=∠ADB′
理由：连接CB′．
∵CB′//AB，
∴∠ADB′=∠CB′D，
由翻折可知，∠B=∠DB′E=80°，
∴∠CB′E+80°=∠CB′D=∠ADB′．
如图2-1中，当点D在AB的延长线上时，结论：∠CB′E+∠ADB′=80°．
由：连接CB′．
∵CB′//AD，
∴∠ADB′+∠DB′C=180°，
∵∠ABC=80°，
∴∠DBE=∠DB′E=100°，
∴∠CB′E+100°+∠ADB′=180°，
∴∠CB′E+∠ADB′=80°．
综上所述，∠CB'E与∠ADB'的数量关系为∠CB′E+80°=∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′=80°．
故答案为：∠CB′E+80°=∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′=80°．
【点睛】
本题考查翻折变换，多边形内角和定理，平行线的性质，以及分类讨论等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）(a+b)2-(a-b)2=4ab；（2）±4；（3）-7
【解析】
【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2，图1的面积和图2中白色部分的面积相等即可求解．
（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy，将x+y＝5，x•y＝9
4
代入(x+y)2-(x-y)2=4xy，即可求得x-y
的值
（3）因为(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1，等号两边同时平方，已知(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15，即可求解．
【详解】
（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2 ∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等
∴(a+b)2-(a-b)2=4ab
故答案为：(a+b)2-(a-b)2=4ab
（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy
∵x+y ＝5，x•y ＝
94 ∴52-(x-y)2=4×
94 ∴(x-y)2=16
∴x-y=±4
故答案为：±4
（3）∵(2019﹣m)+(m ﹣2020)＝-1
∴[(2019﹣m)+(m ﹣2020)]2=1
∴(2019﹣m)2+2(2019﹣m)(m ﹣2020)+ (m ﹣2020)2=1
∵(2019﹣m)2+(m ﹣2020)2＝15
∴2(2019﹣m)(m ﹣2020)=1-15=-14
∴(2019﹣m)(m ﹣2020)=-7
故答案为：-7
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
25．（1）ADE 等边三角形，证明见解析；（2）BG EG =，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形和平行线的性质，即可完成证明；
（2）根据（1）的结论，结合BF AD =，可得BF
DE =；再根据平行线性质，得EDG F ∠=∠，DEG FBG ∠=∠，从而得到DEG FBG ≅△△，即可得到答案． 【详解】
（1）∵ABC 是等边三角形
∴60A ABC ACB ∠=∠=∠=
∵//DE BC
∴60AED ABC ∠=∠=︒，60ADE C ∠=∠=︒
∴∠=∠=∠A AED ADE
∴ADE 是等边三角形；
（2）∵ADE 是等边三角形
∴AD DE BF ==
∵BF AD =
∴BF DE =
∵//DE BC
∴EDG F ∠=∠，DEG FBG ∠=∠
在DEG △和FBG △中
EDG F BF DE
DEG FBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴DEG FBG ≅△△
∴BG EG =．
【点睛】
本题考查了等边三角形、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、平行线、全等三角形的性质，从而完成求解．
26．（1）见解析；（2）AF =GC ，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的性质和角平分线的定义可得∠BED =∠AFB ，然后根据对顶角的性质和等量代换可得∠AEF =∠AFB ，进一步即可推出结论；
（2）如图，过F 作FH ⊥BC 于点H ，根据角平分线的性质可得AF =FH ，进而可得AE =FH ，易得FH ∥AE ，然后根据平行线的性质可得∠EAG=∠HFC ，∠AGE=∠C ，进而可根据AAS 证明△AEG ≌△FHC ，再根据全等三角形的性质和线段的和差即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵∠BAC =90°，
∴∠ABF +∠AFB=90°，
∵AD ⊥BC ，
∴∠EBD +∠BED=90°，
∵BF 平分∠ABC ，
∴∠ABF =∠EBD ，
∴∠BED =∠AFB ，
∵∠BED =∠AEF ，
∴∠AEF =∠AFB ，
∴AE =AF ；
（2）AF =GC ；理由如下：如图，过F 作FH ⊥BC 于点H ，
∵BF 平分∠ABC ，且FH ⊥BC ，AF ⊥BA ，
∴AF =FH ，
∵AE =AF ，
∴AE =FH ，
∵FH ⊥BC ，AD ⊥BC ，
∴FH ∥AE ，
∴∠EAG=∠HFC ，
∵EG ∥BC ，
∴∠AGE=∠C ，
∴△AEG ≌△FHC （AAS ），
∴AG =FC ，
∴AF =GC ．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识，涉及的知识点多，但难度不大，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定和性质是解题的关键．
27．（1）全等，理由详见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）由题意易得∠ABG ＝90°＝∠D ，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得△GAE ≌△FAE ，GB ＝DF ，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）全等．理由如下
∵∠D ＝∠ABE ＝90°，
∴∠ABG ＝90°＝∠D ，
在△ABG 和△ADF 中，
GAB FAD AB AD ABG D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△GAB ≌△FAD （ASA ）；
（2）∵∠BAD ＝90°，∠EAF ＝45°，
∴∠DAF +∠BAE ＝45°，
∵△GAB ≌△FAD ，
∴∠GAB ＝∠FAD ，AG ＝AF ，
∴∠GAB +∠BAE ＝45°，
∴∠GAE ＝45°，
∴∠GAE ＝∠EAF ，
在△GAE 和△FAE 中，
AG AF GAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△GAE ≌△FAE （SAS ）
∴EF ＝GE
∵△GAB ≌△FAD ，
∴GB ＝DF ，
∴EF ＝GE ＝GB +BE ＝FD +BE ＝2+3＝5．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
28．（1）15DAE ∠=︒；（2）15DFE ∠=︒（3）15DFE ∠=︒；（4）见解析
【解析】
【分析】
（1）关键角平分线的性质和三角形内角和的性质求角度；
（2）作AH BC ⊥于H ，由（1）的结论和平行的性质得到DFE DAH ∠=∠； （3）作AH BC ⊥于H ，由（1）的结论和平行的性质得到DFE DAH ∠=∠．
【详解】
解：（1）180180356580BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∵AD 平分BAC ∠，∴40BAD BAC ∠=∠=︒，∵AE BC ⊥，∴90AEB =︒∠， ∴9055BAE B ∠=︒-∠=︒，∴554015DAE BAE BAD ∠=∠∠=︒-︒=︒－；
（2）作AH BC ⊥于H ，如图，有（1）得15DAH ∠=︒，
∵FE BC ⊥．∴//AH EF ，∴15DFE DAH ∠=∠=︒；
（3）作AH BC ⊥于H ，如图，有（1）得15DAH ∠=︒，
∵FE BC ⊥，∴//AH EF ，∴15DFE DAH ∠=∠=︒；
（4）结合上述三个问题的解决过程，得到BAC ∠的角平分线与角平分线上的点作BC 的垂线的夹角中的锐角为15°．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、三角形内角和、平行线的性质，解题的关键是能够举一反三，通过第一小问的结论能够想到构造辅助线来解决后面的问题．
29．（1）①∠BAE=40°；②∠DAE=20°；（2）∠DAE=20°．
【解析】
【分析】
（1）①利用三角形的内角和定理求出∠BAC ，再利用角平分线定义求∠BAE ．②先求出∠BAD ，就可知道∠DAE 的度数．
（2）用∠B ，∠C 表示∠DAE ，即可求岀∠DAE 的度数．
【详解】
解：（1）①∵∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-70°-30°=80°，
∵AE 平分∠BAC ，
∴∠BAE=40°；
②∵AD ⊥BC ，∠B=70°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
而∠BAE=40°，
∴∠DAE=20°；
（2）∵AE 为角平分线，
∴∠BAE=12
（180°-∠B-∠C ）， ∵∠BAD=90°-∠B ， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=
12（180°-∠B-∠C ）-（90°-∠B ）=12（∠B-∠C ）， 又∵∠B=∠C+40°，
∴∠B-∠C=40°，
∴∠DAE=20°．
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理，熟练运用角平分线定义和三角形的内角和定理是解题的关键．
30．（1）见解析；（2）145°
【解析】
【分析】
（1）根据//AB CD ，可得ABG BGE ∠=∠，根据BG 平分ABE ∠，可得ABG GBE ∠=∠，进而可得BGE GBE ∠=∠；
（2）根据//AB CD ，可得70ABE DEF ∠=∠=︒，根据平角定义可得180110ABF ABE ∠=︒-∠=︒，根据BG 平分ABE ∠，可得1352ABG ABE ∠=∠=︒，进而可得FBG ∠的度数．
【详解】
解：（1）证明：//AB CD ，
ABG BGE ∴∠=∠， BG 平分ABE ∠，
ABG GBE ∴∠=∠，
BGE GBE ∴∠=∠；
（2）//AB CD ，
70ABE DEF ∴∠=∠=︒，
180110ABF ABE ∴∠=︒-∠=︒， BG 平分ABE ∠，
1352
ABG ABE ∴∠=∠=︒， 11035145FBG ABF ABG ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．
答：FBG ∠的度数为145︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．。