高中数学解题思想方法技巧全集23探索开门智勇双锋

第23计探索开门智勇双锋
●计名释义
所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案（是否存在），它的解法（暂时不知），需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”.
“石头”，指我们已有的知识和方法，这当然是很重要的.若要“过河”，仅有这些还不够.
过河人还需要两大素质：大智大勇！
面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里？勇——大胆地猜；智——小心地证.
●典例示范
【例1】如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1，C1D1，D1，D的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足
条件时，就有MN∥平面B1BDD1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.
【思考】显然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1，为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥M，只需过HN作平面，使之平行于平面B1BDD1，将线面平行的问题转化为面面平行的问题.
【解答】连FH，当点M在HF 上运动时，恒有MN∥平面B1BDD1
例1题图例1题解图
证明如下：连NH，HF，BD ，B1D1，且平面NHF交B1C1于P. 则NH∥BD，HF∥BB1，故平面PNHF∥平面B1BDD1. MN平面PNHF，∴MN∥平面B1BDD1.
【例2】知f (x)是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何x ∈R，f (2-x)= f (2+x)总成立，问f (1-2x2)与f (1+2x-x2)满足什么条件时，才能使-2<x<0成立.
【思考】根据已知条件很容易得到f (x)是开口向下且对称轴为x=2的二次函数，然后可通过函数单调区间进行分类讨论.
【解答】由题设知：函数f (x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.
故函数f (x)在(-∞,2］上是增函数；在［2,+∞)上是减函数.
∵1-2x2≤1<2，1+2x-x2=-（x-1）2+2≤2∴1-2x2∈(-∞,2］，1+2x-x2∈(-∞,2］
当f (1-2x2)< f (1+2x-x2)时，1-2x2<1+2x-x2
即x2+2x>0，解得x<-2或x>0，不能使-2<x<0成立
当f (1-2x2)>f (1+2x-x2)时，1-2x2>1+2x-x2,即x2+2x<0，解得-2<x<0，符合题意，
数学破题36计
当f (1-2x 2)=f (1+2x-x 2)时， 可得x = -2或0，不能使-2<x <0成立. ∴当f (1-2x 2)>f (1+2x-x 2)时，才能使-2<x <0成立.
【例3】 能否构造一个等比数列{a n }，使其同时满足三个条件:①a 1+a 6=11；②a 3a 4=9
32
;③至少存在一个自然数m ，使
3
2a m -1，a 2
m ，a m +1+
9
4
依次成等差数列.若能，请写出这个数列的通项公式.
【解答】 先考虑前两个条件.设等比数列{a n }的公比为q .
∵a 3a 4=a 1a 6, ∴由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=•=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+.213
3223193211)1(193211115
2156161q a ••q a q a q a a a a a 或 即满足条件①，②的等比数列，其通项公式为a n =
31·2n -1或a n =232·⎪⎭
⎫ ⎝⎛21n -1
.
（1）如a n =3
1
·2n -1，设存在题设要求的m ∈N ，则2×
2
1231⎪⎭
⎫ ⎝⎛•-m =.9
4
231231322+•+••-m m 化简得：22m -7·2m -8=0⇒2m =8，∴m =3.
（
2
）
如
a n =
2
32·
⎪⎭
⎫ ⎝⎛21n -1
，设存在m ∈N ,使
2·942123221332322133222
1+
⎪⎭⎫ ⎝⎛•+⎪⎭⎫ ⎝⎛••=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛•--m
m m
化简得：4(26-m )2－11·26-m -8=0，这里Δ=112+16×8=249不是完全平方数. ∴符合条件的m
不存在.
综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m =3，数列的通项公式为： a n =
3
1
·2n -1.
【例4】 将二次函数f (x )=ax 2+bx+c 对应于一次函数g (x )=2ax+b .
(1)求f (x )=x 2+2x +1对应的一次函数g (x ). （2）观察后请写出这个对应法则. （3）可以用g (x )的某些性质来研究f (x )的性质：当g (x )>0时，对应的f (x )的性质有哪些？（4）你还能研究另外的某些性质吗？
（5）设g (x )=x ，写出与g (x )对应的f (x )的三个不同的解析式.
【思考】 本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整. f (x )与g (x )是什么关系？我们容易由f ′(x )=2ax+b ，知f ′(x )=g (x )，可见，只有当 g (x )= f ′(x )时，才有可能用g (x )的性质来研究f (x )的某些性质. 【解答】 (1)∵a =1，b =2，∴g (x )=2x +2.
（2）①g (x )的一次项系数是f (x )的二次项系数与其次数的积； ②g (x )的常数项等于f (x )的一次项系数.
(3)g (x )>0，即2ax+b >0，当a >0时，x >a b 2-，而x =a
b 2-是f (x )的对称轴，故这时f (x )是单调增函数；a <0时，x <a b 2-
，f (x )仍为单调增函数(前者单调区间为⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∞+-
••a b ,2.后者单调区间为⎥⎦
⎤
⎝⎛
-∞-a b •
•2,). (4)当g (x )<0时，f (x )是单调减函数(请仿照（3）证明之).
(5)g (x )=x 时，2ax+b=x ，知a =21，b =0. 只须在f (x )=ax 2+bx+c 中，命a =2
1
，b =0，c 取任意值即可，如f (x )=21x 2+1，f (x )=21x 2+23，f (x )=2
1
x 2+5.
【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若A ⇒B ，则称A 为B 的充分
条件，B 为A 的必要条件.
●对应训练
1.已知圆O ′过定点A （0，P ）(P >0)，圆心O ′在抛物线x 2=2py 上运动，MN 为圆O ′在x 轴上截得的弦，令|AM |=d 1，|AN |=d 2，∠MAN=θ. (1)当O ′运动时，|MN |是否有变化，并证明你的结论； （2）求
1
2
21d d d d +的最大值,并求取得最大值的θ的值. 2.如图所示，已知在矩形ABCD 中， AB =1，BC=a (a >0)，P A ⊥平面AC ， 且P A =1.
(1)问BC 边上是否存在Q ，
便得PQ ⊥QD ，并说明理由； （2）若BC 边上有且只有一点Q ， 使得PQ ⊥QD ，求这时二面角
Q —PD —A 的大小. 第2题图
3.已知椭圆12222=+b
y a x (a>b >0)的离心率e =36
，过点A （0,-b ）和B （a ,0）的直线与原点
距离为
2
3
. (Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)已知定点E （-1,0）,若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆交于C 、D 两点，试判断：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出这个值.若不存在，说明理由. 4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件： ①原点O 与直线x =1是它的焦点和准线；
②被直线x+y =0垂直平分的弦的长等于22，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理
由.
●参考答案
1.(1)如图所示，设抛物线上一点O ′(x 0，p
x 220
)，
连结O ′A ，O ′M . 作O ′C ⊥MN 于C ， 则|MN |=2|MC |，
∵|O ′M |=|O ′A |=22
40
220
20
4)2(p p
x p p
x x +=-+ ∴|MC |=p p x p p
x C O M O =-+=
'-'2
2022
402
2)2(4|||| 第1题解图
∴|MN |=2p 为定值.
即当O ′运动时，|MN |不会有变化，总有|MN |=2p .
(2)如图所示，有M （x 0-p ，0），N (x 0+p ，0) ∴d 1=2022
2)(p x P OM
OA -+=+ d 2=202)(p x p ++
∴d 2
1+d 2
2=4p 2+2x 2
0，d 1d 2=4
042
02
202
4)2()2(x p px x p +=
-+
∴2112d d d d +=2
4040240
4202212
2214)2(2424x p x p x p x p d d d d ++=++=+ =.222241244122
22
2404202=⨯⨯+≤++x p x p x p x p 4
当且仅当x 2
0=2p 2，即x 0=±2p ，y 0=p 时等式成立，此时|O ′M ′|=|O ′N ′|=2p . ∴∠MO ′N =90°， ∴△MO ′N 为等腰直角三角形. ∴θ= 45°.
2.【思考】 这是一道探索性问题，解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发.此题要使PQ ⊥QD ，∵P A ⊥面ABCD ，只需满足AQ ⊥QD 即可，再转化到在平面ABCD 上寻求AQ ⊥QD 的条件，从而使问题得到解决. 【解答】 （1）连结AQ ，∵P A ⊥面ABCD .
∴要使PQ ⊥QD ，只要AQ ⊥QD ，即以AD 为直径的圆与BC 有公共点. 这就是说，当AD ≥2AB ，即a ≥2，在BC 边上存在点Q ，使PQ ⊥QD . (2)∵当a >2时，以AD 为直径的圆与BC 有两个交点. 当a =2时，只有BC 的中点满足条件.
∴AD =2，Q 为BC 的中点，取AD 的中点M ，连结QM .
∵面P AD ⊥面ABCD ，QM ⊥AD ，∴QM ⊥面P AD .过M 作MN ⊥PD 于N ，连结NQ . 根据三垂线定理有，QN ⊥PD . ∴∠MNQ 就是二面角Q —PD —A 的平面角.
在Rt △QMN 中，QM =1，MN=MD ·sin ∠MDN =1×5
555=. ∴tan ∠MNQ =5.
∴二面角Q —PD —A 为arctan 5.
3.【思考】 第一问从离心率的定义入手，很容易求得a 、b 的值，从而得到椭圆方程.第二问判断k 值是否存在，可以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题，若求出符合条件的k 值则存在，反之，则不存在.
【解答】 （Ⅰ）e =3622=-=
a b a a
c
，∴32
2
22=-a
b a ，∴a 2=3b 2，即a =3b . 过A （0,-b ），B (a ,0)的直线为
.1=-b
y
a x . 把a =3
b 代入，即x -3y -3b =0, 又由已知
2
3
)
3(1|3|2
=
+-b ，解得b =1，∴a =3. (Ⅱ)设C (x 1，y 1)，D （x 2，y 2）.
由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+2132
2kx y y x 消去y ， 得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0. 必须 1+3k 2≠0且Δ=（12k ）2-36(1+3k 2)>0 ∴k <-1或k >1 ①
要存在k 满足①且使
11
12211-=+•+x y
x y , 即x 1x 2+x 1+x 2+1+y 1y 2=0. ② ∵y 1=kx 1+2，y 2=kx 2+2
∴②式即为(1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0 ③
∵x 1+x 2=
2
212319
,3112k x x k k +=•+-，代入③得9k 2+9-24k 2-12k +5+15k 2=0. ∴k =67满足①式.∴存在k 的值使以CD 为直径的圆过E 点，这个值是6
7.
4.设存在这样的双曲线，其离心率为，则根据双曲线定义得：e x y x =-+|
1|2
2.
化简为：(e 2-1)x 2-y 2-2e 2x +e 2=0
将弦所在直线y=x+b 代入得：(e 2-2)x 2-2(b +e 2)x +e 2-b 2=0
设弦AB 的两端点A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)，AB 中点M （x 0，y 0）则
x 1+x 2=2)(222-+e e b ，x 1x 2=222
2--e b e ，x 0=
222221-+=+e e b x x
即y 0=x 0+b =222
-+e e b +b ，代入x+y =0，得b =-2.
从而x 1+x 2=2，x 1·x 2=2
4
2
2--e e 弦长|AB |=.222
2
2
24)(22212
21=-=•-+e x x x x
解得e=2符合题意,
所以存在双曲线方程：3x2-y2-8x+4=0，经检验它是满足题意的双曲线.。