近年高考数学一轮复习高考必考题突破讲座(三)数列、不等式及推理与证明学案(2021年整理)

2019版高考数学一轮复习高考必考题突破讲座（三）数列、不等式及推理与证明学案
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高考必考题突破讲座(三）数列、不等式及推理与证明
题型特点
考情分析命题趋势
从近几年高考试题统计看,全国卷中的数列与三角函数问题基本上交替考查，难度不大．如果是数列问题考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题,有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循。

2017·天
津卷,17
2016·四
川卷，19
2016·山
东卷，18
以数列为载体,综
合不等式，考查推理与
证明思想方法的应用,
仍然是命题关注点.
分值：12
分
1．数列的通项与求和
数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算．求和问题关键在于分析通项的
结构特征，选择合适的求和方法，常考求和方法有：错位相减法、裂项相消
法、分组求和法等．
2．数列与函数的综合问题
数列是特殊的函数,以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇
点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力
和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选．
3．数列与不等式的综合问题
数列与不等式知识相结合的考查主要有三种:一是判断数列问题中的一
些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题;三是考查与数列
问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不
等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等．如果是解不等式问题，要
使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等．
【例1】（2017·天津卷)已知｛a n｝为等差数列，前n项和为S n(n∈N ＊)，{b
｝是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1,S11 n
＝11b4.
（1)求｛a n｝和{b n｝的通项公式；
(2）求数列｛a2n b2n－1}的前n项和(n∈N*）．
解析（1）设{a n}的公差为d,｛b n｝的公比为q，q〉0。

由b2＋b3＝12，
得b1（q＋q2）＝12,而b1＝2，
所以q2＋q－6＝0，解得q＝2,所以b n＝2n。

由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8,①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②
联立①②，解得a1＝1，d＝3，所以a n＝3n－2，
故数列｛a n｝的通项公式为a n＝3n－2，
｛b n｝的通项公式为b n＝2n。

(2）设数列{a2n b2n－1｝的前n项和为T n，
由（1）知a2n＝6n－2,b2n－1＝2×4n－1，所以a2n b2n－1＝(3n－1）×4n，
故T n＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋（3n－1)×4n，
4T n＝2×42＋5×43＋…＋（3n－4）×4n＋（3n－1)×4n＋1,
两式相减，得
－3T n＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－（3n－1)×4n＋1
＝错误!－4－（3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8，
所以T n＝错误!×4n＋1＋错误!.
所以，数列｛a2n b2n－1}的前n项和为错误!×4n＋1＋错误!。

【例2】已知首项为错误!的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n(n∈N*),且S
3
＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
(1)求数列｛a n}的通项公式；
（2）设T n＝S n－错误!（n∈N*），求数列｛T n｝的最大项的值与最小项的值．
解析（1）设等比数列｛a n｝的公比为q，
因为S3＋a3,S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，
于是q2＝错误!＝错误!.
又｛a n｝不是递减数列，且a1＝3
2
，所以q＝－错误!。

故a n＝错误!×错误!n－1＝(－1）n－1·错误!.
(2)由(1)得S n＝1－错误!n＝错误!
当n为奇数时，S n随n的增大而减小，所以1<S n≤S1＝错误!,
故0〈S n－1
S n
≤S1－
1
S
1
＝错误!－错误!＝错误!;
当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以错误!＝S2≤S n〈1,故0>S n－错误!≥S2－错误!＝错误!－错误!＝－错误!。

综上，对于n∈N*，总有－
7
12
≤S n－错误!≤错误!.
所以数列{T n}最大项的值为错误!，最小项的值为－错误!。

【例3】(2016·四川卷)已知数列{a n｝的首项为1,S n为数列{a n｝的前n 项和，S n＋1＝qS n＋1，其中q>0,n∈N*。

（1）若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{a n}的通项公式；
(2）设双曲线x2－错误!＝1的离心率为e n，且e2＝错误!，证明：e1＋e2＋…＋e n>错误!.
解析（1）由已知，S n＋1＝qS n＋1，S n＋2＝qS n＋1＋1,
两式相减得到a n＋2＝qa n＋1，n≥1。

又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1,故a n＋1＝qa n对所有n≥1都成立．所以，数列{a n｝是首项为1，公比为q的等比数列，从而a n＝q n－1。

由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得2a3＝3a2＋2，
即2q2＝3q＋2,则（2q＋1）(q－2)＝0，
由已知，q>0，故q＝2.所以a n＝2n－1(n∈N*)．
(2)由（1)可知，a n＝q n－1.
所以双曲线x2－错误!＝1的离心率e n＝错误!＝错误!。

由e2＝错误!＝错误!，q〉0，解得q＝错误!。

因为1＋q2（k－1)>q2(k－1)，所以错误!〉q k－1(k∈N*)．
故e1＋e2＋…＋e n>1＋q＋…＋q n－1＝错误!＝错误!.
1．（2018·河北石家庄二模）已知等差数列｛a n}的前n项和为S n,若S m－＝－4,S m＝0，S m＋2＝14(m≥2，且m∈N＊）．
1
（1）求m的值；
(2)若数列{b n}满足错误!＝log2b n（n∈N*)，求数列｛(a n＋6)·b n｝的前n 项和．
解析(1）因为S m－1＝－4,S m＝0，S m＋2＝14，
所以a m＝S m－S m－1＝4，a m＋1＋a m＋2＝S m＋2－S m＝14，
设数列｛a n｝的公差为d，则2a m＋3d＝14，所以d＝2。

因为S m＝错误!×m＝0，所以a1＝－a m＝－4，
所以a m＝－4＋2(m－1）＝4，解得m＝5。

(2）由(1)知a n＝－4＋2(n－1)＝2n－6，
所以n－3＝log2b n,即b n＝2n－3,
所以（a n＋6）·b n＝2n·2n－3＝n·2n－2。

设数列｛（a n＋6）·b n｝的前n项和为T n，
则T n＝1×1
2
＋2×1＋3×2＋…＋n·2n－2,①
所以2T n＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，②
①－②，得－T n＝错误!＋1＋2＋…＋2n－2－n·2n－1＝错误!－n·2n－1＝（1－n)·2n－1－错误!.
所以T n＝（n－1)·2n－1＋错误!。

2．在等差数列｛a n}中，a2＝6,a3＋a6＝27.
(1）求数列｛a n}的通项公式；
（2)记数列｛a n}的前n项和为S n，且T n＝错误!，若对于一切正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围．
解析(1）设公差为d，由题意得错误!解得错误!∴a n＝3n.
(2）∵S n＝3（1＋2＋3＋…＋n)＝错误!n(n＋1)，
∴T n＝错误!,T n＋1＝错误!，
∴T n＋1－T n＝错误!－错误!＝错误!，
∴当n≥3时，T n〉T n＋1,且T1＝1<T2＝T3＝错误!，
∴T n的最大值是错误!,故实数m的取值范围是错误!.
3．(2018·山东济南模拟）已知数列{a n｝是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，满足S5－2a2＝25，且a1,a4，a13恰为等比数列{b n}的前三项．（1)求数列｛a n}，{b n｝的通项公式;
（2）设T n是数列错误!的前n项和，是否存在k∈N＊,使得等式1－2T k＝错误!成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解析(1)设等差数列{a n｝的公差为d（d≠0），
∴错误!
解得a1＝3，d＝2,∴a n＝2n＋1.
∵b1＝a1＝3，b2＝a4＝9，∴等比数列{b n}的公比q＝3，
∴b n＝3n.
(2）不存在．理由如下:
∵错误!＝错误!＝错误!错误!，
∴T n＝错误!错误!
＝错误!错误!，
∴1－2T k＝错误!＋错误!(k∈N*），易知数列错误!为单调递减数列，∴错误!〈1－2T k≤错误!，又错误!＝错误!∈错误!，
∴不存在k∈N*，使得等式1－2T k＝错误!成立．
高考必考题突破讲座(三)
数列、不等式及推理与证明
［解密考纲]数列、不等式是高中数学的主干知识，涉及函数思想的渗透和逻辑推理及数学运算．高考中常以数列的计算、推理和不等式的放缩变形为载体，考查学生的逻辑推理和运算能力．
1．（2018·湖南长沙统考)已知数列{a n｝为等差数列,其中a2＋a3＝8，a5＝3a2.
（1)求数列｛a n}的通项公式;
（2）记b n＝错误!，设b n的前n项和为S n。

求最小的正整数n，使得S n>错误!。

解析（1）设等差数列{a n｝的公差为d，
依题意有错误!解得错误!
故{a n}的通项公式为a n＝2n－1，n∈N＊.
（2)因为b n＝错误!＝错误!－错误!，
所以S n＝错误!＋错误!＋…＋错误!
＝1－错误!,
令1－错误!>错误!，解得n〉1 008，故取n＝1 009。

2．（2018·江西南昌模拟）已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，且a1＝1,S3＋S4＝S5.
（1）求数列{a n｝的通项公式;
(2）令b n＝（－1)n－1a n，求数列｛b n}的前2n项和T2n.
解析（1）设等差数列{a n}的公差为d，
由S3＋S4＝S5，得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，
所以3（1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.
∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
（2）由（1）可得b n＝(－1)n－1·（2n－1)．
∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋（2n－3)－(2n－1)
＝（－2）×n＝－2n。

3．(2018·东北三省四校模拟）已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．
（1)求数列｛a n｝的通项公式；
（2)设错误!是首项为1，公比为3的等比数列,求数列｛b n｝的前n项和T n.
解析(1)依题意
得错误!
解得错误!∴a n＝2n＋1.
（2）∵错误!＝3n－1,∴b n＝a n·3n－1＝（2n＋1)·3n－1,
∴T n＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n＋1)×3n－1，
3T n＝3×3＋5×32＋…＋2×3n－1＋（2n＋1）×3n，两式相减，得
－2T n＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－（2n＋1)×3n
＝3＋2×错误!－(2n＋1)×3n＝－2n×3n，∴T n＝n·3n.
4．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x)＝6x－2，数列｛a n}的前n项和为S n，点（n，S n）(n∈N*）均在函数y＝f(x)的图象上．
(1）求数列{a n}的通项公式;
（2)设b n＝错误!，试求数列｛b n｝的前n项和T n.
解析(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx（a≠0)，
则f′（x）＝2ax＋b。

由于f′(x）＝6x－2，得a＝3,b＝－2，所以f（x）＝3x2－2x.
又因为点(n，S n）（n∈N*)均在函数y＝f(x）的图象上，
所以S n＝3n2－2n.
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝3n2－2n－［3(n－1)2－2(n－1）］＝6n－5；
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5，也适合上式，
所以a n＝6n－5(n∈N*）．
(2)由(1)得b n＝错误!＝错误!
＝错误!·错误!，
故T n＝错误!错误!
＝错误!错误!＝错误!。

5．已知数列{a n｝满足a1＝3，错误!－错误!＝1,n∈N＊。

（1)求数列{a n}的通项公式；
(2）设b n＝log2错误!，数列{b n｝的前n项和为S n，求使S n〈－4的最小自然数n。

解析（1)由错误!－错误!＝1，n∈N*,
知数列｛错误!}是以2为首项，1为公差的等差数列,
所以a n＋1＝2＋n－1＝n＋1,所以a n＝n2＋2n，
故数列｛a n}的通项公式为a n＝n2＋2n.
(2）b n＝log2n2＋n
n2＋2n
＝log2错误!＝log2（n＋1)－log2（n＋2)，
则S n＝b1＋b2＋…＋b n＝log22－log23＋log23－log24＋…＋log2（n＋1)－log2(n＋2）＝1－log2(n＋2),
由S n〈－4，得1－log2（n＋2）〈－4，解得n>30，
故满足S n〈－4的最小自然数n为31。

6．设a1,a2，a3，a4是各项均为正数且公差为d(d≠0）的等差数列．
(1）求证：2a1,2a2，2a3，2a4依次成等比数列；
（2)是否存在a1，d使得a1，a22，a33，a4，4依次成等比数列?并说明理由．解析（1)因为错误!＝2a n＋1－a n＝2d（n＝1,2，3）是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列．
(2)假设存在a1，d满足条件．令a1＋d＝a，则a1，a2，a3,a4分别为a－d，a，a＋d,a＋2d（a>d，a>－2d，d≠0)．
假设存在a1，d使得a1，a错误!，a错误!，a错误!依次构成等比数列,
则a4＝(a－d）（a＋d)3，且(a＋d）6＝a2（a＋2d）4，
令t＝错误!，则1＝(1－t）(1＋t)3，
且（1＋t)6＝(1＋2t）4错误!，
化简得t3＋2t2－2＝0（*），且t2＝t＋1.
将t2＝t＋1代入（*）式,
t（t＋1）＋2（t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－错误!.
显然t＝－错误!不是上面方程的解，矛盾,所以假设不成立，因此不存在a1，d使得a1,a22，a33，a错误!依次构成等比数列．。