北京市东城区北京景山学校2021~2022学年九年级上学期期中数学试题(含答案与解析)
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（1）判断DE与⊙O 位置关系，并说明理由；
（2）BA与CD的延长线交于点F，若 ，AB＝4，AD＝2，求AF的长．
26.在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）①直接写出抛物线的对称轴是________；
②用含a的代数式表示b；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与 轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围．
故选：B．
【点睛】此题考查切线的性质定理：知切线得垂直，熟记定理是解题的关键．
3.抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A. （3，1）B. （3，﹣1）C. （﹣3，1）D. （﹣3，﹣1）
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目中二次函数的顶点式 可以直接写出它的顶点坐标．
【详解】解： ，
此函数的顶点坐标为 ，
A. 频率等于概率
B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D. 实验得到的频率与概率不可能相等
6.如图，在 中， ， ， ，以 为圆心 为半径画圆，交 于点 ，则阴影部分面积是（）
A. B. C. D.
7.关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质得到 ， ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解： 中， ， ， ，
∴ ， ，
∴
．
故选： ．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
7.关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ）
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACD=36°，
∴∠ABD=36°
∴∠BAD=90°-∠ABD=54°，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理．注意掌握直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并结合数形结合思想进行应用．
5.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）.
北京市东城区2021~2022学年九年级（上）期中试卷
数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡指定位置。
2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答案，用0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。答案答在试题卷上无效。
21.如图，四边形 内接于⊙ 度数．
22.北京世界园艺博览会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游完路线，如下表：
A
B
C
D
漫步世园会
爱家乡，爱园艺
清新园艺之旅
车览之旅
小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这4条路线中任意选择一条，每条线路被选择的可能性相同．
A. B.
C. D.
二、填空题：
9.请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为___．
10.在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，则n＝___．
11.如图，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，当点B的对应点D恰好落在AC边上时，∠CAE的度数为___________.
A. 频率等于概率
B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C. 当实验次数很大时，概率稳定 频率附近
D. 实验得到的频率与概率不可能相等
【答案】B
【解析】
【详解】A、频率只能估计概率；
B、正确；
C、概率是定值；
D、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．
故选B．
6.如图，在 中， ， ， ，以 为圆心 为半径画圆，交 于点 ，则阴影部分面积是（）
3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）
1.一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常系数分别是
A.3，6，1B.3，6，-1C.3，-6，1D.3，-6，-1
2.如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
故选D.
2.如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A. PAB. PBC. PCD. PD
【答案】B
【解析】
【分析】圆的切线垂直于过切点的半径，据此解答．
【详解】∵以点P为圆心，所得的圆与直线l相切，
∴直线l垂直于过点P的半径，
∵PB⊥l，
∴PB的长是圆的半径，
1.一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常系数分别是
A.3，6，1B.3，6，-1C.3，-6，1D.3，-6，-1
【答案】D
【解析】
【详解】对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.故方程3x2-6x-1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是-1.
12.如图，AB是⨀O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝ ，则OD长为___．
13.某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
移植总数
成活数量
成活频率
估计树苗移植成活的概率是__________．（结果保留小数点后一位）
∴k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B．
8.随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y与t的函数关系大致是（ ）
24.在平面直角坐标系 中，已知直线 与双曲线 的一个交点是 ．
（1）求 的值；
（2）设点 是双曲线 上不同于 的一点，直线 与 轴交于点 ．
①若 ，求 的值；
②若 ，结合图象，直接写出 的值．
25.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．
14.如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是___.
15.已知：如图，半圆O 直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则弦AC，AD和 围成的图形（图中阴影部分）的面积S是___.
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，N是A′B′的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为___.
三、解答题：
17.解一元二次方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
18.下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．
作法：如图，
①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；
②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；
③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；
27.在△ABC中，AB＝2 ，CD⊥AB于点D，CD＝ ．
（1）如图1，当点D 线段AB中点时，
①AC的长为；
②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系为，∠BCE与∠A的数量关系为．
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．
A. PAB. PBC. PCD. PD
3.抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A.（3，1）B.（3，﹣1）C.（﹣3，1）D.（﹣3，﹣1）
4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（ ）
A.36°B.44°C.54°D.56°
5.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）.
A. k为任何实数，方程都没有实数根
B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫
C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D.根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
8.随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y与t的函数关系大致是（ ）
A. k为任何实数，方程都没有实数根
B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫
C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D. 根据k 取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【答案】B
【解析】
【详解】∵关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0中
△=（2k）2﹣4×（k﹣1）=4k2﹣4k+4=（2k﹣1）2+3＞0
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记：顶点式 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ．
4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（ ）
A.36°B.44°C.54°D.56°
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB=90°，又由∠ACD=36°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据极差的定义，分别从 、 、 及 时，极差 随 的变化而变化的情况，从而得出答案．
【详解】解：当 时，极差 ，
当 时，极差 随 的增大而增大，最大值为43；
当 时，极差 随 的增大保持43不变；
①按要求补全图形；
②求AE的长．
28.对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≤d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．
例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．
（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为；
②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为；
（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；
（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是．
参考答案
一、选择题：（下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）
∴PA，PB是⊙O的切线．（ ）（填推理的依据）．
19.已知关于 的方程 ．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
（2）若 ，求该方程的根．
20.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．
（1）求该二次函数 解析式并画出它的图象；
（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
④作直线PA和直线PB．
所以直线PA和PB就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PE和PF，
∵OE＝MN，OA＝OM＝ MN，
∴点A是OE的中点．
∵PO＝PE，
∴PA⊥OA于点A（ ）（填推理的依据）．
同理PB⊥OB于点B．
∵OA，OB为⊙O的半径，
（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率．
23.如图，用一条长 的绳子围成矩形 ，设边 的长为 ．
（1）边 的长为___________ ，矩形 的面积为___________ （均用含 的代数式表示）；
（2）矩形 的面积是否可以是 ？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．
（2）BA与CD的延长线交于点F，若 ，AB＝4，AD＝2，求AF的长．
26.在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）①直接写出抛物线的对称轴是________；
②用含a的代数式表示b；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与 轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围．
故选：B．
【点睛】此题考查切线的性质定理：知切线得垂直，熟记定理是解题的关键．
3.抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A. （3，1）B. （3，﹣1）C. （﹣3，1）D. （﹣3，﹣1）
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目中二次函数的顶点式 可以直接写出它的顶点坐标．
【详解】解： ，
此函数的顶点坐标为 ，
A. 频率等于概率
B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D. 实验得到的频率与概率不可能相等
6.如图，在 中， ， ， ，以 为圆心 为半径画圆，交 于点 ，则阴影部分面积是（）
A. B. C. D.
7.关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质得到 ， ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解： 中， ， ， ，
∴ ， ，
∴
．
故选： ．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
7.关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ）
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACD=36°，
∴∠ABD=36°
∴∠BAD=90°-∠ABD=54°，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理．注意掌握直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并结合数形结合思想进行应用．
5.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）.
北京市东城区2021~2022学年九年级（上）期中试卷
数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡指定位置。
2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答案，用0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。答案答在试题卷上无效。
21.如图，四边形 内接于⊙ 度数．
22.北京世界园艺博览会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游完路线，如下表：
A
B
C
D
漫步世园会
爱家乡，爱园艺
清新园艺之旅
车览之旅
小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这4条路线中任意选择一条，每条线路被选择的可能性相同．
A. B.
C. D.
二、填空题：
9.请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为___．
10.在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，则n＝___．
11.如图，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，当点B的对应点D恰好落在AC边上时，∠CAE的度数为___________.
A. 频率等于概率
B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C. 当实验次数很大时，概率稳定 频率附近
D. 实验得到的频率与概率不可能相等
【答案】B
【解析】
【详解】A、频率只能估计概率；
B、正确；
C、概率是定值；
D、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．
故选B．
6.如图，在 中， ， ， ，以 为圆心 为半径画圆，交 于点 ，则阴影部分面积是（）
3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）
1.一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常系数分别是
A.3，6，1B.3，6，-1C.3，-6，1D.3，-6，-1
2.如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
故选D.
2.如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A. PAB. PBC. PCD. PD
【答案】B
【解析】
【分析】圆的切线垂直于过切点的半径，据此解答．
【详解】∵以点P为圆心，所得的圆与直线l相切，
∴直线l垂直于过点P的半径，
∵PB⊥l，
∴PB的长是圆的半径，
1.一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常系数分别是
A.3，6，1B.3，6，-1C.3，-6，1D.3，-6，-1
【答案】D
【解析】
【详解】对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.故方程3x2-6x-1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是-1.
12.如图，AB是⨀O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝ ，则OD长为___．
13.某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
移植总数
成活数量
成活频率
估计树苗移植成活的概率是__________．（结果保留小数点后一位）
∴k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B．
8.随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y与t的函数关系大致是（ ）
24.在平面直角坐标系 中，已知直线 与双曲线 的一个交点是 ．
（1）求 的值；
（2）设点 是双曲线 上不同于 的一点，直线 与 轴交于点 ．
①若 ，求 的值；
②若 ，结合图象，直接写出 的值．
25.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．
14.如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是___.
15.已知：如图，半圆O 直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则弦AC，AD和 围成的图形（图中阴影部分）的面积S是___.
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，N是A′B′的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为___.
三、解答题：
17.解一元二次方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
18.下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．
作法：如图，
①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；
②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；
③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；
27.在△ABC中，AB＝2 ，CD⊥AB于点D，CD＝ ．
（1）如图1，当点D 线段AB中点时，
①AC的长为；
②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系为，∠BCE与∠A的数量关系为．
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．
A. PAB. PBC. PCD. PD
3.抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A.（3，1）B.（3，﹣1）C.（﹣3，1）D.（﹣3，﹣1）
4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（ ）
A.36°B.44°C.54°D.56°
5.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）.
A. k为任何实数，方程都没有实数根
B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫
C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D.根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
8.随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y与t的函数关系大致是（ ）
A. k为任何实数，方程都没有实数根
B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫
C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D. 根据k 取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【答案】B
【解析】
【详解】∵关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0中
△=（2k）2﹣4×（k﹣1）=4k2﹣4k+4=（2k﹣1）2+3＞0
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记：顶点式 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ．
4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（ ）
A.36°B.44°C.54°D.56°
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB=90°，又由∠ACD=36°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据极差的定义，分别从 、 、 及 时，极差 随 的变化而变化的情况，从而得出答案．
【详解】解：当 时，极差 ，
当 时，极差 随 的增大而增大，最大值为43；
当 时，极差 随 的增大保持43不变；
①按要求补全图形；
②求AE的长．
28.对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≤d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．
例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．
（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为；
②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为；
（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；
（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是．
参考答案
一、选择题：（下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）
∴PA，PB是⊙O的切线．（ ）（填推理的依据）．
19.已知关于 的方程 ．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
（2）若 ，求该方程的根．
20.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．
（1）求该二次函数 解析式并画出它的图象；
（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
④作直线PA和直线PB．
所以直线PA和PB就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PE和PF，
∵OE＝MN，OA＝OM＝ MN，
∴点A是OE的中点．
∵PO＝PE，
∴PA⊥OA于点A（ ）（填推理的依据）．
同理PB⊥OB于点B．
∵OA，OB为⊙O的半径，
（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率．
23.如图，用一条长 的绳子围成矩形 ，设边 的长为 ．
（1）边 的长为___________ ，矩形 的面积为___________ （均用含 的代数式表示）；
（2）矩形 的面积是否可以是 ？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．