2019年秋北师大版八年级数学上册课时作业：1《勾股定理》单元复习(共20张PPT) (1)
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且∠BDC＝90°(勾股定理逆定理)．
(2)解：设 AD＝x，则 AC＝x＋9. ∵AB＝AC，∴AB＝x＋9.
∵∠BDC＝90°，∴∠ADB＝90°，
∴AB2＝AD2＋BD2(勾股定理)， 即(x＋9)2＝x2＋122，解得 x＝72， ∴AC＝72＋9＝225， ∴S△ABC＝12AC·BD＝75.
2.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D是AC上的一点，CD ＝9，BC＝15，BD＝12. (1)证明：△BCD是直角三角形； (2)求△ABC的面积．
(1)证明：∵CD＝9，BD＝12， ∴CD2＋BD2＝81＋144＝225. ∵BC＝15，BC2＝225，∴CD2＋BD2＝BC2， ∴△BCD 是直角三角形，
解：如图，在 Rt△ABC 中， ∵BC＝20 尺，AC＝5×3＝15 尺， 且 AB2＝BC2＋AC2， ∴AB2＝202＋152＝252. ∴AB＝25 尺，即葛藤的长为 25 尺．
∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC 是直角三角形． (2)解：S 阴影＝SRt△ABC－SRt△ACD＝12×10×24－12×8×6＝96.
9．我国古代有这样一道数学题：“枯木一根直立地上，高2 丈，周3尺，有葛藤自根缠绕而上，5周而达其顶．问葛藤之 长几何？”这里1丈＝10尺，葛藤之长指它的最短长度．解 题时，枯木视为圆柱(如图)，周3尺指圆柱底面周长3尺．求 葛藤的长．
解：由题意得 OB＝12×1.5＝18(海里)，OA＝16×1.5＝24(海里)， ∵AB＝30 海里，又 182＋242＝302， 即 OB2＋OA2＝AB2，
∴∠AOB＝90°. ∵∠DOA＝40°，∴∠BOD＝50°.
故另一艘舰艇的航行方向是北偏西 50°.
【例2】如图，∠ABC＝90°，AB＝6 cm，AD＝24 cm，BC＋ CD＝34 cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时， △ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？
解：设 BC＝x cm 时，△ACD 是以 CD 为斜边的直角三角形． ∵BC＋CD＝34，∴CD＝34－x. 在 Rt△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2＝36＋x2. 在 Rt△ACD 中，AC2＝CD2－AD2＝(34－x)2－576， ∴36＋x2＝(34－x)2－576，解得 x＝8. ∴当 C 离点 B 8 cm 时，△ACD 是以 CD 为斜边的直角三角形．
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01 精 典 范 例 02 变 式 练 习 03 巩 固 训 练
精典范例
【例1】如图，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O向北 偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向 北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离开港口一个半小时
后相距30海里，另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？
8．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC ＝24. (1)证明：△ABC是直角三角形； (2)求图中阴影部分的面积．
(1)证明：∵在 Rt△ADC 中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，
∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝102， ∴AC＝10(取正值)．
在△ABC 中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，
5．如图中的四边形都是正方形，字母B所代表的正方形的面 积是 144 .
6．已知A，B，C三地位置如图，∠C＝90°，A，C两地的距 离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是 5 km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的 正北 方向．
7．如图，李同学想要检测AD和BC是否分别垂直于AB，但 他随身只带了有刻度的卷尺．若测得AD＝30厘米，AB＝40 厘米，BD＝50厘米，则AD与AB 垂直 (填“垂直”或“不 垂直”)．
变式练习
1.某港口位于东西方向的海岸线上．甲、乙两艘轮船同时离 开港口，各自沿一固定方向航行，甲沿东北方向每小时航行 16海里，乙每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距 20海里，求乙轮船的航行方向．
解：甲轮船的航行距离：OB＝16×1＝16(海里)； 乙轮船的航行距离：OA＝12×1＝12(海里)． ∵AB＝20 海里，又 AB2＝OB2＋OA2，＝45°，∴∠2＝45°. 故乙轮船沿西北方向航行或东南方向航行．
巩固训练
3．以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是( D ) A．2,3,5 B．4,5,6 C．11,12,15 D．8,15,17
4．如图，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的 两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是 ( B) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
(2)解：设 AD＝x，则 AC＝x＋9. ∵AB＝AC，∴AB＝x＋9.
∵∠BDC＝90°，∴∠ADB＝90°，
∴AB2＝AD2＋BD2(勾股定理)， 即(x＋9)2＝x2＋122，解得 x＝72， ∴AC＝72＋9＝225， ∴S△ABC＝12AC·BD＝75.
2.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D是AC上的一点，CD ＝9，BC＝15，BD＝12. (1)证明：△BCD是直角三角形； (2)求△ABC的面积．
(1)证明：∵CD＝9，BD＝12， ∴CD2＋BD2＝81＋144＝225. ∵BC＝15，BC2＝225，∴CD2＋BD2＝BC2， ∴△BCD 是直角三角形，
解：如图，在 Rt△ABC 中， ∵BC＝20 尺，AC＝5×3＝15 尺， 且 AB2＝BC2＋AC2， ∴AB2＝202＋152＝252. ∴AB＝25 尺，即葛藤的长为 25 尺．
∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC 是直角三角形． (2)解：S 阴影＝SRt△ABC－SRt△ACD＝12×10×24－12×8×6＝96.
9．我国古代有这样一道数学题：“枯木一根直立地上，高2 丈，周3尺，有葛藤自根缠绕而上，5周而达其顶．问葛藤之 长几何？”这里1丈＝10尺，葛藤之长指它的最短长度．解 题时，枯木视为圆柱(如图)，周3尺指圆柱底面周长3尺．求 葛藤的长．
解：由题意得 OB＝12×1.5＝18(海里)，OA＝16×1.5＝24(海里)， ∵AB＝30 海里，又 182＋242＝302， 即 OB2＋OA2＝AB2，
∴∠AOB＝90°. ∵∠DOA＝40°，∴∠BOD＝50°.
故另一艘舰艇的航行方向是北偏西 50°.
【例2】如图，∠ABC＝90°，AB＝6 cm，AD＝24 cm，BC＋ CD＝34 cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时， △ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？
解：设 BC＝x cm 时，△ACD 是以 CD 为斜边的直角三角形． ∵BC＋CD＝34，∴CD＝34－x. 在 Rt△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2＝36＋x2. 在 Rt△ACD 中，AC2＝CD2－AD2＝(34－x)2－576， ∴36＋x2＝(34－x)2－576，解得 x＝8. ∴当 C 离点 B 8 cm 时，△ACD 是以 CD 为斜边的直角三角形．
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01 精 典 范 例 02 变 式 练 习 03 巩 固 训 练
精典范例
【例1】如图，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O向北 偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向 北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离开港口一个半小时
后相距30海里，另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？
8．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC ＝24. (1)证明：△ABC是直角三角形； (2)求图中阴影部分的面积．
(1)证明：∵在 Rt△ADC 中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，
∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝102， ∴AC＝10(取正值)．
在△ABC 中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，
5．如图中的四边形都是正方形，字母B所代表的正方形的面 积是 144 .
6．已知A，B，C三地位置如图，∠C＝90°，A，C两地的距 离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是 5 km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的 正北 方向．
7．如图，李同学想要检测AD和BC是否分别垂直于AB，但 他随身只带了有刻度的卷尺．若测得AD＝30厘米，AB＝40 厘米，BD＝50厘米，则AD与AB 垂直 (填“垂直”或“不 垂直”)．
变式练习
1.某港口位于东西方向的海岸线上．甲、乙两艘轮船同时离 开港口，各自沿一固定方向航行，甲沿东北方向每小时航行 16海里，乙每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距 20海里，求乙轮船的航行方向．
解：甲轮船的航行距离：OB＝16×1＝16(海里)； 乙轮船的航行距离：OA＝12×1＝12(海里)． ∵AB＝20 海里，又 AB2＝OB2＋OA2，＝45°，∴∠2＝45°. 故乙轮船沿西北方向航行或东南方向航行．
巩固训练
3．以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是( D ) A．2,3,5 B．4,5,6 C．11,12,15 D．8,15,17
4．如图，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的 两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是 ( B) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形