2019年广东省深圳市光明新区第二中学中考数学模拟试卷(4月)(解析版)

2019年广东省深圳市光明新区第二中学中考数学模拟试卷（4月）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）
A．B．C．D．
2．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，4），若点（﹣4，n）在反比例函数的图象上，则n等于（）
A．﹣8B．﹣4C．﹣2D．﹣
3．在一个有10 万人的小镇，随机调查了1000 人，其中有120 人周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目，那么在该镇随便问一个人，他在周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目的概率大约是（）
A．B．C．D．
4．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＝y2＞y3B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＝y2
5．如图，在边长为a的正六边形内有两个小三角形，相关数据如图所示．若图中阴影部分的面积为
S1，两个空白三角形的面积为S2．则＝（）
A．3B．4C．5D．6
6．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（）
A．B．
C．D．
7．函数y＝kx+1与y＝﹣在同一坐标系中的大致图象是（）
A．B．
C．D．
8．下列性质中，直角三角形具有而等腰三角形不一定具有的是（）
A．两边之和大于第三边
B．内角和等于180°
C．有两个锐角的和等于90°
D．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
9．下列语句中正确的是（）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
10．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b ＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③④
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．如图，一山坡的坡度为i＝1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了米．
12．如图所示，一根水平放置的圆柱形输水管道横截面，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深
0.2米，则此输水管道的直径是．
13．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为．14．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是（不写定义域）．
15．如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现在有一只妈蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是．
16．按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数
是．
17．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB 与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为cm．
18．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则OD的长为．
三．解答题（共9小题，满分76分）
19．（8分）如图，某日的钱塘江观潮信息如图：
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），
点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s＝t2+bt+c（b，c是常数）刻画．
（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需
多长时间？（潮水加速阶段速度v＝v0+（t﹣30），v0是加速前的速度）．
20．（6分）为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2m的标杆；④高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
（1）在你设计的方案上，选用的测量工具是；
（2）在下图中画出你的测量方案示意图；
（3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α等字母表示测得的数据；
（4）写出求树高的算式：AB＝m．
21．（6分）如图所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变成如图所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图中折线CDE）还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．（不计分界小路与直路的占地面积）
（1）写出设计方案，并在图中画出相应的图形；
（2）说明方案设计理由．
22．（8分）已知，如图，EB是⊙O的直径，且EB＝6，在BE的延长线上取点P，使EP＝EB，A 是EP上一点，过A作⊙O的切线，切点为D，过D作DF⊥AB于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于H．当点A在EP上运动，不与E重合时：
（1）是否总有，试证明你的结论；
（2）设ED＝x，BH＝y，求y和x的函数关系，并写出x的取值范围．
23．（9分）抛掷红、蓝两枚四面编号分别为1﹣4（整数）的质地均匀、大小相同的正四面体，将红色和蓝色四面体一面朝下的编号分别作为二次函数y＝x2+mx+n的一次项系数m和常数项n的值．
（1）一共可以得到个不同形式的二次函数；（直接写出结果）
（2）抛掷红、蓝四面体各一次，所得的二次函数的图象顶点在x轴上方的概率是多少？并说明理由．
24．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O中，AB＝2，∠C＝60°．
（1）求⊙O的半径；
（2）若∠CAB＝45°，点P从C点出发，沿向点A滑动，滑动多长距离时△PAB会是等边三角形？（结果保留π）
25．（7分）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD 的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为1，2时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由；
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．
26．（12分）如图，已知等边三角形ABC的边长为，它的顶点A在抛物线y＝x2﹣2x上运动，且始终使BC∥x轴．
（1）当顶点A运动至原点O时，顶点C是否在该抛物线上？
（2）△ABC在运动过程中被x轴分成两个部分时，若上、下两个部分的面积之比为1：8（即S
上：S
下
＝1：8），求此时顶点A的坐标；
（3）△ABC在运动过程中，当点B在坐标轴上时，求此时顶点C的坐标．
27．（12分）已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P （t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD．（1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP＝CD；
（2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；
（3）如图2，抛物线y＝﹣x2+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
2019年广东省深圳市光明新区第二中学中考数学模拟试卷（4
月）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到白球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的结果共有2 种，
所以两次都摸到白球的概率是＝，
故选：B．
【点评】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的
可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．
2．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣4n＝2×4，然后解关于n的方程即可．
【解答】解：∵点（2，4）和点（﹣4，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣4n＝2×4，
∴n＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
3．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：由题意知：1000人中有120人看中央电视台的早间新闻，
∴在该镇随便问一人，他看早间新闻的概率大约是＝．
故选：C．
【点评】本题考查概率公式和用样本估计总体，概率计算一般方法：如果一个事件有n 种可能，
而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝． 4．【分析】先求出抛物线的对称轴方程，然后根据二次函数的性质，通过比较三个点到对称轴的距离大小可得到y 1，y 2，y 3的大小关系．
【解答】解：二次函数y ＝﹣x 2+2x +c 的图象的对称轴为直线x ＝﹣＝1，
而P 1（﹣1，y 1）和P 2（3，y 2）到直线x ＝1的距离都为2，P 3（5，y 3）到直线x ＝1的距离为4，
所以y 1＝y 2＞y 3．
故选：A ．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
5．【分析】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．
【解答】解：如图，
∵三角形的斜边长为a ，
∴两条直角边长为a ，
a ，
∴S 2＝a •
a ＝a 2， ∵AB ＝a ，
∴OC ＝a ，
∴S 正六边形＝6×a •a ＝a 2，
∴S 1＝S 正六边形﹣S 空白＝
a 2﹣a 2＝a 2，
∴＝＝5．
故选：C ．
【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．
6．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
7．【分析】先利用一次函数的性质对B、C进行判断；然后利用反比例函数的性质对A、D进行判断．
【解答】解：直线y＝kx+1与y轴的交点坐标为（0，1），
所以B、C选项错误；
当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数图象分布在第二、四象限，
所以A选项错误，D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象：利用反比例函数解析式，运用反比例函数的性质对反比例函数图象的位置进行判断．
8．【分析】根据等腰三角形与直角三角形的性质作答．
【解答】解：A、两边之和大于第三边，不符合题意；
B、对于任意一个三角形都有内角和等于180°，不符合题意；
C、只有直角三角形才有两个锐角的和等于90°，符合题意；
D、等腰三角形顶角的平分线垂直于顶角的对边，而直角三角形（等腰直角三角形除外）没有任
何一个角的平分线垂直于这个角的对边，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的性质，等腰三角形与直角三角形的性质的区别．
9．【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断．
【解答】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项错误；
D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．
10．【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）对①进行判断；根据对称轴方程为x＝﹣＝﹣1对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），由此对③进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方，得到c＜0，而a+b+c＝0，则a﹣2b+c ＝﹣3b，由b＞0，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，所以①正确；
∵x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，所以②错误；
∵点（1，0）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），
∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
而a+b+c＝0，b＝2a，
∴c＝﹣3a，
∴a﹣2b+c＝﹣3b，
∵b＞0，
∴﹣3b＜0，所以④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛
物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【分析】根据坡比的定义得到tan∠A＝＝，∠A＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：根据题意得tan∠A＝＝＝，
所以∠A＝30°，
所以BC＝AB＝×200＝100（m）．
故答案为100．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．12．【分析】设⊙O的半径是R，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OA，由垂径定理得出AD的长，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的长．
【解答】解：设⊙O的半径是R，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OA，
∵AB＝0.8m，OD⊥AB，
∴AD＝＝0.4m，
∵CD＝0.2m，
∴OD＝R﹣CD＝R﹣0.2，
在Rt△OAD中，
OD2+AD2＝OA2，即（R﹣0.2）2+0.42＝R2，解得R＝0.5m．
∴2R＝2×0.5＝1米．
故答案为：1米．
【点评】本题考查的是垂径定理在实际生活中的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．【分析】先得到抛物线y＝x2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣3．故答案为y＝（x+2）2﹣3．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
14．【分析】根据题意列出S与x的二次函数解析式即可．
【解答】解：设平行于墙的一边为（10﹣2x）米，则垂直于墙的一边为x米，
根据题意得：S＝x（10﹣2x）＝﹣2x2+10x，
故答案为：S＝﹣2x2+10x
【点评】此题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意是解本题的关键．
15．【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD为底面半圆弧长，AD＝1.5π，
所以AC＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
16．【分析】观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白色地砖多1个，求出第n个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑色地砖的块数，再把n＝14代入进行计算即可．
【解答】解：第1个图案只有1块黑色地砖，
第2个图案有黑色与白色地砖共32＝9，其中黑色的有5块，
第3个图案有黑色与白色地砖共52＝25，其中黑色的有13块，
…
第n 个图案有黑色与白色地砖共（2n ﹣1）2，其中黑色的有 [（2n ﹣1）2+1]，
当n ＝14时，黑色地砖的块数有 [（2×14﹣1）2+1]＝×730＝365．
故答案为：365．
【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号之间的关系是解题的关键．
17．【分析】A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线在点B 处少走了一段，在点C 处又多求了一段弧
长，所以A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+＝
cm ．
【解答】解：A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+
＝cm ．
【点评】本题的关键是弄明白圆中心所走的路线是由哪几段组成的．
18．【分析】过点O 作OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥BC 于点F ．根据切线的性质，知OE 、OF 是⊙O 的半径；然后由三角形的面积间的关系（S △ABO +S △BOD ＝S △ABD ＝S △ACD ）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过点O 作OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥BC 于点F ．
∵AB 、BC 是⊙O 的切线，
∴点E 、F 是切点，
∴OE 、OF 是⊙O 的半径；
∴OE ＝OF ；
在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，
∴由勾股定理，得BC ＝8；
又∵D 是BC 边的中点，
∴S △ABD ＝S △ACD ，
又∵S △ABD ＝S △ABO +S △BOD ，
∴AB •OE +BD •OF ＝CD •AC ，即10×OE +4×OE ＝4×6，
解得OE ＝，
∴⊙O 的半径是．
由勾股定理得AD ＝2
， ∵△DOH ∽△DAC ，
∴，
∴OD ＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质与三角形的面积．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
三．解答题（共9小题，满分76分）
19．【分析】（1）由题意可知：经过30分钟后到达乙地，从而可知m ＝30，由于甲地到乙地是匀速运动，所以利用路程除以时间即可求出速度；
（2）由于潮头的速度为0.4千米/分钟，所以到11：59时，潮头已前进19×0.4＝7.6千米，设小红出发x 分钟，根据题意列出方程即可求出x 的值，
（3）先求出s 的解析式，根据潮水加速阶段的关系式，求出潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟时所对应的时间t ，从而可知潮头与乙地之间的距离s ，设她离乙地的距离为s 1，则s 1
与时间t 的函数关系式为s 1＝0.48t +h （t ≥35），当t ＝35时，s 1＝s ＝，从而可求出h 的值，最后潮头与小红相距1.8千米时，即s ﹣s 1＝1.8，从而可求出t 的值，由于小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，共需要时间为6+50﹣30＝26分钟，
【解答】解：（1）由题意可知：m ＝30；
∴B（30，0），
潮头从甲地到乙地的速度为：千米/分钟；
（2）∵潮头的速度为0.4千米/分钟，
∴到11：59时，潮头已前进19×0.4＝7.6千米，
设小红出发x分钟与潮头相遇，
∴0.4x+0.48x＝12﹣7.6，
∴x＝5
∴小红5分钟与潮头相遇，
（3）把B（30，0），C（55，15）代入s＝t2+bt+c，
解得：b＝﹣，c＝﹣，
∴s＝t2﹣﹣
∵v0＝0.4，
∴v＝（t﹣30）+，
当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，
此时v＝0.48，
∴0.48＝（t﹣30）+，
∴t＝35，
当t＝35时，
s＝t2﹣﹣＝，
∴从t＝35分（12：15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头．
设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1＝0.48t+h（t≥35），
当t＝35时，s1＝s＝，代入可得：h＝﹣，
∴s1＝﹣
最后潮头与小红相距1.8千米时，即s﹣s1＝1.8，
∴t2﹣﹣﹣+＝1.8
解得：t＝50或t＝20（不符合题意，舍去），
∴t＝50，
小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，
∴共需要时间为6+50﹣30＝26分钟，
∴小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需要26分钟，
【点评】本题考查二次函数的实际应用，涉及一次函数的应用，一元二次方程的解法，待定系数法求解析式等知识，综合程度较高，属于中等题型．
20．【分析】此题要求学生根据题意，自己设计方案，答案不唯一；
可借助相似三角形的对应边成比例的性质进行设计测量方法，先测得CE，EA与CD的大小，根
据相似三角形的性质；可得：＝；即AB＝．
【解答】解：（1）镜子，皮尺；
（2）测量方案示意图；
（3）EA（镜子离树的距离）＝a，EC（人离镜子的距离）＝b，DC（目高）＝c；
（4）根据相似三角形的性质；可得：＝；即AB＝．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．【分析】利用尺规作图做EC∥DF，两条平行线之间的垂线段相等，可得S
△ECF ＝S
△ECD
．
【解答】解：（1）画法如图所示．连接EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连接EF，EF即为所求直路的位置；
（2）
∵EC ∥DF ，
∴D 和F 点到EC 的距离相等（平行线间的距离处处相等），
又∵EC 为公共边，
∴S △ECF ＝S △ECD （同底等高的两三角形面积相等），
∴S 四边形ABFE ＝S 五边形AEDCB ，S 五边形EDCMN ＝S 四边形EFMN ．
即：EF 为直路的位置可以保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多
【点评】考查通过尺规作图作出相等面积来彼此替换以保持总面积不变．
22．【分析】①欲证所求的比例式，只需证得DE ∥FH 即可．连接BD ，设BD 与FH 的交点为G ，由于HD 切⊙O 于D ，根据弦切角定理知∠HDB ＝∠DEB ，在Rt △DEB 中，易证得∠DEB ＝∠FDB ，则∠FDB ＝∠HDB ，即可证得△DFB ≌△DHB ，由此可得BH ＝BF ，即△BFH 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可证得BD ⊥FH ，而BD ⊥DE ，则FH ∥DE ，由此得证．
②由于BH ＝BF ，根据EB 的长，可用y 表示出EF 的值，进而在Rt △DEB 中，根据射影定理得到y 、x 的函数关系式；求x 的取值范围时，只需考虑x 的最大值即可，当A 、P 重合时，若连接OD ，则OD ⊥PH ，根据平行线分线段成比例定理，可求得BH 的长，进而可得到BF 、EF 的值，然后根据射影定理即可求得DE 的长，由此求得x 的取值范围．
【解答】解：①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），
总有
证明：连接DB ，交FH 于G ．
∵AH 是⊙O 的切线，∴∠HDB ＝∠DEB ．
又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，
∴∠BDE ＝90°．
有∠DBE ＝90°﹣∠DEB ＝90°﹣∠HDB ＝∠DBH ．
在△DFB 和△DHB 中，
DF ⊥AB ，∠DFB ＝∠DHB ＝90°，
DB ＝DB ，∠DBE ＝∠DBH ，
∴△DFB≌△DHB．（4分）
∴BH＝BF．∴△BHF是等腰三角形．
∴BG⊥FH，即BD⊥FH．
∴ED∥FH，∴（5分）
②∵ED＝x，BH＝y，BE＝6，BF＝BH，
∴EF＝6﹣y，
又∵DF是Rt△BDE斜边上的高，
∴△DFE∽△BDE，
∴
即ED2＝EF•EB．
∴x2＝6（6﹣y）即y＝﹣x2+6（7分）
∴ED＝x＞0，
当A从E向左移动，ED逐渐增大，
当A和P重合时，ED最大，
这时，连接OD，则OD⊥PH，
∴OD∥BH．
又PO＝PE+EO＝6+3＝9，PB＝12，
，BH＝
∴BF＝BH＝4，EF＝EB﹣BF＝6﹣4＝2．
由ED2＝EF•EB，得：x2＝2×6＝12，
∵x＞0，∴x＝2，
∴0＜x≤2，
[或由BH＝4＝y，代入y＝﹣x2+6中，得x＝2]
故所求函数关系式为y＝﹣x2+6（0＜x≤2）．
【点评】此题主要考查了切线的性质、圆周角定理、全等三角形及相似三角形的判定和性质、平行线的判定等知识；（2）①中，能够构造出与所求相关的全等三角形是解决问题的关键．23．【分析】（1）直接求算出两个骰子总共出现的点数和有16种；
（2）由于二次项系数是1＞0，根据二次函数图象顶点在x轴上方时，△＜0，求算出n，m的值，再求满足条件的m，n的值的概率是多少即可．
【解答】解：（1）根据题意知，m的值有4个，n的值有4个，所以可以得到4×4＝16个不同形式的二次函数．
故答案为16；
（2）∵y＝x2+mx+n，
∴△＝m2﹣4n．
∵二次函数图象顶点在x轴上方，
∴△＝m2﹣4n＜0，
通过计算可知，m＝1，n＝1，2，3，4；或m＝2，n＝2，3，4；或m＝3，n＝3，4时满足△＝m2﹣4n＜0，
由此可知，抛掷红、蓝四面体各一次，所得的二次函数的图象顶点在x轴上方的概率是．【点评】本题是二次函数与统计初步中的综合题型，要熟悉二次函数的性质，并会根据条件求出字母系数的值．掌握求算概率的基本方法．
24．【分析】（1）作直径AD，连接BD，如图1，利用圆周角定理得到∠ABD＝90°，∠D＝∠C ＝60°，然后在在Rt△ABD中利用∠D的正弦可计算出AD，从而得到⊙O的半径；
（2）如图2，△PAB为等边三角形，连接PO、PC，利用等边三角形的性质得∠PAB＝60°，则
∠PAC＝15°，根据圆周角定理得到∠POC＝2∠PAC＝30°，然后利用弧长公式计算的长度即可．
【解答】解：（1）作直径AD，连接BD，如图1，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠D＝∠C＝60°，
在Rt△ABD中，∵sin D＝，
∴AD＝＝＝4，
∴⊙O的半径为2；
（2）如图2，△PAB为等边三角形，连接PO、PC，
∴∠PAB＝60°，
∴∠PAC＝∠PAB﹣∠CAB＝60°﹣45°＝15°，
∴∠POC＝2∠PAC＝30°，
∴的长度＝＝π，
即点P滑动π距离时△PAB会是等边三角形．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．也考查了圆周角定理．
25．【分析】（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．
（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是4，所以不存在“减半”
正方形．
【解答】解：（1）不存在．（1分）
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，
则，
由①得：y＝﹣x③，
把③代入②得：x2﹣x+1＝0，
b2﹣4ac＝﹣4＜0，（5分）
所以不存在；
（2）不存在．（6分）
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．（10分）
【点评】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．26．【分析】（1）当顶点A运动至与原点重合时，设BC与y轴交于点D，如图所示．由等边三角形的性质可以求出AD的值，从而求出C的坐标．
（2）过点A作AD⊥BC于点D，设出A点的坐标，由条件表示出AD的值，再由三角函数求出AD的值，从而建立等量关系，就可以求出A的坐标．
（3）B点在坐标轴上有两种情况，当B点在x轴上时，则A的纵坐标为3，代入抛物线的解析式
求出A的横坐标就可以求出C的坐标；当B点y轴上时，可以求出A点的横坐标，代入抛物线的解析式可以求出A点的纵坐标，从而求出C点的坐标．
【解答】解：（1）当顶点A运动至与原点重合时，设BC与y轴交于点D，如图所示．
∵BC∥x轴，BC＝AC＝2，
∴CD＝，AD＝3，
∴C点的坐标为（，﹣3），
∵当x＝时，y＝（）2﹣2×＝﹣3，
∴当顶点A运动至与原点重合时，顶点C在抛物线上．
（2）过点A作AD⊥BC于点D，
设点A的坐标为（x，x2﹣2x）．
∵BC∥x轴，
∴x轴上部分的三角形∽△ABC，
∵S
上：S
下
＝1：8，
∴S
上：S
△ABC
＝1：9，
∴AD＝3（x2﹣2x），
∵等边△ABC的边长为2，
∴AD＝AC•sin60°＝3，
∴3（x2﹣2x）＝3，
∴x2﹣2x﹣1＝0，
解方程，得x＝±2，
∴顶点A的坐标为（+2，1）或（﹣2，1）．
（3）当顶点B落在x轴时，则A点纵坐标为3，
∴3＝x2﹣2x，
∴x＝﹣或+，
∴顶点C的坐标为（2﹣，0）、（2+，0），
当顶点B落在y轴时，则A点横坐标为，
∴y＝x2﹣2x＝﹣3，
∴顶点C的坐标为（2，﹣6），
综上所述，顶点C的坐标为（2﹣，0）、（2+，0）、（2，﹣6）．。