高三数学二轮专题复习小题基础过关练(二)

过关练(二)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N ＝( ) A.(－1，1)
B.(－1，2)
C.(0，2)
D.(1，2)
[解析] 由|x －1|<1，得－1<x －1<1，解得0<x <2， ∴M ＝{x |0<x <2}，又∵N ＝{x |x <2}， ∴M ∩N ＝(0，2). [答案] C
2.(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i
1＋i
＋2i ，则|z |＝( ) A.0
B.12
C.1
D. 2
[解析] 因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2
（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝－i ＋2i ＝i ，所以|z |＝1.
[答案] C
3.函数y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4是( )
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
[解析] y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，是周期为π的奇函数.
[答案] A
4.已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则sin 2θ 的值为( ) A.3
5
B.45
C.15
D.－15
[解析] 由已知tan θ＝2，sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝4
5.
[答案] B
5.(2018·日照模拟)设a ＝20.1，b ＝lg 52，c ＝log 39
10，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.b >c >a B.a >c >b C.b >a >c
D.a >b >c
[解析] 因为a ＝20.1∈(1，2)，b ＝lg 52∈(0，1)，c ＝log 39
10<0，∴a >b >c . [答案] D
6.“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
[解析] 由f (x )＝m ＋log 2x ＝0(x ≥1)，得m ＝－log 2x ≤0. 因为{m |m <0}{m |m ≤0}，所以“m <0”是“函数f (x )(x ≥1)存在零点”的充分不必
要条件. [答案] A
7.(2018·武昌调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为( )
A.1.2
B.1.6
C.1.8
D.2.4
[解析] 由三视图知，商鞅铜方升是由一圆柱和一长方体的组合体.依题意，得
(5.4－x )×3×1＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫
122
x ＝12.6，解得x ＝1.6.
[答案] B
8.正项等比数列{a n }中，a 2 018＝a 2 017＋2a 2 016，若a m a n ＝16a 2
1，则4m
＋1n
的最小值
等于( ) A.1
B.32
C.53
D.136
[解析] 设公比为q ，因为a 2 018＝a 2 017＋2a 2 016， 所以q 2＝q ＋2，则q ＝2或q ＝－1(舍).
又a m a n ＝16a 2
1，则a 21·2m ＋n －2＝16a 21.
∴m ＋n ＝6(m >0，n >0)，且m ，n ∈N *. ∴4m ＋1n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝16⎝ ⎛
⎭
⎪⎫5＋4n m ＋m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2
4n m ·m n ＝3
2. 当且仅当m ＝4，n ＝2时等号成立. [答案] B
9.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB
→|＝2，OC →＝13OA →＋23OB →，若M
是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )
A. 3
B.2 3
C.2
D.3
[解析] 由OC
→＝13OA →＋23OB →，又OM →＝12(OA →＋OB →)， 所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋23OB →·12
(OA →＋OB →) ＝16(OA →2＋2OB →2＋3OA →·OB
→)， 又△OAB 为等边三角形，所以OA →·OB →＝2×2cos 60°＝2，OA →2＝4，OB →2＝4，所以OC →·OM →＝3. [答案] D
10.习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.
如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.如图是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入m＝6，则输出的S＝()
A.26
B.44
C.68
D.100
[解析]第一次运行，n＝1，a＝n2－1
2
＝0，S＝0＋0＝0，不符合n≥m，继续运
行.
第二次运行，n＝2，a＝n2
2
＝2，S＝0＋2＝2，不符合n≥m，继续运行，
第三次运行，n ＝3，a ＝n 2－1
2＝4，S ＝2＋4＝6，不符合n ≥m ，继续运行， 第四次运行，n ＝4，a ＝n 2
2＝8，S ＝6＋8＝14，不符合n ≥m ，继续运行， 第五次运行，n ＝5，a ＝n 2－1
2＝12，S ＝14＋12＝26，不符合n ≥m ，继续运行， 第六次运行，n ＝6，a ＝n 2
2＝18，S ＝26＋18＝44，符合n ≥m ，输出S ＝44. [答案] B
11.已知双曲线E ：x 24－y 2
2＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐
标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，－1，则l 的方程为( )
A.4x ＋y －1＝0
B.2x ＋y ＝0
C.2x ＋8y ＋7＝0
D.x ＋4y ＋3＝0
[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214－y 212＝1，且x 224－y 22
2＝1，相减得x 2
1－x 2
24＝
y 21－y 2
2
2，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2.
又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，－1，
因此x 1＋x 2＝2×1
2＝1，y 1＋y 2＝(－1)×2＝－2，
则y 1－y 2x 1－x 2＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即
2x ＋8y ＋7＝0. [答案] C
12.定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1>0，f (1)＝6，则不等式f (lg x )<1
lg x ＋5的解集为( ) A.(10，10) B.(0，10) C.(10，＋∞)
D.(1，10)
[解析] 设g (x )＝f (x )－1x －5，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x 2＝x 2
f ′（x ）＋1
x 2
>0，故函数g (x )在
(0，＋∞)上单调递增，
又g (1)＝0，故g (x )<0的解集为(0，1)，即f (x )<1
x ＋5的解集为(0，1). 由0<lg x <1，得1<x <10，则所求不等式的解集为(1，10). [答案] D
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的[答案]填写在各小题的横线上.)
13.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，
2x ＋y －4≥0，x ≥0，
则z ＝x ＋2y 的最小值为________.
[解析] 由题意可得可行域为如图所示(含边界)的阴影部分，z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋1
2z ，则在点A 处取得最小值，联立
⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， ∴A (1，2).代入z ＝x ＋2y 得最小值5. [答案] 5
14.若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫
55x 2＋1x 6
的展开式中的常数项为m ，则⎠⎛1
m x 2d x ＝________.
[解析] 依题意m ＝T 5＝C 46
⎝ ⎛⎭
⎪⎫552
＝3. 则⎠⎛1
m x 2d x ＝
⎠⎛1
3x 2d x ＝13x 3⎪⎪
⎪31＝263.
[答案] 26
3
15.已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若S △AOB ＝23，则双曲线的离心率e ＝________.
[解析] 双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，当x ＝－1时，y ＝±b
a ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，
b a ，B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，－b a ，所以S △AOB ＝12×2×b a ×1＝23，即b a ＝2 3.所以b 2a 2＝12，所以e ＝1＋b 2
a 2＝13. [答案]
13
16.若函数y ＝f (x )满足：对于y ＝f (x )图象上任意一点P ，在其图象上总存在点P ′，使得OP →·OP →′＝0成立，称函数y ＝f (x )是“特殊对点函数”.给出下列五个函数： ①y ＝x －
1；②y ＝e x －2(其中e 为自然对数的底数)；
③y ＝ln x ；④y ＝1－x 2.
其中是“特殊对点函数”的是________(写出所有正确的序号).
[解析] 设点P (x 1，f (x 1))，点P ′(x 2，f (x 2))，由OP →·OP ′→＝0，得x 1x 2＋f (x 1)f (x 2)＝0，即OP
→⊥OP →′. 对于①y ＝x －1.当取点P (1，1)时，满足OP →⊥OP →′的点P ′不在y ＝x －1上，故①y ＝
x －1不是“特殊对点函数”，如图(1)所示；
对于②y ＝e x －2.作出函数y ＝e x －2的图象.由图象知，满足OP →⊥OP →′的点P ′(x 2，
f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则②是“特殊对点函数”，如图(2)所示；
(1)(2) (3)(4)
对于③y＝ln x.当取点P(1，0)时，满足OP→⊥OP→′的点P′不在y＝ln x上，故③y＝ln x不是“特殊对点函数”，如图(3)所示；
对于④y＝1－x2.作出函数y＝1－x2的图象，由图象知，满足OP→⊥OP→′的点P′(x2，f(x2))都在y＝f(x)图象上，则④是“特殊对点函数”，如图(4)所示.
[答案]②④。