2019届湖南长沙市第一中学高三月考试题(三)数学(文)试题(解析版)

2019届湖南长沙市第一中学高三月考试题（三）数学（文）
试题
一、单选题
1．集合2
{|0}{|2}A x x a B x x =-≤=<，，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,4]-∞
B ．(,4)-∞
C ．[0,4]
D ．(0,4)
【答案】B
【解析】当0a <时，集合A =∅，满足题意；当0a ≥时，[]A a a =-，，若A B ⊆，
则2a <，∴0<4a ≤，所以(4)a ∈-∞，
，故选B ． 2．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )
A ．x x <甲乙，σσ<甲乙
B ．x x <甲乙，σσ>甲乙
C ．x x >甲乙，σσ<甲乙
D ．x x >甲乙，σσ>甲乙
【答案】C
【解析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙. 【详解】
由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.故选. 【点睛】
本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.
3．若实数a 满足1||2i
ai
+=（i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1 B ．±1
C ．2-
D ．2
【答案】B
【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的模公式计算得答案． 【详解】 因为
21(1)111
i i i i i ai ai a a a +-+-===--， 所以2211111
|
|||()()2i i ai a a a a
+=-=+-=， 解得1a =±． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 4．如图，AB 为圆O 的一条弦，且AB 4=，则·OA AB =u u u v u u u v
A ．4
B ．-4
C ．8
D ．-8
【答案】D
【解析】分析：设AB 的中点为M ，连接OM ，运用圆的垂径定理，可得OM ⊥AB ，运用向量的数量积的定义和解直角三角形的知识，即可得到． 详解：设AB 的中点为M ，连接OM ，则OM ⊥AB ，
则·OA AB u u u v u u u v =2AM u u u u r •OA u u u v
=2|AM u u u u r |•|OA u u u v |•cos ()OAB π∠-=-2×2•|AO u u u r
|•cos OAB ∠ =-4|AM u u u u r
|=-8． 故选D ．
点睛：平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅v v
v v ；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+v
v ；三是利用数量积的几何意义.
进行化简.
5．已知椭圆()22
21016x y m m
+=>的上焦点为()10,3F ，则m =（ ）
A ．3
B
C
D ．5
【答案】D
【解析】由题可得出,b c ，利用222a b c =+，可求出m . 【详解】
由题意得：椭圆焦点在y 轴上，则2
2
2
,16,3a m b c ===，
由于222a b c =+，则291625m =+=， 因为0m >，所以5m =， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查椭圆的简单几何性质，运用了椭圆中222a b c =+，属于基础题.
6．已知m ，n ，m n +成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则m n -的值为（ ） A ．2- B ．
1
2
C ．2
D ．12
-
【答案】A
【解析】根据题意，结合等差中项与等比中项，列方程组可解得m ，n 的值，即可求出m n -． 【详解】
根据题意，若m 、n 、m n +成等差数列，则2()n m m n =++，则有2n m =， 若m 、n 、mn 成等比数列，则2n m mn =⨯，则2n m =， 解可得2m =，4n =， 所以2m n -=-. 故选：A. 【点睛】
本题考查等差中项和等比中项的性质，关键是求出m 和n 的关系．
7．如图，矩形ABCD 内的黑色图形来自中国清朝时期的天平的铜砝码，其中6AB =，
4BC =，E ，F 是线段AB 的两个三等分点，G ，H 是线段CD 的两个三等分点（图
中圆弧近似地看作半圆）.在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A ．
412
π+ B ．
2
6
π+ C ．
38
24
π+ D ．
58
24
π+ 【答案】C
【解析】根据题意，判断概率类型，分别算出正方形面积和阴影面积，再利用几何概型公式加以计算，即可得到所求概率． 【详解】
由6AB =，4BC =可得矩形的面积24S =，
E Q ，
F 是线段AB 的两个三等分点，
且G ，H 是线段CD 的两个三等分点（图中圆弧近似地看作半圆）， 2CH EF ∴==，
()
22242138S πππ=⨯+⨯-⨯=+黑色，所以38
24
P π+=
. 故在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是38
24
π+， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了概率，通过面积型几何概型，利用面积比得出概率，考查了数据处理的能力和应用意识． 8．函数()2
1ex
f x x
=
-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】C
【解析】观察图象，通过判断零点个数和代入特殊点排除选项，即可选出答案
由图象可知，令()0f x =，则0ex =，得出0x =，则只有一个零点，排除B 选项；
令12x =
时，有112
01214e
f ⎛⎫=
> ⎪⎝⎭-，排除A 选项； 令2x =时，有()22014
e
f =
<-，排除D 选项； 故选：C. 【点睛】
本题考查了函数图象的识别，一般图象识别的题目中，利用奇偶性、单调性、判断零点个数以及带入特殊点等排除选项，是基础题．
9．如图，BC 为圆O 的直径，D 为圆周上异于B 、C 的一点，AB 垂直于圆O 所在的平面，BE AC ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F .给出以下命题：
①BF DE ⊥；②BE CD ⊥；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面BEF ⊥平面ACD . 其中正确命题的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】由题意得，根据已知条件AB ⊥平面BCD 和CD BD ⊥，再利用线面垂直的判定和性质以及面面垂直的判定，即可判断出来. 【详解】
由题可知，AB ⊥平面BCD ，则有AB CD ⊥，且CD BD ⊥，
可得CD ⊥平面ABD ，CD ⊂平面ACD ,得：平面ABD ⊥平面ACD ，故③正确； 由CD ⊥平面ABD ，得CD BF ⊥，又BF AD ⊥，
得BF ⊥平面ACD ，DE ⊂平面ACD ,所以BF DE ⊥，故①正确；
由BF ⊥平面ACD ，BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面ACD ，故④正确； 不正确的是②BE CD ⊥， 故选：C. 【点睛】
本题综合考查了空间中线面垂直和面面垂直的判定定理和性质，还涉及圆的性质等基础
n ，则输入整数p的最小值为（）10．执行如图所示的程序框图，若输出的是6
A．15 B．16 C．31 D．32
【答案】B
【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序
…时的n值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程的作用是利用循环计算累加器S p
中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
【详解】
列表分析如下：
是否继续循环S n
循环前0 1
第一圈是 1 2
第二圈是 3 3
第三圈是7 4
第四圈是15 5
第五圈是31 6
第六圈否
故当S值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故整数p的最小值为16.
故选：B.
【点睛】
本题考查程序框图，程序题一般常考的有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程
11．设函数()2
2x x
f x x x a e
=--
+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(0,1]e
+ B ．1(0,]e e
+
C ．1[,)e e
++∞
D ．1(,1]e
-∞+
【答案】D
【解析】由题意得，构造新函数，通过利用函数的单调性，可知()f x 在1x =处取最小值，函数()f x 至少存在一个零点，只需()10f ≤即可，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】
依题意得，函数()f x 至少存在一个零点，且()2
2x x
f x x x a e
=--
+， 可构造函数2
2y x x =-和x
x y e =-
， 因为2
2y x x =-，开口向上，对称轴为1x =，所以(),1-∞为单调递减，()1,+∞为单
调递增； 而x x y e =-，则1
x
x y e
-'=，由于0x e >，所以(),1-∞为单调递减，()1,+∞为单调递增；
可知函数2
2y x x =-及x x
y e
=-
均在1x =处取最小值，所以()f x 在1x =处取最小值，
又因为函数()f x 至少存在一个零点，只需()10f ≤即可，即：()1
1120f a e
=--+≤ 解得：11a e
≤+. 故选：D. 【点睛】
本题考查了函数的图象与性质的应用问题，通过构造新函数以及利用二次函数性质和导数求出函数的单调性进而求出函数最小值，结合零点求出参数范围．
12．已知点F 是双曲线2
2
:18
y C x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，(A ，
当APF ∆周长最小时，则与双曲线共焦点，且过点P 的椭圆的离心率为（ ）
A ．
57
B 1
C ．
514
D ．2
【解析】由题可知，1,a b ==APF ∆周长最小，则||||PA PF +最小，即1||||2PA PF a ++最小，即1,,P A F 三点共线，再结合焦点三角形利用余弦定理，求出
PA
和1PF ，即可求出离心率. 【详解】
设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的定义可知1||2||PF a PF =+， 因此APF ∆的周长为：
11||||||||2||||2||PA PF AF PA a PF AF PA PF a AF ++=+++=+++，
由于2||a AF +是定值，要使1||||PA PF +最小，即1,,P A F 三点共线. 此时，设1||PF n =，||PF m =，160PF F ∠=︒，
在1PF F ∆中，16F F =，2m n -=，由余弦定理可得22366m n n =+-，
联立有265
m =，16
5n =，
椭圆的离心率为265
27
c c e a a m n ==
==+. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了双曲线的离心率，利用双曲线的定义和焦点三角形的性质，结合余弦定理，属中档题．
二、填空题
13．函数()|1|x
f x e x =+-（其中e 为自然对数的底数）的图象在点()0,2处的切线
方程为___________. 【答案】2y =
【解析】依题意，先求出函数的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，运用直线的点斜式方程，计算即可得到所求切线的方程． 【详解】
依题意得，()()
()1,11,1x x e x x f x e x x ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩
，
所以，点()0,2在()()1,1x
f x e x x =-+<图象上，
则()1x
f x e '=-，
所以()00f '=，即切线斜率为0，
所以，()f x 在点()0,2处的切线方程为2y =， 故答案为：2y =. 【点睛】
本题考查运用导数的几何意义求切线的方程，正确求导是解题的关键． 14．数列{}n a 的通项是2
cos
12
n n a n π
=+，其前n 项和记为n S ，则20S =_________. 【答案】240
【解析】先根据余弦函数值化简，再分组求和得结果. 【详解】
2222201(21)1(41)1(61)(201)S =+-++++++-++++L
2222222222220(246820)20(24)(68)(1920)
=+-+-+-+=+-++-+++-+L L
10(220)
202(24681820)20+2240.2
+=++++++=⨯
= 【点睛】
本题采用分组转化法求和，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如,2,n n
n n a n ⎧=⎨
⎩为奇数
为偶数
）及符号型（如2(1)n n a n =- ）
15．已知点,,,,P A B C D 是球O 表面上的点，球O
的体积为，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，则四棱锥P ABCD -的表面积为_________.
【答案】8+【解析】
PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，得出O 为PC 的中点，从而得出OM ⊥平面ABCD ，再根据条件求出
PA ，便可以求出四棱锥P ABCD -各个面的面积，从而得出表面积.
【详解】
由球的体积为，
设AC 与BD 交点为M ，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， 四边形ABCD 是边长为2的正方形，则球心O 为PC 的中点， 得3OC =
，且OM
⊥平面ABCD ，
因为四边形ABCD 是边长为2的正方形，则2MC =
，则1OM =，故2PA =，
则表面积为11
22222222284222
⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+.
故答案为：842+【点睛】
本题考查四棱锥的表面积，其中运用到直线与平面垂直的性质以及外接球的应用，同时考查对几何体的理解辨析能力．
16．已知实数,x y 满足00220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪++⎩
…„„，若10ax y a -+-≥恒成立，则实数a 的取值
范围是____________. 【答案】(,1]-∞-
【解析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，推出a 的表达式，利用不等式的几何意义，求解范围即可． 【详解】
实数,x y 满足00220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪++⎩
…„„的可行域如图：可知1x ≤-，
由10ax y a -+-≥，可得：1
1
y a x -≤-， 其中
1
1
y x --的几何意义是可行域内的点与()1,1D 连线的斜率， 由图形可知连线的斜率的最大值为011
112
BD k -=
=--， 最小值大于与直线0x y +=平行时的斜率，即11
112
y x --<
≤-. 可得(,1]a ∈-∞-.
故答案为：(,1]-∞-. 【点睛】
本题考查线性规划的应用，化简目标函数判断目标函数的几何意义是解题的关键．
三、解答题
17．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C =++. （Ⅰ）求A ∠的大小；
（Ⅱ）求πsin sin(2)6
B C +-的最大值.
【答案】(1)2π
3A =
;(2)98
. 【解析】（Ⅰ）根据正弦定理和余弦定理，求得A ∠的大小． （Ⅱ）根据三角形内角和为π及2π3A =
，将表达式πsin sin 26B C ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭转化为角B 的
表达式，进而转化为关于sin B 的二次函数表达式，利用函数单调性、对称性求得最大值． 【详解】
（Ⅰ）因为222sin sin sin sin sin A B C B C =++，
由正弦定理，得2
2
2
a b c bc =++，所以2221
cos 22
b c a A bc +-==-，
又因为()0,πA ∈， 所以2π
3
A =
. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，ππ3B C A +=-=， 所以π
3
C B =-， 所以πππsin sin 2sin sin 263
6B C B B ⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫+-
=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦ 2πsin sin 2sin cos22sin sin 12B B B B B B ⎛⎫
=+-=+=-++ ⎪⎝⎭
2
192sin 48B ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭， 因为π03B <<，所以30sin B <<， 所以当1sin 4B =时，sin sin 26B C π⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭取得最大值98.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，三角函数诱导公式、和差公式的简单化简，二次函数的最值等，涉及知识点多，综合性较强，属于中档题．
18．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为1，O 为正方形ABCD 的中心.
（1）求证：1//OD 平面11A C B ；
（2）若异面直线1OD 与1C B 所成的角的正弦值为6
6
，求直线1OD 到平面11A C B 的距离.
【答案】（1）证明见解析（2）
105
【解析】（1）通过证明四边形一组对边平行且相等，得出四边形是平行四边形，从而得出另一组对边平行，得出线//线，即可证出线//面；
（2）法一：通过已知异面直线1OD 与1C B 6
高12BB =1）得出1//OD 平面11A C B ，将直线1OD 到平面11A C B 的距离转化成点到面的距离，即点1B 到平面11A C B 的距离，再利用线面垂直的判定和性质，证出
1B H ⊥平面11BA C ，所以在直角三角形11O BB 中，求出1B H 的值，即可得出所求答案；
法二：直线1OD 到平面11A C B 的距离转化成点到面的距离，即点1B 到平面11A C B 的距离，再利用三棱锥等体积法求点到面的距离，即111111B A B C B A BC V V --=，化简便可求出结果.
【详解】
（1）连接BD ，AC 交于点O ，连接11B D ，交11A C 于点1O ，连接1BO ，
正四棱柱中，11//BD B D ，且11BD B D =，又因为点O 、1O 分别为BD 、11B D 的中点， 所以11//BO D O ，且11BO D O =，
则四边形11BOD O 为平行四边形，故11//OD BO ， 又1OD 不在平面11A C B 内，1BO 在平面11A C B 内， 故1//OD 平面11A C B .
（2）由（1），11//OD BO ，故异面直线1OD 与1C B 所成的角等于11O BC ∠， 因为正四棱柱中，侧棱1BB ⊥底面1111D C B A ，则111BB A C ⊥，
又1111AC B D ⊥，则11A C ⊥平面11B D DB ，则111AC O B ⊥.
因正方形ABCD 的边长为1，则
1111112
62sin 6
O C O BC BC BC ∠===
. 得13BC =12BB =因为1//OD 平面11A C B ，则直线1OD 到平面11A C B 的距离等于点1D 到平面11A C B 的距离，
又1O 为11B D 的中点，则点1D 到平面11A C B 的距离等于点1B 到平面11A C B 的距离， 在三角形11O BB 内作11B H BO ⊥，因为11A C ⊥平面11B D DB ， 则平面11BAC ⊥平面11B D DB ，故1B H ⊥平面11BA C . 直角三角形11O BB 中，112O B =
，12BB =110
O B =，
则122
10210
B H ⋅=
=. 则直线1OD
到平面11A C B 的距离为10
5
. 方法二（等体积法）：
因为1//OD 平面11A C B ，则直线1OD 到平面11A C B 的距离等于点1D 到平面的11A C B 的距离，
又1O 为11B D 的中点，则点1D 到平面11A C B 的距离等于点1B 到平面11A C B 的距离， 设点1B 到平面11A C B 的距离为d ，由111111B A B C B A BC V V --=，
1111111133A B A BC C S BB S d ∆∆⋅=⋅，且11112A B C S ∆=，11
52
A BC S ∆=，12B
B =.
求得10
5d =.则直线1OD 到平面11A C B 的距离为105
. 【点睛】
本题主要考查线面平行的判定和点到面的距离，其中涉及到平行四边形的性质和利用线面垂直的判定和性质、等体积法求点到面的距离，还运用了三棱锥的体积公式1
3
V Sh =
. 19．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000
元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．
附：相关系数公式()()
n
i
i
x x y y r --=
∑0.55≈，
0.95≈．
【答案】(1)
0.75r >
，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．
(2) 4600元．
【解析】试题分析：(1)由折线图，可得,x y ，依次算得()5
2
1i i x x =-∑，()5
2
1
i j y y =-∑，
()()5
1
i
i
i x x y y =--∑，可求得r 0.950.75=
≈>, 所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)分别计算安装1台，2台时所获周利润值（期望值），数值大的为所选择．
试题解析：（1）由已知数据可得2456855x ++++
=
=，3444
5
45
y
++++==，
因为
()()()()5
1
31000316i
i
i x x y y =--=-
⨯-++++⨯
=∑，
=
=
=
=
所以相关系数(
)()
n
x x y y r --=
0.95=
=≈，
因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．
（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．
①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元； ②安装2台光照控制仪的情形：
当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润300010002000Y =-=元， 当3070X <≤时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润230006000Y =⨯=元， 故Y 的分布列为：
所以()10000.250000.790000.14600E Y =⨯+⨯+⨯=元．
综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪． 【点睛】
本题考查了折线图识图，虽然简单，但在学习过程容易忽略．第（1）主要考查数据的运算能力，较简单．第（2）是考查学生利用统计知识解决实际问题，体现了数学知识的应用性，需要注意的是可以选择安装一台，也可以安装两台，而两台时是一个期望值．
20．已知抛物线()2
:20C y px p =>，过点()20，
的直线l 交C 于A ，B 两点，且满足以线段AB 为直径的圆，圆心为M ，且过坐标原点O . （1）求抛物线C 的方程；
（2）若圆M 过点()
4,2P -，求直线l 的方程和圆M 的方程.
【答案】（1）2
2y x =（2）当1m =时，:20l x y --=，2
2
:(3)(1)10M x y -+-=，
当12m =-时，:240l x y +-=，22
9185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++=
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 【解析】（1）依题意得，直线l 过点()20，
，可设:2l x my =+，与抛物线联立，写出韦达定理，再根据圆的性质得出0OA OB ⋅=u u u r u u u r
，代数化简求出p ，即可得出抛物线的方程；
（2）因为圆M 的直径为AB ，且过点()4,2P -，由圆的性质得出0PA PB ⋅=u u u r u u u r
，结合
（1）中的韦达定理，代数化简求得m 的值，因此得出直线l 的方程和圆M 的方程.
【详解】
（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，:2l x my =+， 联立方程有2
22x my y px
=+⎧⎨
=⎩，2
240y pmy p --=， 124y y p =-，222
121222
16444y y p x x p p
===， 又以线段AB 为直径的圆，圆心为M ，且过坐标原点O ，
有0OA OB ⋅=u u u r u u u r
，12120x x y y +=，有1p =，即抛物线C 的方程为2
2y x =.
（2）由（1）可得122y y m +=，()2
1212424x x m y y m +=++=+，()
22,M m m +，
由圆M 过点()4,2P -，可得0PA PB ⋅=u u u r u u u r
， 故()()()()121244220x x y y --+++=，
故（1）可得124x x =，124y y =-，可得2210m m --=， 解得1m =或者1
2
m =-
， 当1m =时，:20l x y --=，2
2
:(3)(1)10M x y -+-=，
当12m =-时，:240l x y +-=，22
9185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，联立方程并写出韦达定理，求抛物线的方程，还结合运用圆的性质和向量垂直，以及直线方程和圆的标准方程. 21．已知函数22111()ln (1),()222f x x x x a x a x a ⎛
⎫⎛⎫
=-
++-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
R . （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 在[]
1,x e ∈（e 为自然对数的底数）上的最大值为1-，试求实数a 的值.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）ln 2a =
【解析】（1）先求定义域，再求导，令()0f x '=，求出极值点，分类讨论a ，分别求出单调增减区间；
（2）由（1）得出三种情况下，()f x 在[]
1,x e ∈的单调性，分别求出()f x 的最大值，便可求出实数a 的值. 【详解】
（1）()()()1ln f x x a x '=--，（0x >） 令()0f x '=，解得1x =或a x e =，
①当0a <时，()f x 在区间()
,1a
e 单调递增；在区间(
)0,a
e
，()1,+∞单调递减；
②当0a =时，()f x 在区间()0,∞+单调递减； ③当0a >时，()f x 在区间(
)1,a
e
单调递增；在区间()0,1，(),a
e +∞单调递减；
（2）当0a ≤时，由（1）知()f x 在[]
1,x e ∈上单调递减， 则max 1()(1)(1)124a f x f a ==
+-+=-，解得1
2
a =（舍）； 当01a <<时，()1,a
e e ∈，由（1）知()
f x 在(
)1,a
x e ∈上单调递增，在(),a
e e 上单
调递减； 则()(
)2max 114a
a a f x f e
e e ==-=-，解得ln 2a =，满足题意；
当1a ≥时，()f x 在[]
1,x e ∈上单调递增， 则22max 11
()()142
f x f e e a e a e ==-
+⋅-⋅=-， 解得2242
1242e e a e e e
-+==<-（舍）
， 综上所述：当ln 2a =，满足题意. 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及含参数的函数单调性时，需要对参数进行分类讨论，还考查通过单调性求函数的最值，需要学生具备的分类讨论思想.
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数）.以原点
O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是
sin 4πρθ⎛
⎫
⎪⎭
=⎝
+
（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线1C 上的动点，过P 点且与x 垂直的直线交2C 于点A ，求||PA 的最小值，并求此时点P 的直角坐标.
【答案】（1）曲线1C 的普通方程为：2
213
x y +=；曲线2C 的直角坐标方程为：
80x y +-=（2）||PA 的最小值为6，此时点P 的坐标为31,22⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】（1）利用消参法，消去参数α，可把曲线1C 的参数方程化为普通方程；通过极坐标和直角坐标的互化公式cos ,sin x y ρθθ==，可将曲线2C 的极坐标方程化成直角坐标方程；
（2）点P 是曲线1C 上动点，由2C 的参数方程可表示出点P 坐标，运用点到直线距离公式求P 到直线2C 的距离，再运用辅助角公式化简即可得出答案. 【详解】
（1
）由曲线1:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩
，可得：cos sin y
αα⎧
=
⎪⎨⎪=⎩
两式两边平方相加可得：曲线1C 的普通方程为：2
213
x y +=.
由曲线2:sin 4C πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
(sin cos )ρθθ+=， 即()sin cos 8ρθθ+=，所以曲线2C 的直角坐标方程为：80x y +-=. （2）由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点，
椭圆上的点)
,sin P
αα到直线80x y +-=的距离为
d =
=， 当sin 13πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
时，d
的最小值为 此时||PA 的最小值为6，此时点P 的坐标为31,22⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查利用消去参数的方法将参数方程化为普通方程，利用关系式
222cos ,sin tan x y x y y x ρρθρθθ
⎧⎧+==⎪⎪
⎨
⎨==⎪⎪⎩⎩
等可以将极坐标方程与直角坐标方程互化，利用点到直线距离的公式和三角恒等变换的辅助角公式求距离最值问题. 23．已知()|1||3|(0)f x ax ax a a =-+->. （1）当1a =时，求不等式()5f x ³的解集；
（2）若不等式()5f x ≤的解集不为空集，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）91|22x x x ⎧⎫
≥
≤-⎨⎬⎩⎭
或（2）02a <≤ 【解析】（1）根据绝对值不等式，分类讨论去绝对值，得出分段函数，解不等式即可得解集；
（2）不等式()5f x ≤的解集不为空集，利用三角不等式求出()f x 的最小值，即可求实数a 的取值范围. 【详解】
（1）当1a =时，24(3)()132(13)42(1)x x f x x x x x x -⎧⎪
=-+-=<⎨⎪-<⎩
…
„，
易得()5f x ≥解集为91|22x x x ⎧⎫≥
≤-⎨⎬⎩⎭
或. （2）()|1||3||1(3)||31|f x ax ax a ax ax a a =-+----=-…. 故()f x 的最小值为|31|a -.
∵()5f x ≤解集不为空集，∴|31|5a -≤， ∵0a >，∴02a <≤. 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的解法，同时考查运用绝对值三角不等式求最值，属于中档题.。