排列数课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

(2)把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列
方有法
A
n－k＋1 n－k＋1
种；
(3)“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方
法有
A
k k
种；
(4)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有
An－k＋1 n－k＋1
·A
k k
种．
探究3 不相邻问题
例5 已知A，B，C，D，E五名同学，按下列要求进行排列，求 所有满足条件的排列方法数． (1)把5名同学排成一排且A，B不相邻；
方法二：先不考虑A，B不相邻这个限制条件，把5名同学全排 列有A55种排列方法，其中A，B相邻的排列方法有 A22 A44 种，故满足 条件的排列方法有A55 －A22 A44 ＝72(种).
(2)把5名同学排成一排且A，B都不与C相邻；
(2)第一步，先排不受限制的同学D，E，其排列方法有A22 种．第二 步，由于已经排好的D，E之间(包括两端)形成了3个空，把有限制条件
（2n）！ (2) 2n·n！
＝1·3·5·…·(2n－1).
（2n）！ ((12))A2mnn··nA！nn－－mm
＝＝1（·3n·5－n·！…m·）(！2n－·(1n－). m)！＝n！＝Ann
，
·(n－m)！＝n！＝Ann ，
故原等式成立．
（2n）！ (2) 2n·n！
＝ 2n·（2n－1）·（2n－2）·…·4·3·2·1 2n·n！
空C 空 D 空 E 空
(1)方法一：第一步，先排不受限制的同学C，D，E，其排列方法有A33
种．第二步，由于已经排好的C，D，E间(包括两端)形成了4个空，把 有限制条件(不相邻)的同学A，B插到这4个空中，其排列方法有A24 种．由分步乘法计数原理知，满足条件的排列方法有A33 ·A24＝72(种).
∴x<8或x>13.又2<x≤9，x1∈3)N>0*，，∴2<x<8，x∈N*.故x＝3，
4，5，6，7.
题型三 排列的应用 探究1 特殊元素或特殊位置问题
例3 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站右端，也不站左端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端．
1.18×17×16×…×9×8＝(
A．A918
B．A1108
C．A1118
D．A1128
因为18×17×16×…×9×8是从 ) 18开始，表示11个数字的乘积的
一个式子，
所以 18×17×16×…×9×8＝A1118 .
2.已知 A2n＋1 －A2n ＝10，则 n 的值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7
方法仍然照用,但数字将更大,写起来更“啰嗦”.
研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写 出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出 所有排列的个数呢？接下来我们将来共同探讨这个问题：排列数及其 公式．
1.排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号Anm表示。
全排列的定义： n个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n个不同元素的一个全排列.
Ann =n(n-1)(n-2)…3·2·1
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示.
Ann =n(n-1)(n-2)…3·2·1=n!
排列数公式（2）：
Anm
n! (n m)!
(m,n∈N*,m≤n)
为了使当m＝n时上面的公式也成立，规定：0!=1.
(不相邻)的同学A，C插到这3个空中，共有排列方法A23种．第三步，由
于已经排好的A，C，D，E之间(包括两端)形成了5个空，但由于B不能 与C相邻，所以把B插入已经排好的A，C，D，E中时只有3种选择，其 排列方法有 A13种．由分步乘法计数原理知，符合条件的排列方法有
A22 A23 A13 ＝36(种).
－A22
A45
＝480(种).
方法二(直接法)：先排A，B，C，D，E，再将剩余的空位插到中间．① 当A，B不相邻时，由(1)知，其排列方法有72种，然后把剩余的空位插入到 已经排好的排列中，有6种插入的方法，由分步乘法计数原理知，其排列方
＝ 6A49 40A49
பைடு நூலகம்
＝3 20
.
9！＋9！ ＝ 4！ 5！
10！－10！
＝ 5×9！＋9！ 5×10！－10！
＝ 6×9！ 4×10！
＝3 20
.
4！ 5！
题型二 与排列数有关的证明及解方例程1(或求不证等：式(1))Ann ＝Amn ·Ann－－mm ；
例1
求证：(1)Ann ＝Amn ·Ann－－mm ；
不能插在A，B之间，其排列方法有A15 种；第三步，根据分步乘法
计数原理知，符合题意的排列方法有 48·A15 ＝240(种).
解决“相邻”问题用“捆绑法”．将n个不同的元素排成一排，
其中k个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数，具体求解
步骤如下：
(1)先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；
方法三(间接法)：在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位 置全排列，有A66种站法；但其中包含甲在左端或右端的情 况，因此减去甲站左端或右端的排列数2A55 ，于是共有A66 －2 A55 ＝480种站法．
(2)方法一(元素分析法)：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端， 有A22 种站法；再让其他4个人在中间4个位置全排列，有 A44种站法， 根据分步乘法计数原理，共 A22 ·A44＝48种站法．
(1)方法一(位置分析法)：因为甲不站左右两端，故先从甲以外的5个人 中任选两人站在左右两端，有 A25种站法；再让剩下的4个人站在中间 的四个位置上，有A44种站法，由分步乘法计数原理知，共有 A25 ·A44 ＝480种站法．
方法二(元素分析法)：因为甲不能站左右两端，故先让甲排在除左右 两端之外的任一位置上，有A14 种站法；再让余下的5个人站在其他5 个位置上，有A55 种站法，由分步乘法计数原理知，共有 A14 ·A55 ＝480 种站法．
特殊元素或特殊位置问题一般从以下三种思路考虑： (1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素； (2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置； (3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数， 再减去不符合要求的排列数．
当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分 步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决．
“排列数”与“排列”的区别
“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排
列的个数”，它是一个正整数；“排列”是指“从n个不同元素中取出
m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是指具体的排法．
排列数的计算：
思考1中是求从4个不同的元素中取出2个元素的排列数，记为 A42，已 经算得=4×3=12， 思考2中是求从5个不同的元素中取出2个元素的排列数，记为 A52，已 经算得=5×4=20，
方法二(直接法)：从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第1类，
甲站右端有A55 种站法；第2类，甲站在中间4个位置之一，而乙不
站在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个人，有 A14 ·A14 ·A44 种站
法，故共有 A55＋A14 ·A14 ·A44 ＝504种站法．
对于“人站队”问题，由于有顺序，所以是排列问题，又由于安 排甲、乙时有限制，所以这又是有限制条件的排列问题，应先考虑特 殊元素甲、乙或特殊位置左、右两端，再考虑其他的情况．
探究点1 排列数 思考1：在A、B、C、D四位候选人中选举正、副班长各一人共有几种 不同的选法？写出所有可能的选举结果．
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC 共12种 思考2：写出从5个元素a,b,c,d,e中任取2个元素的所有排列． 解决办法是先画“树形图”,再由此写出所有的排列,共20个. 若改为:写出从5个元素a,b,c,d,e中任取3个元素的所有排列,结果如何呢？
(3)把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A，B不 相邻．
(3)方法一(间接法)：先不考虑A，B不相邻这个限制条件，把5名同
学安排到6个空位中的5个空位上，其排列方法有
A
5 6
种；
把5名同学安排到6个空位中的5个空位上且A，B相邻的排列方法有
A22
A
4 5
种，所以满足条件的排列方法有 A56
(2)把这5名同学安排到5个空位上，且A，B必须相邻，C，D，E也 必须相邻；
(2)第一步，把A，B这2名同学看作一个整体，把C，D，E这3名同 学看成一个整体，故这两个整体排成一列的方法有A22 种；第二步， 对“捆绑到一起”的A，B这2个元素进行内部排列，即“松绑”，其 排列方法有 A22 种，对“捆绑到一起”的C，D，E这3个元素进行内 部排列，即“松绑”，其排列方法有A33 种；第三步，根据分步乘法 计数原理知，符合题意的排列方法有 A22 ·A22 ·A33 ＝24(种).
从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少?
对An2 假定有排好顺序的两个空位置
第1位 第2位
由乘法原理得
An2 n(n 1)
n种
n-1种
对Anm 假定有排好顺序的m个空位置
第1位 第2位 第3位
第m位
n种 (n-1)种 (n-2)种
(n-m+1)种
2.排列数公式（1）：
Anm =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m,n∈N*,m≤n)
(3)把这5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上， 且A，B必须相邻．
空 A B 空C 空 D 空 E 空
(3)第一步，先看成A，B，C，D，E这5名同学带着座位排列，而 且满足A，B相邻的要求，由(1)可知，其排列方法有48种；第二步， 把剩下的1个空位往已经坐好的5名同学中间(包括两端)插空，且
A2n＋1 －A2n ＝n(n＋1)－n(n－1)＝10， 化简得2n＝10，所以n＝5
3.计算：AA61590
＋A49 －A510
＝_____＝__1_0．×99××88××77××66××55＋－910××8×9×7×8×67×6
＝3 20
.
A59 ＋A49 A610 －A510
＝ 5A49 ＋A49 50A49 －10A49
＝ 2n·n·（n－1）·…·2·1·（2n－1）·（2n－3）·…·3·1 2n·n！
＝n！·1·3·…·（2nn－！3）·（2n－1） ＝1·3·5·…·(2n－1)，
例 2 (1)解方程：3Ax8 ＝4Ax9－1
(2)解不等式：Ax9 >6Ax9－2
(1)由 3Ax8
＝4Ax9－1
，得 3×8！
新课程标准解读
核心素养
1.能利用计数原理推导排列数公式. 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排 列数公式解决简单的实际问题.
1.数学抽象：排列数公式的推导. 2.数学运算：排列数公式的应用.
在上海交通大学建校120年周年之际，有 29位曾是交大学子的名人大家，要在庆 祝会上逐一介绍，那么这29位大家的排 列顺序有多少种？这样的排列顺序问题 能否用一个公式来表示呢？
（8－x）！
＝ 4×9！ （10－x）！
，
所以（38×－8！x）！ ＝（10－x）（4×99－×8x！）（8－x）！ .
化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
因为0<x≤8且0<x －1≤9，所以原方程 的解得x＝6.
9！ （9－x）！
6×9！ >（9－x＋2）！
，
其中2<x≤9，x∈N*， 即x2－21x＋104>0，整理得(x－8)(x－
方法二(位置分析法)：首先考虑两端两个位置，由甲、乙去站， 有A22 种站法；再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有 A44种 站法，根据分步乘法计数原理，共有A22 ·A44 ＝48种站法．
(3)方法一(间接法)：甲在左端的站法有A55 种，乙在右端的站 法有A55种，而甲在左端且乙在右端的站法有 A44种，故共有A66 －2 A55 + A44 ＝504种站法．
探究2 相邻问题 例4 已知A，B，C，D，E共5名同学，按下列要求排列，分别求出 满足条件的排列方法数． (1)把这5名同学安排到5个空位上，且A，B必须相邻；
(1)第一步，把A，B这2名同学看作一个整体，和C，D，E共四个
元素进行排列，其排列方法有A44种；第二步，对“捆绑到一起”的A，
B这2个元素进行内部排列，即“松绑”，其排列方法有A22 种；第三 步，根据分步乘法计数原理知，符合题意的排列方法有 A44 ·A22 ＝ 48(种).