初一几何平行线的性质及判定.

1
第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版
定 义
示例剖析
平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“∥”表示．
∥a b ，∥AB CD 等．
平行线的性质：
两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补． b
a 43
2
1
若∥a b ，则12∠=∠； 若∥a b ，则23∠=∠；
若∥a b ，则34180∠+∠=︒．
平行线的判定：
同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行． b
a 43
2
1
若12∠=∠，则∥a b ； 若23∠=∠，则∥a b ；
若34180∠+∠=︒，则∥a b ．
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(c )b a
A
过直线a 外一点A 做∥b a ，∥c a ，则b 与c 重合．
平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．
c b a
若∥，∥b a c a ，则∥b c ．
模块一 平行的定义、性质及判定
知识导航
1
平行的性质及判定
2
【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ）
A ．同位角相等
B ．内错角相等
C ．同旁内角互补
D ．以上都不对
⑵ 1∠和2∠是同旁内角，若145∠=︒，则2∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．135︒ C ．45︒或135︒ D. 不能确定
⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ）
A ．∵180A D ∠+∠=°，∴AD BC ∥
B ．∵180
C
D ∠+∠=°，∴AB CD ∥ C ．∵180A D ∠+∠=°，∴AB CD ∥ D ．∵180A C ∠+∠=°，∴AB CD ∥
(北京三帆中学期中)
⑷ 如图，直线a ∥b ，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A ．50°
B ．40°
C ．150°
D ．130°
(北京101中期中)
⑸ 如图，直线AB CD ∥，EF CD ⊥，F 为垂足，如果
20GEF ∠=°，则1∠的度数是（ ）
A ．20°
B ．60°
C ．70°
D ．30°
(北京八中期中)
⑹ 如图，直线a b ∥，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=°，则2∠的度数为______
21
b
a C
B
A
(北京八十中期中)
⑺ 如图，1∠和2∠互补，那么图中平行的直线有（ ）
A ．a b ∥
B ．c d ∥
C ．d e ∥
D ．c e ∥
夯实基础
D
C
B
A
2
1
e
d
c b
a
b
a 2
1
D
G
F
1E C
B A
3 第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版
(北京十三分期中)
⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①12∠=∠；②34∠=∠；③2490∠+∠=°；④45180∠+∠=°，其中正确的个数（ ）
1
2
34
5
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(北京十三分期中)
⑼ 如图，直线12l l ∥，AB CD ⊥，134∠=°，那么2∠的度数是 ．
21l 2
l 1D
C
B A
(北京一六一中期中)
⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果164∠=°，那么2∠等于 ．
21
(北京一六一中期中)
【解析】 ⑴D ； ⑵D ；⑶C ；⑷D ；⑸C ；⑹35°； ⑺D ；⑻D ；⑼56°； ⑽52°.
【例2】 ⑴ 如图，∥AB CD ,B D ∠=∠,请说明12∠=∠，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．
解：∵AB CD ∥，
∴180BAD D ∠+∠=°（ ）． ∵B D ∠=∠， ∴BAD ∠+ 180=°（等量代换）． ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴12∠=∠（ ）．
（北京市海淀区期末）
⑵ 填空，完成下列说理过程.
如图，DP 平分ADC ∠交AB 于点P ，90DPC ∠=︒，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由. 解：∵DP 平分ADC ∠，
∴∠3＝∠ （ ）
2
1
D C B
A P D C
B
A
4
3
2
1
4
∵APB ∠= °，且90DPC ∠=︒， ∴∠1＋∠2＝90°. 又∵∠1＋∠3＝90°，
∴∠2＝∠3. （ ） ∴∠2＝∠4.
（北京市朝阳区期末）
⑶ 如图,已知DE AC ∥，DF AB ∥，求A B C ∠+∠+∠度数．
4
32
1
F
E
D
C
B
A
解：∵DE AC ∥（ ），
∴C ∠= （ ）， 3∠= （ ） 又∵DF AB ∥（ ） ∴B ∠= （ ） A ∠= （ ） ∴3A ∠=∠（ ）
∴123A B C BDC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠= （ ）
【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°． 【解析】 ⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补；B ∠；∥AD BC ；两直线平行，内错角相等
⑵ 4，角平分线定义，180，同角的余角相等
⑶ 已知；1∠；两直线平行，同位角相等；4∠；两直线平行，内错角相等；已知；2∠；两直线平行，同位角相等；4∠；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义．
【例3】 ⑴ 如图，已知直线AB CD ∥， 115C ∠=°，25A ∠=°，则E ∠ 的度数为 度．
⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB AC ∥的 条件： .
⑶ 如图，点E 在AC 的延长线上，给出下列条件：
① 12∠=∠；② 34∠=∠；③ A DCE ∠=∠； ④ D DCE ∠=∠；⑤ 180A ABD ∠+∠=°； ⑥ 180A ACD ∠+∠=°；⑦ AB CD =.
能力提升
A
B
C D E
图3
E
D
C B A
F 43
21E
D
C
B A
5
第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版
能说明AC BD ∥的条件有 .
⑷ 如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ， 已知1260∠=∠=°，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ． 则3∠=（ ）
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．130°
【解析】 ⑴ ∵AB CD ∥，115C ∠=°（已知），
∴65BFC ∠=°（两直线平行，同旁内角互补） ∴65AFE BFC ∠=∠=°（对顶角相等）． ∵25A ∠=°（已知），
∴90E ∠=°（三角形内角和）．
⑵ EBD ACB ∠=∠（EBA BAC ∠=∠）等（答案不唯一） ⑶ ②④⑤； ⑷ A ．
【例4】 ⑴ 已知：如图1，CD 平分ACB ∠，DE BC ∥，80AED ∠=°，求EDC ∠．
⑵ 已知：如图2，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，BE FD ⊥于G ．求证：AB CD ∥．
(北京八中期中)
E
D
C
B
A
2
1G F E
D C
B A
图1 图2
【解析】 ⑴ ∵DE BC ∥
∴80EDC DCB ACB AED ∠=∠∠=∠=︒，
∵CD 平分ACB ∠
∴1
402
EDC DCB ACB ∠=∠=∠=︒
⑵ 证明：∵1C ∠=∠（已知）
∴BE CF ∥（同位角相等，两直线平行） 又∵BE FD ⊥（已知）
∴90CFD EGD ∠=∠=︒（两直线平行，同位角相等） ∴290BFD ∠+∠=︒（平角定义） 又∵290D ∠+∠=︒（已知） ∴BFD D ∠=∠（等量代换）
∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）
【例5】 如图，已知：AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点M 、N ，
MG 、NH 分别平分AME ∠、CNE ∠. 求证：MG ∥NH ． 从本题我能得到的结论是：
A
E B
G C
D
M H F
1
2 3 N M
H G F
E D
C
B
A
6
【解析】 ∵AB ∥CD ，∴AME CNE ∠=∠
又∵MG 、NH 分别平分AME ∠、CNE ∠
∴11
22
GME AME CNM HNE ∠=∠=∠=∠，∴MG ∥NH
从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行. 引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行；
两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直.
模 型
示例剖析
a
b
2
1
若∥a b ，则12∠=∠
a b
c
3
2
1
若∥∥a b c ，则1213180，∠=∠∠+∠=︒
b
a 3
2
1
若∥a b ，则123∠=∠+∠
a
b
3
2
1
若∥a b ，则123360∠+∠+∠=︒
【例6】 已知：如图∥AB CD ,点E 为其内部任意一点，
求证：BED B D ∠=∠+∠．
【解析】 过点E 作∥EF AB ,
∵∥EF AB ,∥AB CD （已知）
∴∥EF CD （平行于同一条直线的两直线平行）
夯实基础
知识导航
模块二 基本模型中平行线的证明
F A
B
C
D
E
E
D C B
A
7
第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版
∵∥EF AB ,（已知）
∴B BEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵∥EF CD ,（已知）
∴D DEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵BED BEF DEF ∠=∠+∠
∴BED B D ∠=∠+∠（等量代换）
【例7】 如图，已知AB DE ∥，80ABC ∠=︒，140CDE ∠=︒，
求BCD ∠的度数．
【解析】 过点C 作CF AB ∥． ∵AB DE ∥且CF AB ∥（已知）
∴CF AB DE ∥∥（平行于同一条直线的两直线平行） ∵AB CF ∥且80ABC ∠=︒（已知）
∴80BCF ABC ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）
∵DE CF ∥且140CDE ∠=︒（已知）
∴180********DCF CDE ∠=︒-∠=︒-︒=︒（两直线平行，同旁内角互补） ∴804040BCD BCF DCF ∠=∠-∠=︒-︒=︒
【例8】 如图，已知3180DCB ∠+∠=o ，12∠=∠，
:4:5CME GEM ∠∠=，求CME ∠的度数．
【解析】 如图延长CM 交直线AB 于点N
∵3180DCB ∠+∠=o ，（已知）
3ABC ∠=∠（对顶角相等）
∴180ABC DCB ∠+∠=o （等量代换） ∴AB ∥CD ，（同旁内角互补，两直线平行） ∴14∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵12∠=∠，（已知） ∴24∠=∠（等量代换） ∴GE ∥CM ，（同位角相等，两直线平行）
∴180CME GEM ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补） ∵:4:5CME GEM ∠∠=， ∴80CME ∠=o
【点评】通过辅助线将相关角联系起来.
能力提升
探索创新
F
E
D C B A
A B
C D
E
1
24
3A
B C D
E G
M
N
1
23A
B
C D
E G
M
8 判断对错：图中1
∠与2
∠为同位角（）
【解析】×
_1
∠和2
∠不是被同一条直线所截
判断对错：垂直于同一条直线的两直线互相平行（）
【解析】×
_易忘记大前提“在同一平面内”
题号
班次
12345678
基础班√√√√√
提高班√√√√√尖子班√√√√√
知识模块一平行的定义、性质及判定课后演练
【演练1】已知如图，1C
∠=∠，2B
∠=∠，MN与EF平行吗？为什么？
N
M
F
2
1
E
B
A
C
【解析】∵1C
∠=∠（已知），∴MN BC
∥（内错角相等，两直线平行）
∵2B
∠=∠（已知），∴EF BC
∥（同位角相等，两直线平行）
∴MN EF
∥（平行于同一条直线的两直线平行）
【演练2】⑴如图1，AB CD
∥，AD AC
⊥，32
ADC
∠=°，则CAB
∠的度数是．
⑵如图2，直线l与直线a，b相交．若a b
∥，170
∠=°，则2
∠的度数是．实战演练
2
1
9
第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版
⑶ 如图3，直线m n ∥，155∠=°，245∠=°，则3∠的度数为（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．110°
【解析】 ⑴ 122°；⑵ 110°；⑶ C ．
【演练3】 ⑴ 根据右图在（ ）内填注理由：
①∵B CEF ∠=∠（已知）
∴AB CD ∥（ ） ②∵B BED ∠=∠（已知）
∴AB CD ∥（ ） ③∵180B CEB ∠+∠=°（已知）
∴AB CD ∥（ ）
（北京市东城区期末）
⑵ 如图：已知12∠=∠，A C ∠=∠，求证：①AB DC ∥ ②AD BC ∥
证明：∵12∠=∠（ ） ∴（ ）∥（ ）（ ） ∴C CBE ∠=∠（ ）
又∵C A ∠=∠（ ） ∴A ∠= （ ） ∴（ ）∥（ ）（ ）
⑶ 如图，∵3E ∠=∠（已知），12∠=∠（已知）
又∵∠ =∠ （ ） ∴∠ =∠ （ ） ∴AB CE ∥（ ）
【解析】 ⑴ ① 同位角相等，两直线平行；
② 内错角相等，两直线平行； ③ 同旁内角互补，两直线平行．
⑵ 已知，AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ∠；
等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行． ⑶ 2；3；对顶角相等；1；E ；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【演练4】 ⑴ 已知：如图1，110D ∠=°，70EFD ∠=°，12∠=∠，求证：3B ∠=∠．
(北京三帆中学期中)
证明：∵110D ∠=°，70EFD ∠=°（已知）
∴180D EFD ∠+∠=° ∴AD ∥ （ ） 又∵12∠=∠（已知）
∴ ∥ （ ）
∴ ∥ （ ） 图1
E D C
B
A 2112图3
F
3E
D A D
F
A E
B C 图3
n
m 3
2
1
图1D
C B A
图1
321
F E D
C
B A
10
∴3B ∠=∠（ ）
⑵ 如图2，EF AD ∥，12∠=∠，70BAC ∠=°．将求AGD ∠的过程填写完整．
(北京四中期中)
解：∵EF AD ∥，
∴2∠= （ ）
又∵12∠=∠
∴13∠=∠（ ）
∴AB ∥ （ ）
∴BAC ∠+ 180=°（ ）
又∵70BAC ∠=°
∴AGD ∠= ．
【解析】 ⑴EF ；同旁内角互补，两直线平行；AD ；BC ；内错角相等，两直线平行；EF ；BC ；
平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．
⑵3∠；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG ；内错角相等，两直线平行；AGD ∠; 两直线平行，同旁内角互补；110°．
【演练5】 如图，已知DA AB ⊥，DE 平分ADC ∠，CE 平分BCD ∠，
1290∠+∠=°，求证：BC AB ⊥． 【解析】 ∵DE 平分ADC ∠，CE 平分BCD ∠，1290∠+∠=° ∴180ADC BCD ∠+∠=°，∴AD ∥BC ，∴180DAB ABC ∠+∠=°
∵DA AB ⊥，∴90ABC ∠=°，即BC AB ⊥
【演练6】 如图，已知12180∠+∠=o ，3B ∠=∠，试判断AED ∠与ACB ∠的大
小关系，并对结论进行证明．
【解析】 法一：∵12180∠+∠=o ，∴2DFE ∠=∠ ∴AB ∥EF ，∴3ADE ∠=∠ ∵3B ∠=∠，∴B ADE ∠=∠ ∴DE ∥BC ，∴AED ACB ∠=∠
法二：延长EF ，找2∠的同位角，证出AB ∥EF ，再找3∠的内错角，证出DE ∥BC 即可．
知识模块二 基本模型中平行线的证明 课后演练
【演练7】 如图，已知AB ∥CD ，23ABF ABE ∠=∠，2
3
CDF CDE ∠=∠，
则:F E ∠∠= .
【解析】 分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，易得：:2:3F E ∠∠=.
【演练8】 已知：如图，点E 为其内部任意一点，BED B D ∠=∠+∠. 求证：∥AB CD .
A
B
C
D
E F
123A B D E F
1
2
A B
C D E 图2
132G A E B D F
C
11 第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版 E
D
C B A
【解析】 如图过点E 做∥EF AB ,
∵∥EF AB
∴B BEF ∠=∠,
∵BED BEF DEF B DEF ∠=∠+∠=∠+∠ BED B D ∠=∠+∠
∴DEF D ∠=∠
∴∥EF CD
又∵∥EF AB
∴∥AB CD
F A B C D
E。