因式分解 第1课 1

第一课分解因式
本节知识点：
1.理解分解因式的概念和意义.
2.理解分解因式与整式乘法是互逆变形.
知识点1分解因式的定义
讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.
小明是这样做的：
993－99
=99×992－99
=99×（992－1）
=99×9800
=99×98×100
其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除.
想一想993－99还能被哪些正整数整除？
在这里，解决问题的关键是把一个数化成了几个数的积的形式。

例题1
（1）计算下列各式：
①（m+4）（m－4）=__________;
②（y－3）2=__________;
③3x（x－1）=__________;
④m（a+b+c）=__________;
⑤a（a+1）（a－1）=__________.
（2）根据上面的算式填空：
①3x2－3x=（）（）;
②m2－16=（）（）;
③ma+mb+mc=（）（）;
④y2－6y+9=（）2.
⑤a3－a=（）（）（）
在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式
是因式分解.
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.
笔记：（1）分解因式的对象是多项式，不是单项式，也不是分式。

（2）分解因式的结果必须是整式的乘积的形式，且每个因式的次数必须低于原来的次数。

（3）不是所有的多项式都能分解因式。

（4）分解因式要彻底，直到不能分解为止。

[针对性训练1]
1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）。

A．a（a－b）＝a2－ab
B ．a 2－2a ＋1＝a （a －2）＋1
C ．x 2－x ＝x （x －1）
D ．x 2－y y ⨯1＝（x ＋y 1）（x －y
1） 知识点2 分解因式与整式乘法的关系
如果把整式乘法看做一个变形过程，那么多项式的分解因式就是它的逆变形。

实质上，整式乘法和分解因式就是互逆的恒等变形过程。

ma +mb +mc m （a +b +c ）
22b a - ( a-b ）(a+b )
2
22b ab a ++ ()2b a + 笔记：（1）整式乘法中，变形对象是整式相乘的形式，所得结果是多项式，即单项式×多项式的结果是多项式；多项式×多项式的结果是多项式。

（2）分解因式时，变形对象是多项式，即把一个多项式化成单项式×多项式或者多项式×多项式的形式，所得结果是乘积的形式。

（3）整式乘法和分解因式就是互逆的恒等变形过程。

[针对性训练2]
[针对性训练3]
连一连：
9x 2－4y 2 a （a ＋1）2
4a 2－8ab ＋4 b 2 －3a （a ＋2）
－3 a 2－6a 4（a －b ）2
a 3＋2 a 2＋a （3x ＋2y ）（3x －2y ）
思考题：
32002－32001－32000能被5整除吗？为什么？
提公因式法（一）
引入 一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为
43，23，47，宽都是2
1,求这块场地的面积.
解法一：S =
21×43 + 21×23 + 21×47 =83+43+8
7=2 解法二：S =21×43 + 21×23 + 21×47 = 21（43 +23+47）=21×4=2 .公因式与提公因式法分解因式的概念.
把多项式ma +mb +mc 写成m 与（a +b +c ）的乘积的形式，相当于把公因式m 从各项中提出来，作为多项式ma +mb +mc 的一个因式，把m 从多项式ma +mb +mc 各项中提出后形成的多项式（a +b +c ），作为多项式ma +mb +mc 的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.例题讲解
［例1］将下列各式分解因式：
（1）3x +6;
（2）7x 2－21x ;
（3）8a 3b 2－12ab 3c +abc
（4）－24x 3－12x 2+28x .
练习 1 把下列各式分解因式
（1）8x －72=
（2）a 2b －5ab =
（3）4m 3－6m 2=
（4）a 2b －5ab +9b =b
（5）－a 2+ab －ac =
（6）－2x 3+4x 2
－2x =
（7）-+--+++a x a b x a c x a x m m m m 2213
思考 小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

提公因式法（二）
例1 把a （x －3）+2b （x －3）分解因式.
分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a （x －3）与2b （x －3），每项中都含有（x －3）,因此可以把（x －3）作为公因式提出来.
解：a （x －3）+2b （x －3）=（x －3）（a +2b ）
例2把下列各式分解因式:
（1）a （x －y ）+b （y －x ）;
（2）6（m －n ）3－12（n －m ）2.
分析：虽然a （x －y ）与b （y －x ）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x －y ）与（y －x ）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y －
x =－（x －y ）.（m －n ）3与（n －m ）2也是如此.
解：（1）a （x －y ）+b （y －x ）
=a （x －y ）－b （x －y ）
=（x －y ）（a －b ）
（2）6（m －n ）3－12（n －m ）2
=6（m －n ）3－12［－（m －n ）］2
=6（m －n ）3－12（m －n ）2
=6（m －n ）2（m －n －2）.
做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a =__________（a －2）;
（2）y －x =__________（x －y ）;
（3）b +a =__________（a +b ）;
（4）（b －a ）2=__________（a －b ）2;
（5）－m －n =__________－（m+n ）;
（6）－s 2+t 2=__________（s 2－t 2）.
练习（1）x （a +b ）+y （a +b ）
（2）3a （x －y ）－（x －y ）
（3）6（p +q ）2－12（q +p ）
（4）a （m －2）+b （2－m ）
（5）2（y －x ）2+3（x －y ）
（6）mn （m －n ）－m （n －m ）2
应用 1不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨
⎩，求代数式()()()22332x y x yx x y +-++的值。

2 证明：对于任意自然数n ，3232
22n n n n ++-+-一定是10的倍数。

练习 求证：257-512能被120整除。

3 化简求值(2x+1)2(3x-2)-(2x+1)(2-3x)2-x(2-3x)(1+2x)，其中x=
2
3 练习 22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-，其中23
x =-.
巩固练习
1 .多项式-6a 3b 2-3a 2b 2+12a 2b 3因式分解时，应提取的公因式是 （ ）
(A)3ab (B)3a 2b 2 (C)- 3a 2b (D)- 3a 2b 2
2 .把下列各多项式分解因式时，应提取公因式2x 2y 2的是 （ ）
(A)2x 2y 2-4x 3y (B)4x 2y 2-6x 3y 3+3x 4y 4 (C)6x 3y 2+4x 2y 3-2x 3y 3 (D)x 2y 4-x 4y 2+x 3y
3
3 将3a(x-y)-9b(y-x)分解因式，应提取的公因式是 （ ）
(A)3a-9b (B)x-y (C)y-x (D)3(x-y)
4 计算：()()-+-221110的结果是（ ）
A. 2
100 B. -210 C. -2 D. -1
分解因式：
（1）8ab 2-16a 3b 3； （2）-15xy-5x 2；
（3）a 3b 3+a 2b 2-ab ； （4）-3a 3m-6a 2m+12am ．
（5）-+-41222332
m n m n m n
（6）a x a b x a c x a d x
n n n n 2211++-+--（n 为正整数）
（7）a a b a b a a b b a ()()()-+---322222
附加
9.如果哥哥和弟弟的年龄分别为x 岁、y 岁，且x 2+xy=99，求出哥哥、弟弟的年龄。

12．多项式-2a n-1-4a n+1的公因式是M ，则M 等于（ ）
A ．2a n-1
B ．-2a n
C ．-2a n-1
D ．-2a n+1
13．用简便方法计算：39×37-13×34=_______．
14．因式分解：x （6m-nx ）-n x 2．
*7.实数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足a<b<c ，x<y<z ，且P=ax+by+cz ，Q=ax+cy+bz ，S=bx+cy+az ， R=bx+ay+cz ，试判断P 、Q 、S 、R 中那一个最大？
*8.已知x 2+x+1=0，求代数式x 2006+x 2005+x 2004+…+x 2+x+1的值。

计算：200020012001200120002000
⨯-⨯。