广东省湛江市2022届3月高三一模数学试题

广东省湛江市2022届高三一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．已知集合{}14U x x =∈-<<N ，集合{0,1}A =，则U
A （ ）
A ．{0,2,3}
B ．{1,0,2,3}-
C ．{2,3}
D ．{2,3,4}
2．已知(13i)5i z +=，则z 的虚部是（ ） A ．32
B ．12
C ．32-
D ．12
-
3．已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A B C ．D ． 4．下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（ ） A ．21
()
21
x x f x B ．2()f x x x =-+ C ．()|sin |f x x =
D ．113
3
()f x x x -=+
5．下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm ､底面边长为1cm 的正三棱锥，后段是高为0.6cm 的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（ ）
A ．30.25cm
B ．30.65cm
C ．30.15cm
D ．30.45cm
6．为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲､乙､丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ） A ．18种
B ．12种
C ．72种
D ．36种
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即
()*21n n n a a a n N ++=+∈，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数
列”.记2022a t =，则1352021a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．2t
B ．1t -
C ．t
D ．1t +
8．已知当,()0x ∈+∞时，函数()e x f x k =的图象与函数2()21
x
g x x =+的图象有且只有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．⎛ ⎝⎭
B ．10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
二、多选题
9．若a b >，则下列不等式中正确的有（ ） A ．0a b ->
B ．22a b >
C ．ac bc >
D ．22a b >
10．某市为了研究该市空气中的PM 2.5浓度和2SO 浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5浓度和2SO 浓度（单位：
3g /m μ），得到如下所示的2×2列联表：
经计算2
100(64101610)7.484480207426
k ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯，则可以推断出（ ） 附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
A ．该市一天空气中PM 2.5浓度不超过375μg/m ，且2SO 浓度不超过3150μg/m 的概率估计值是0.64
B ．若2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍，2K 的观测值不会发生变化
C ．有超过99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关
D ．在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有
关
11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是线段1BD 上（不含端点）的任意一点，点E 是线段1A B 的中点，点F 是平面ABCD 内一点，则下面结论中正确的有（ ）
A ．CD //平面1PBC
B ．以1A 为球心为半径的球面与该正方体侧面11DC
C
D 的交线长是2
π
C ．||||EP PF +
D ．||||EP PF +的最小值是23
12．已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 相交于A ，B 两点，2l 与C 相交于E ，D 两点，M 为A ，B 中点，N 为E ，D 中点，直线l 为抛物线C 的准线，则（ ） A ．点M 到直线l 的距离为定值 B ．以AB 为直径的圆与l 相切 C ．AB DE +的最小值为32 D ．当MN 最小时，MN //l
三、填空题
13．已知向量(1,2)a =--，(,3)b x =-，若a b ∥，则x =________．
14．已知函数21
()2f x x ax =++，()ln g x x =-，用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，
设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，若()h x 恰有3个零点，则实数a 的取值范围是___________.
15．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，过原点O 的直线l 交椭圆C 于点
A ，
B ，且2FO AB =，若6
BAF π
∠=
，则椭圆C 的离心率是___________.
16．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝
⎭，()()
33ππ
+=-f x f x ，03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且
()f x 在区间,102ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上有且只有一个极大值点，则ω的最大值为___________.
四、解答题
17．已知数列{}n a 是等比数列，且368a a =，2536a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设()()111n n n n a b a a +=
++，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明：1
3
n T <.
18．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
222sin sin sin sin sin B C B C A ++=. (1)求角A 的大小；
(2)
若a =ABC 周长的最大值.
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11ACC A ，90ABC ∠=，
AB BC =，四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=，O 是AC 的中点.
(1)证明：BC ⊥平面11B OA ； (2)求二面角11A OB C --的余弦值.
20．中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A ，B 两组，A 组服用甲种中药，B 组服用乙种中药.服药一个疗程后，A 组中每人康复的概率都为13
15
，B 组3人康复的概率分别为
910，34，34
. (1)设事件C 表示A 组中恰好有1人康复，事件D 表示B 组中恰好有1人康复，求
()P CD ；
(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？ 21．已知双曲线2222:
1(0,0)x y C a b a b -=>>
，实轴长是8. (1)求双曲线C 的方程；
(2)过点(0,3)P 的直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A 和B ，若直线l 上存在不同于点P 的点D 满足||||||||PA DB PB DA ⋅=⋅成立，证明：点D 的纵坐标为定值，并求出该定值.
22．已知函数()()ax f x axe a b x =++，()(1)ln g x x x =+. (1)当1a b =-=时，证明：当,()0x ∈+∞时，()()f x g x >；
(2)若对(0,)∀∈+∞x ，都[1,0]b ∃∈-，使()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案：
1．C 【详解】
因为集合{14}{0,1,2,3}U x x =∈-<<=N
∣，集合{0,1}A =，所以{2,3}U A =. 故选：C. 2．B 【详解】
解：因为(13i)5i z +=，所以5i 5i(13i)5(3i)31
i 13i (13i)(13i)1022
z -+=
===+++-，所以z 的虚部是1
2
，
故选：B. 3．B 【详解】 由4cos 5α=
，02
π
α<<，得3sin 5α=，
所以34sin 422252510πααα⎛
⎫+=+=+= ⎪⎝
⎭，
故选:B. 4．A 【详解】
因为2121
()()2121
x x x
x f x f x ------=-==++，所以函数21
()21
x x
f x 为奇函数； 因为212()12121
x x x f x -==-++，又220,0221x
x
><<+，所以211121x -<-<+， 故A 正确；
因为()()()()11,11f f f f -≠--≠，故2()f x x x =-+是非奇非偶函数， 故B 错误；
函数()|sin |f x x =满足()()f x f x -= 为偶函数，故C 错误； 因为1
1
33(1)1121f -=+=>，故D 错误， 故选：A. 5．D
【详解】
因为正三棱锥的底面边长为1，设其内切圆半径为r ，由等面积法，可得：
()1111sin 6011122r ⨯⨯⨯︒=++，解得：r = 由三棱锥体积与圆柱体积公式可得：
()2
311
11sin 6020.60.45cm 32V π=⨯⨯⨯⨯︒⨯+⨯⨯≈⎝⎭
. 故选：D. 6．D 【详解】
解：4名教师分为3组，有24C 种方法，然后再分别派到甲､乙､丙三地， 共有2
3
43C A 种方案，所以共有36种选派方案. 故选：D. 7．C 【详解】
由()*
21n n n a a a n N ++=+∈，得202220212020202120192018a a a a a a =+=++=⋅⋅⋅=
20212019322021201931a a a a a a a a t ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=.
故选：C. 8．A 【详解】
由题设，当,()0x ∈+∞时，2e (21)x x k x =+，令2()e (21)
x x
h x x =+，
则22(21)(1)()e (21)x x x h x x -+'=-
+，所以当1
02
x <<时，()0h x '>，则()h x 单调递增；
当12x >
时，()0h x '<，则()h x 单调递减.又()0h x >，1()2h x h ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
所以当0k <y k =与()h x 的图象有两个交点， 即函数()e x
f x k =的图象与函数2()21
x g x x =+的图象有且只有两个交点.
故选：A. 【点睛】
关键点睛：利用常变量分离法构造函数利用导数的性质是解题的关键. 9．AB 【解析】 【分析】
根据作差法，判断A;根据指数函数()2x f x =的单调性，判断B;举反例可说明C 的正误；同样据反例，判断D. 【详解】
对于A 选项，因为a b >，所以0a b ->，故A 正确；
对于B 选项，因为函数()2x f x =在R 上单调递增，所以22a b >，故B 正确； 对于C 选项，当0c ≤时，ac bc >不成立，故C 不正确； 对于D 选项，当1a =，2b =-时，2214a b =<=，故D 不正确, 故选:AB. 10．ACD 【解析】 【分析】
对于A 选项，根据表格，进行数据分析，直接求概率； 对于B ，C ，D 选项，进行独立性检验，计算后对照参数下结论. 【详解】
补充完整列联表如下：
对于A 选项，该市一天中，空气中PM 2.5浓度不超过375g /m μ，且2SO 浓度不超过3150g /m μ的概率估计值为
64
0.64100
=，故A 正确；
对于B 选项，
22
2
()1000(640100160100)74.8447.4844()()()()800200740260
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈≠++++⨯⨯⨯，故B 不正
确；
因为7.4844>6.635，根据临界值表可知，在犯错的概率不超过1%的条件下，即有超过99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关，故C ，D 均正确. 故选：ACD. 11．ABD 【解析】 【分析】
对于A 选项：利用线面平行的判定定理证明出CD // 平面1PBC ，即可判断； 对于B 选项：先作出球面与侧面11DCC D 的交线为弧1C D ，再求弧长；
对于C ，D 选项：将1DBD △沿1BD 翻折到与11A BD 在同一平面作EG BD ⊥于点G ，交1BD 于P .利用几何法判断出||||||EP PF EG +=最小.解三角形求出最小值，即可判断C 、D. 【详解】 对于A 选项：
因为平面1PBC 即为平面11ABC D ，又因为11C D //CD ，且11C D ⊂平面11ABC D ，CD ⊂/平面11ABC D ，所以CD // 平面1PBC ，故A 正确；
对于B 选项：
该球面与侧面11DCC D 的交线为弧1C D ，是以1D 为圆心，圆心角为
2
π
的弧，所以弧长为12
2
ππ⋅=
，故B 正确；
对于C ，D 选项：
将1DBD △沿1BD 翻折到与11A BD 在同一平面且点1A ，D 在直线1BD 的异侧，作EG BD ⊥于点G ，交1BD 于P .由两点之间，直线最短.可得G 、F 重合时，||||||EP PF EG +=最小.此时，设1ABD θ∠=
，则111tan A D A B θ=
=
所以222222sin cos 2tan sin sin 22sin cos sin cos tan 11EBG θθθθθθθθθ⨯⎝⎭∠===
===+++⎝⎭
在EBG
中，112EB A B =
=
所以2
||||3
sin E EG E BG B ∠===，则||||
EP PF +的最小值是2
3
，故C 不正确，D 正确. 故选:ABD. 12．BCD 【解析】 【分析】
设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M 的横坐标，
结合抛物
线定义，可判断A;利用抛物线定义推得||||||2M AB AF BF d =+=,由此判断B; 计算出弦长||ED ，可得AB DE +的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C; 求出MN 的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D. 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,E x y ，()44,D x y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ， 直线1l 的方程为2x my =+，则直线2l 的方程为1
2x y m
=-
+, 将直线1l 的方程2x my =+代入28y x =，化简整理得28160y my --=， 则128y y m +=，1216y y =-，
故()2
1212484x x m y y m +=++=+,
所以212422M x x x m +=
=+，1242
M y y
y m +==, 因为点A 到直线l 的距离112d x =+，点B 到直线l 的距离222d x =+， 点M 到直线l 的距离2M M d x =+，
又242M x m =+，所以2
44M d m =+，故A 错误；
因为2
12||||||4882M AB AF BF x x m d =+=++=+=，
所以以||AB 为直径的圆的圆心M 到l 的距离为||
2
AB ， 即以||AB 为直径的圆与l 相切，故B 正确； 同理，()3434211484x x y y m m +=-
++=+，所以24
2N x m
=+，4N y m =-，
342
8
||||||48ED EF DF x x m =+=++=
+， 则2
2
8
||||81632AB ED m m +=+
+≥，当且仅当1m =±时等号成立，故C 正确；
||MN =
==
设2
21m t m +
=，则2212m t m +=≥，4
24
12m t m
+=-，||MN = 当2t =时，即1m =±时，||MN 最小，这时N M x x =，故D 正确,
故选:BCD. 【点睛】
本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力，解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离的计算，比较繁杂，要细心运算. 13．3
2
-##-1.5
【解析】 【分析】
由向量平行的坐标表示进行计算． 【详解】
由题意320x --=，3
2
x =-．
故答案为：3
2-
14．3,2⎛- ⎝
【解析】 【分析】
分析函数2
1()2f x x ax =++的零点情况，可确定符合题意的情况，从而得到不等式组，解
得答案. 【详解】
函数2
1()2f x x ax =++恒过点1(0,)2 ，且其图象开口向上，()ln g x x =-的零点为1，
当2
1()2
f x x ax =++的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：
函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>的零点至多有两个，不符合题意，
故要使()h x 恰有3个零点，则函数()f x 在区间(0,1)上存在两个零点，如图示，
故2
0121(1)1021Δ402a f a a ⎧<-<⎪⎪
⎪
=++>⎨⎪
⎪=-⨯>⎪⎩
解得3
2
a -<<
故答案为：3,2⎛- ⎝
15
1 【解析】 【分析】
设右焦点为F '，连接AF '，BF '.判断出四边形AFBF '为矩形.在Rt ABF 中，解三角形求出||AF ，|BF |
，利用椭圆的定义得到21)a c =，即可求出离心率. 【详解】
设右焦点为F '，连接AF '，BF '.
因为2||||2OF AB c ==，即||FF AB '=，可得四边形AFBF '为矩形. 在Rt ABF
中，||2cos 2AF c BAF c =⋅∠==，1||2sin 22BF c BAF c c =⋅∠=⋅=.
由椭圆的定义可得||2AF AF a '
+=
，所以21)a c =
，所以离心率1c
e a =.
1. 16．
33
4
##8.25 【解析】 【分析】
根据题意列出方程组，求出,ωϕ 的表达式，求出符合条件||2
π
ϕ≤
的ϕ，再根据()f x 在区间
,102ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有且只有一个极大值点，分类讨论确定,ωϕ的值是否适合题意，可得答案. 【详解】
由题意知，12
33
2k k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩,1k ，2k Z ∈，则3(21)4
24k k ωππϕ+⎧
=⎪'⎪⎨
⎪=+⎪⎩,k ，k '∈Z ， 其中21k k k =-，2122k k k k k '=+=-, 当1k '=-时，4
π
ϕ=-
，221k k =+，2k Z ∈；当0k '=时，4
π
ϕ=
，22k k =，2k Z ∈.
又()f x 在区间,102ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有且只有一个极大值点，所以2422105T ππππω-=≤=，
得010ω<≤，即3(21)0104k +<
≤，所以137
26
k -<≤. 当6k =时，394
ω=，4π
ϕ=，此时394941,44408x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时有2个极大值点，舍去；
当5k =时，334ω=
，33
4ω=，此时332331,44408x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，此时有1个极大值点，成立，
所以ω的最大值为33
4
， 故答案为：
334
17．(1)2n n a =； (2)1113
21
n +-
+，证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）利用等比数列的通项公式进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行运算证明即可. (1)
设等比数列{}n a 的公比是q ，首项是1a . 由368a a =，可得2q
.
由2536a a +=，可得()3
1136a q q +=，所以12a =，
所以2n n a =；
(2)
证明：因为()()1
111
112121n n n n n n a b a a ++=
=-++++，
所以121
2231
11121212121n n T b b b ⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
1112121n n +⎛⎫+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭ 11111112121321
n n ++=-=-+++. 又
1
102
1
n +>+，所以13
n T <
. 18．(1)
23
π
(2)2+【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理，角化边，结合余弦定理求得cos A ，即可得答案;
（2）由余弦定理可得223b c bc ++=，配方后利用基本不等式可求得2b c +≤,从而求得三角形周长的最大值. (1) 由正弦定理
sin sin sin a b c
A B C
==，得222b c bc a ++=,即222b c a bc +-=-， 由余弦定理得，2221
cos 22
b c a A bc +-=
=-， 又0A π<<，所以23
A π=. (2)
由a =1）可知223b c bc ++=，
则22
2
2
()3()3()()44
b c b c b c bc b c ++=+-≥+-=， 得24()b c ≥+，即2b c +≤，
所以2a b c ++≤+1b c ==时，取得等号）， 所以ABC
周长的最大值为2 19．(1)证明见解析
(2) 【解析】
【分析】
（1）连接1A C ，证明出1A O ⊥平面ABC ，可得出1A O BC ⊥，由11//B C BC 可得出1A O BC ⊥，由已知条件结合线面垂直的判定定理可证得11B C ⊥平面11B OA ，由此可得出
BC ⊥平面11B OA ；
（2）连接BO ，证明出BO ⊥平面11AAC C ，设2AB =，然后以点O 为坐标原点，OA 、
1OA 、OB 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面
角11A OB C --的余弦值. (1)
证明：连接1A C ，因为四边形11ACC A 是菱形，则1AC AA =， 因为160A AC ∠=，故1
AAC △为等边三角形，所以1A O AC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1AO ⊂平面11AAC C ，所以1A O ⊥平面ABC ，
BC ⊂平面ABC ，所以1A O BC ⊥. 因为11//B C BC ，所以111
B C AO ⊥. 又1111B C B A ⊥，且1111OA B A A ⋂=，所以11B C ⊥平面11B OA ，所以BC ⊥平面11B OA . (2)
解：连接BO ，因为90ABC ∠=，AB BC =，O 是AC 的中点，所以BO AC ⊥. 又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，BO ⊂平面ABC ，所以
BO ⊥平面11ACC A .
设2AC =，因为1A O BC ⊥，以点O 为坐标原点，OA 、1OA 、OB 所在直线分别为x 、y 、
z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则()0,0,0O 、()1,0,0A
、()1B -
、()
1C -，
()1,0,0OA =
，()
1OB =-
，()
1OC =-. 设平面1AOB 的法向量是()111,,m x y z =，
则1111100
m OA x m OB x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，取1z =
(0,m =-. 设平面11C OB 的法向量是()222,,n x y z =，
则1221222200
n OC x n OB x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩
，取2x
(
3,2,n =.
所以5cos ,210
m m m n
n n ⋅⋅-<>=
=
=
由图可知，二面角11A OB C --为钝角，因此，二面角11A OB C --的余弦值是. 20．(1)
13
3000
(2)甲种中药药性更好 【解析】
【分析】
（1）分别计算出示A 组中恰好有1人康复， B 组中恰好有1人康复的概率，根据相互独立事件同时发生的概率的计算方法，求得答案;
（2）根据二项分布的期望公式求得A 组中服用甲种中药康复人数积分的期望值，再计算出B 组中服用乙种中药康复人数积分的期望值，比较可得答案. (1)
依题意有，2
13
131352
()C 115151125
P C ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，
129111133()C .1044104432
P D =
⨯⨯+⨯⨯⨯=. 又事件C 与D 相互独立， 则52313
()()()1125323000
P CD P C P D ==⨯=， 所以13
()3000
P CD =. (2)
设A 组中服用甲种中药康复的人数为1X ，则113~3,15X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以()11313
3155
E X =⨯=.
设A 组的积分为2X ，则212X X =， 所以()()212625
E X E X ==
. 设B 组中服用乙种中药康复的人数为1Y ，则1Y 的可能取值为：0,1,2,3,
()1111101044160
P Y ==⨯⨯=， ()112911113151C 10441044160
P Y ==
⨯⨯+⨯⨯⨯=， ()11293113363
2C 10441044160
P Y ==⨯⨯⨯+⨯⨯=， ()193381
31044160
P Y ==
⨯⨯=， 故1Y 的分布列为
所以()111563813841201231601601601601605
E Y =⨯
+⨯+⨯+⨯==, 设B 组的积分为2Y ，则212Y Y =， 所以()()()21124
225
E Y E Y E Y ===
,
因为
262455
>， 所以甲种中药药性更好. 21．(1)22
1164x y -=；
(2)证明见解析，定值为4
3
-.
【解析】 【分析】
（1）根据双曲线的离心率公式、实轴长的定义进行求解即可；
（2）设出直线l 的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解证明即可. (1)
依题意得，22228,
,c a a c a b ⎧=
⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
解得2216,4,a b ⎧=⎨=⎩所以双曲线C 的方程是22
1164x y -
=. (2)
证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，直线l 的方程为3y kx =+.
将直线方程3y kx =+代入双曲线方程221164
x y -
=，化简整理得()22
1424520k x kx ---=， ()222(24)41452208256k k k ∆=-+⨯-⨯=-，
则1222414k x x k +=
-，12
2
52
14x x k =--. 要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A 和B ，则应满足 21212140,Δ0,0,0,k x x x x ⎧-≠⎪
>⎪⎨
+>⎪⎪>⎩即2222
140,
2082560,
240,14520,14k k k k
k ⎧-≠⎪->⎪⎪⎨>-⎪⎪-
>⎪-⎩
解得1
2k <<-. 由||||||||PA DB PB DA ⋅=⋅，得||||
||||
PA DA PB DB =，故011220x x x x x x -=-，
所以2120
122
104
2131424314x x k x k x x k
k --===-+-. 又001343333
y kx =+=-
+=-， 所以点D 的纵坐标为定值4
3
-.
【点睛】
关键点睛：利用一元二次不等式的根与系数的关系进行求解是解题的关键. 22．(1)证明见解析； (2)1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭
. 【解析】 【分析】
（1）通过构造函数利用导数证明e 1x x >+、ln x x >，利用放缩法进行证明即可； （2）构造函数()e ()ax b ax a b x ψ=++利用二次求导法得到ln x
a x
≥，再通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可. (1)
当1a b =-=时，()e x f x x =.
令()e (1)(0)x h x x x =-+>，则()e 10x h x '=->， 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(0)0h =， 所以()e (1)0x h x x =-+>，即e 1x x >+. 令()ln (0)x x x x ϕ=->，则11
()1x x x x
ϕ-'=-
=，所以()ϕx 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且(1)1ϕ=，所以()ln 10x x x ϕ=-≥>， 所以ln x x >.
所以当,()0x ∈+∞时，有e (1)(1)ln x x x x x x >+>+， 所以当,()0x ∈+∞时，()()f x g x >. (2)
因为[1,0]b ∃∈-，使()()f x g x ≥恒成立，令()e ()ax b ax a b x ψ=++，
答案第16页，共16页 只需max ()()b g x ψ≥，即e (1)ln ax ax ax x x +≥+在,()0x ∈+∞上恒成立，.
整理得()()ln e 1(1)ln ln e 1ax x ax x x x +≥+=+.（*）.
设()()e 1x F x x =+，则()e (1)1x F x x '=++，设()()e (1)1x H x F x x '==++，
又()(2)e x H x x '=+，可得2x >-时，()0H x '>，()H x 单调递增；2x <-时，()0H x '<，()H x 单调递减，因此当2x =-时，()H x 有最小值2
1(2)10e H -=->， 所以()F x 在R 上单调递增.
所以（*）式即()(ln )F ax F x ≥，所以ln ax x ≥，即ln x a x ≥
. 设ln ()x G x x
=，0x >，则21ln ()x G x x '-=，令()0'=G x ，解得e x =. 当0x e <<时，()0G x '>，函数()G x 单调递增；当e x >时，()0'<G x ，函数()G x 单调递减. 所以max 1()(e)e
G x G ==，所以1e a ≥. 所以实数a 的取值范围为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭
【点睛】
关键点睛：通过构造函数，利用二次求导法是解题的关键.。