2021届高考数学总复习第71讲：概率与统计、统计案例的综合问题

2021届高考数学总复习第71讲：概率与统计、统计案例的综合问题
考点1概率与统计的综合问题
破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”
经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品．为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分别在区间[200,500]内(单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：
(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100 000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：A．所有黄桃均以20元/千克收购；
B．低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购．请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
(参考数据：225×0.05＋275×0.16＋325×0.24＋375×0.3＋425×0.2＋475×0.05＝354.5)
[解](1)由题得黄桃质量在[350,400)和[400,450)的比例为3∶2，
∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的黄桃中各抽取3个和2个．
记抽取质量在[350,400)的黄桃为A1，A2，A3，质量在[400,450)的黄桃为B1，B2，
则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：
A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A2B1，A3B1，A1B2，A2B2，A3B2，B1B2.
其中质量至少有一个不小于400克的有7种情况，故所求概率为7 10.
(2)方案B好，理由如下：
由频率分布直方图可知，黄桃质量在[200,250)的频率为50×0.001＝0.05，同理，黄桃质量在[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500]的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2，0.05.
若按方案B收购：
∵黄桃质量低于350克的个数为(0.05＋0.16＋0.24)×100 000＝45 000个，黄桃质量不低于350克的个数为55 000个．
∴收益为45 000×5＋55 000×9＝720 000元．
若按方案A收购：
根据题意各段黄桃个数依次为5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000，于是总收益为(225×5 000＋275×16 000＋325×24 000＋375×30 000＋425×20 000＋475×5 000)×20÷1 000＝709 000(元)．
∴方案B的收益比方案A的收益高，应该选择方案B.
解答本例第(2)问时，方案A需要算出黄桃的总质量，方案B需要求出黄桃质量低于350克和不低于350克的个数．
[教师备选例题]
(2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将
数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
[解](1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×
5
100＝20.
(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×1
2＝30，
所以样本中的男生人数为30×2＝60，
女生人数为100－60＝40，
所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，
所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.
(2019·泰安模拟)2018年的政府工作报告强调，要树立绿水青山就是金山银山理念，以前所未有的决心和力度加强生态环境保护．某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况，并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施，下图给出的是甲、乙两企业2012年至2017年在环保方面投入金额(单位：
万元)的柱状图．
(1)分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数；(结果保留整数)
(2)园区管委会为尽快落实环保措施，计划对企业进行一定的奖励，提出了如下方案：若企业一年的环保投入金额不超过200万元，则该年不奖励；若企业一年的环保投入金额超过200万元，不超过300万元，则该年奖励20万元；若企业一年的环保投入金额超过300万元，则该年奖励50万元．
①分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和；
②现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查，求这两年获得的奖励之和不低于70万元的概率．
[解] (1)由柱状图可知，甲企业这六年在环保方面的投入金额分别为150,290,350,400,300,400，
其平均数为16×(150＋290＋350＋400＋300＋400)＝315(万元)；
乙企业这六年在环保方面的投入金额分别为100,200,300,230,500,300，
其平均数为16×(100＋200＋300＋230＋500＋300)＝8153≈272(万元)，
(2)①根据题意可知，企业每年所获得的环保奖励t (x )(单位：万元)是关于该
年环保投入x (单位：万元)的分段函数，即t (x )＝⎩⎨⎧ 0，x ≤200，
20，200＜x ≤300，
50，x ＞300.
所以甲企业这六年获得的奖励之和为：0＋20＋50＋50＋20＋50＝190(万
元)； 乙企业这六年获得的奖励之和为：0＋0＋20＋20＋50＋20＝110(万元)． ②由①知甲企业这六年获得的奖励数如下表：。