第9节 空间向量的应用

第9节 空间向量的应用
知识衍化体验
知识梳理
1. 无数，无数；
2.（1）]20π，（，
cos θ＝|a ·b ||a ||b |，[0，π]，cos β＝a ·b |a ||b |（2）|a ·n ||a ||n | （3）1）〈AB →，CD →〉．2) 其补角;3.(1)2||AB =
基础自测
1. (1)√ (2)× (3)× (4)× （5）×
2. A ;
3. B;
4. 210;
5. 45°
考点聚焦突破
【例1-1】C; A.
【训练1】 C
解析 如图所示，取AC 的中点D ，以D 为原点，BD ，DC ，DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC ＝2，则A (0，－1，0)，M (0，
0，2)，
B (－3，0，0)，N ），，（22
1-23-，所以AM →＝(0，1，2)， BN →＝），，（221-23，所以cos 〈AM →，BN →〉＝AM →·BN →|AM →|·|BN →|＝725×5＝710， 故选C.
【例2】(1)证明 因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 如图，连接OB .因为AB ＝BC ＝22
AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形， 所以OB ⊥AC ，OB ＝12
AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB . 因为OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，OB ，AC ⊂平面ABC ，
所以PO ⊥平面ABC .
(2)解 由(1)知OP ，OB ，OC 两两垂直，则以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．
由已知得O (0，0，0)，B (2，0，0)，A (0，－2，0)，C (0，2，0)，
P (0，0，23)，AP →＝(0，2，23)．
由(1)知平面P AC 的一个法向量为OB →＝(2，0，0)．
设M (a ，2－a ，0)(0≤a ≤2)，则AM →＝(a ，4－a ，0)．
设平面P AM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．
由AP →·＝0，AM →·＝0，得
⎩⎨⎧ 2y ＋23z ＝0，ax ＋(4－a )y ＝0，
可取y ＝3a ，得平面P AM 的一个法向量为＝(3(a －4)，3a ，－a )， 所以cos 〈OB →，＝23(a －4)23(a －4)2＋3a 2＋a 2.由已知可得|cos 〈OB →，〉|＝cos 30°＝32，所以23|a －4|23(a －4)2＋3a 2＋a 2＝32，解得a ＝－4(舍去)或a ＝43. 所以n ＝），，（34-334338-
.又PC →＝(0,2，－23)， 所以cos 〈PC →，n 〉＝34.所以PC 与平面P AM 所成角的正弦值为34
. 【训练2】(1)证明 由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，PF ∩EF ＝F ，PF ，EF ⊂平面PEF ， 所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .
(2)解 如图，作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD .
以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|BF →|为单位长，建立如图所
示的空间直角坐标系Hxyz .由(1)可得，DE ⊥PE .又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF .
所以PH ＝32，EH ＝32.则H (0,0,0)，P ），，（2300，D ），，（02
3-1-， DP →＝），，（23231，HP →＝），，（2
300.又HP →为平面ABFD 的法向量， 设DP 与平面ABFD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈HP →，DP →〉|＝|HP →·DP →||HP →||DP →|
＝343＝34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34
. 【例3】(1)证明 如图(1)，连接DE ，D 1E .
∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 是AB 的中点，∴BE ∥CD ，BE ＝CD ，
∴四边形BCDE 是平行四边形，∴DE ∥BC .
又DE ⊄平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，∴DE ∥平面BCC 1B 1. ∵DD 1∥CC 1，DD 1⊄平面BCC 1B 1， 图(1) CC 1⊂平面BCC 1B 1，∴D 1D ∥平面BCC 1B 1.又D 1D ∩DE ＝D ，∴平面DED 1∥平面BCC 1B 1.∵EF ⊂平面DED 1，∴EF ∥平面BCC 1B 1.
(2) 以D 为原点，分别以DB ，DC ，DC 1所在直线为x 轴、y 轴、z
轴建立空间直角坐标系，如图(2)，
则D (0，0，0)，C (0，1，0)，C 1(0，0，3)，B (3，0，0)，
∴B 1C 1→＝BC →＝(－3，1，0)，DC 1→＝(0，0，3)，
CC 1→＝(0，－1，3). 图(2) 设平面BCC 1B 1的法向量为1n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111CC n BC n 即⎩⎨⎧－3x 1＋y 1＝0，－y 1＋3z 1＝0.
取z 1＝1，则y 1＝3，x 1＝1， ∴平面BCC 1B 1中的一个法向量为1n ＝(1，3，1).
设平面DC 1B 1的法向量为2n ＝(x 2，y 2，z 2). 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0012112DC n C B n 即⎩⎨⎧－3x 2＋y 2＝0，3z 2＝0.
令x 2＝1，则y 2＝3，z 2＝0， ∴平面DC 1B 1的一个法向量为2n ＝(1，3，0).
设平面BCC 1B 1与平面DC 1B 1所成的锐二面角的大小为θ，
则cos θ||||221n n ＝1＋3
1＋3＋1·1＋3＝255. ∴平面BCC 1B 1与平面DC 1B 1所成的角(锐角)的余弦值为255
. 【训练3】解:（Ⅰ）连结BD 交AC 于点O ,连结EO .因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点.
又E 为PD 的中点,所以//EO PB .
EO ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ,所以PB //平面AEC .
（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ,ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直.
如图，以A 为坐标原点, AB 的方向为x 轴的正方向,为||AP 为单位长,建
立空间直角坐标系A xyz -,则3,0)D ，31(0,)22
E ，
31(0,)22
AE =. 设(,0,0)B m (0)m >，则(3,0)C m ，(3,0)AE m =.
设1(,,)x y z =n 为平面ACE 的法向量，
则1100AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即303102
mx y z ⎧+=+=，可取13(3)m =-n . 又2(1,0,0)=n 为平面DAE 的法向量,由题设121|cos ,|2
<>=n n ，即 231234m =+，解得32
m =. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12
，三棱锥E ACD -的体积 11313332228V =⨯⨯⨯⨯=
【例4】(1)证明 题图(1)中，由已知可得：AE ＝2，AD ＝1，A ＝60°.
从而DE ＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝ 3.故得AD 2＋DE 2＝AE 2，∴AD ⊥DE ，BD ⊥DE .∴题图(2)中，A 1D ⊥DE ，BD ⊥DE ，∴∠A 1DB 为二面角A 1－DE －B 的平面角， 又二面角A 1－DE －B 为直二面角，∴∠A 1DB ＝90°，即A 1D ⊥DB ，
∵DE ∩DB ＝D 且DE ，DB ⊂平面BCED ，∴A 1D ⊥平面BCED .
(2)解 存在.由(1)知ED ⊥DB ，A 1D ⊥平面BCED .
以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、DA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴
的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz ，如图，
过P 作PH ∥DE 交BD 于点H ，
设PB ＝2a (0≤2a ≤3)，则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a ，
易知A 1(0，0，1)，P (2－a ，3a ，0)，E (0，3，0)，所以P A 1→＝(a －2，－3a ，1).
因为ED ⊥平面A 1BD ，所以平面A 1BD 的一个法向量为DE →＝(0，3，0).
因为直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，所以sin 60°＝|P A 1→·DE →||P A 1→||DE →|＝3a 4a 2－4a ＋5×3＝32，解得a ＝54.∴PB ＝2a ＝52
，满足0≤2a ≤3，符合题意. 所以在线段BC 上存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，此时PB ＝52
.
【训练4】(1)证明 如图，在平行四边形ABCD 中，连接AC ，
因为AB ＝22，BC ＝2，∠ABC ＝45°，
由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos 45°＝4，得AC ＝
2，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .又
AD ∥BC ，所以AD ⊥AC ，因为AD ＝AP ＝2，DP ＝22，
所以AD 2＋AP 2＝DP 2，所以P A ⊥AD ，又AP ∩AC ＝A ，所以AD ⊥平面P AC ，所以AD ⊥PC .
(2)解 因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，所以P A ⊥底面ABCD ，所以直线AC ，AD ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，直线AD ，AC ，AP 为坐标轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，D (－2，
0，0)，C (0，2，0)，B (2，2，0)，E (－1，1，0)，P (0，0，2)，所
以PC →＝(0，2，－2)，PD →＝(－2，0，－2)，PB →＝(2，2，－2).
设PF PB
＝λ(λ∈[0，1])，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，F (2λ，2λ，－2λ＋2)， 所以EF →＝(2λ＋1，2λ－1，－2λ＋2)，易得平面ABCD 的一个法向量为＝(0，0，1).
设平面PDC 的法向量为＝(x ，y ，z )， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0PD n 得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，－2x －2z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－1，－1). 因为直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等，
所以|cos 〈EF →，〉|＝|cos 〈EF →，〉|，即|
||||||||EF n EF m =，所以|－2λ＋2|＝⎪⎪⎪⎪2λ3，即3|λ－1|＝|λ|(λ∈[0，1])，解得λ＝3－32，所以PF PB ＝3－32
. 即当PF PB ＝3－32
时，直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等.。