东南大学数学分析2000,02,99

东南大学数学分析2000
一、填空题：
1、n
n n 321lim n ++++∞→、、、= 2、若f(x 二阶可导，且f(0)=0,
’(0)=1,f ’’(0)=2.。

又f(x)-x 与k x 是当x 时0→的等价无穷小量，则常数k=
3、设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=+∞-∞≠0
x ,0),()x (g 0x ,x )x (g 当内连续二阶可导，并且在，其中当
g(0)=g ’(0)=0,则导函数f ’(x)的连续区间为
4、⎰-+)xe 1(x x 1x dx=
5、+∞→+∞→y x lim (22y
x xy +)2x = 6、设u=f(x,y,z),y==ϕt ),t ,x ()z ,x (ϕ,则
x u ∂∂= 二、计算题：
1、 求f(x)= ⎰π
+2
x x t sin dt 在[ππ-4
41,441]上的最大值与最小值。

2、 设 u=f(x-y, e x
)y sin 求y x u 2∂∂∂，（其中f 具有二阶连续偏导数）。

3、 计算⎰⎰⎰Ω+,dxdydz )y x (2
2其中Ω是由平面曲线⎩⎨⎧==0x z 2y 2绕z 轴旋转一周所成的曲面与z=8所围
成的区域。

4、 求密度1≡ρ的均匀半球壳2222a
z y x =++)(0z ≥对子轴的转动惯量。

5、 计算曲面积分⎰⎰∑
++-+xzdxdy 4dzdx )3xy 10(dydz )y x (322其中∑为曲面z=22y x +界于平面z=1和z=2之间部分的下侧
三、用数列极限的N -ε定义证明极限16
n n 311n 5n 3lim 22n =+-++∞→ 四、证明函数f(x)=⎩⎨⎧π为无理数，当连续，在其他点处间断为有理数，在整数点处
当x 0x ,x sin
五、设 f(x)=∑∞=0n n n x a ,r x <,且收敛1n 0n n r 1n a +∞
=∑+，证明：()1n 0n n r 0r 1n a dx x f +∞=∑⎰+= 六、利用幂级数证明：1)2n (!n 10n =+∑∞
= 七、设对任意n 为自然数，有1n n 2312x x x x x x --++-+-、、、<C,(为某一非负常数)证明数列{x n }收敛
八、设f(x)在[0，1]上可导，证明对任意x ],1,0[∈有⎰+≤
1
0dx ))t ('f )t (f ()x (f
东南大学2002数学分析
一．叙述定义（5+5=10）
1．+∞=-∞
→)(lim x f x 2．当为极限不以时，A x f a x )(+→
二．计算（9*7=63）
1． 求曲线)1(2x Ln y -=，02
1≤≤x 的弧长。

2． 设0),,(),,,(2==δδy e x g y x f u ，,sin x y =且已知f 与g 都具有一阶偏导数，
.,0dx du g 求≠∂∂δ 3． 求dx x
x ⎰2)ln ( 4． 求2
0)(lim x a x a x
x x -+→，（a>0） 5． 计算第二型曲面积分
dxdy dx d y dyd x S
222δδδ++⎰⎰ 其中S 是曲面22y x +=δ夹与=δ1与=δ0之间的部分，积分沿曲面的下侧。

6． 求常数λ，使得曲线积分
2222,0y x r dy r y
x dx r y x L +==-⎰λλ 对上半平面的任何光滑闭曲线L 成立。

7． 在曲面)0,0,0(,142
22>>>=++δδy x y x 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截
距的平方和最小。

三，证明题（6+7+7+7=27）
1． 讨论级数∑⎰∞==101sin n n dx x
x π的敛散性。

2． 设)(x f 在区间[0，2]上具有二阶连续导数，且具有二阶连续导数，且对一切]2,0[∈x ，均有
|)(x f |1≤，|)("x f |1≤，证明对一切],2,0[∈x 成立|)('x f |2≤
3． 证明：积分⎰∞
-0dy xe xy 在（0，+∞）上不一致收敛。

4． 证明：函数x x x f ln )(=
在（1，）∞上连续。

东南大学数学分析1999
一、选择题
1、 当0→x 时，无穷小量22
cos x e x --关于无穷小量4
x 是 （A ）等价无穷小量 （B ）同阶无穷小量
（C ）低价无穷小量 （D ）高阶无穷小量 答（ ）
2、 设)(),(x g x f 在],[b a 上可导，且,0)()(≠x g x f 又),()()()(x g x f x g x f '<'则当a<x<b 时，必有
（A ）),()()()(a g a f x g x f < (B),)
()()()(a g a f x g x f < （C ） ),()()()(b g b f x g x f < (D)
,)()()()(b g b f x g x f < 答（ ） 3、 下列广义积分中收敛的为
（A ）⎰+∞
2,ln x x dx (B)⎰+∞+1331
x dx ， （C ）dx x arctgx ⎰1
025 (D)⎰21.ln x dx 答（ ） 4、 设,0,10,0),(⎩
⎨⎧≠==xy xy y x f 则在点（0，0）处有 （A ）f 连续，y x f f ,都存在 （B ）f 连续，y x f f ,都不存在
（C ）f 不连续，y x f f ,都存在 （D ）f 不连续，y x f f ,都不存在。

答（ ）
5、 设z y x u =，则)2,2,3(y u
∂∂等于
（A ）4,3ln (B)83ln ,
（C ）324,3ln (D)324.3ln 2ln 答（ ）
6、 设常数,0≠k 则级数∑∞=+
1)sin(n n
k n ππ （A ）条件收敛， （B ）绝对收敛，
（C ）发散， （D ）敛散性与k 取值有关。

答（ ）
二、计算下列各题（6*5=30）
1、 求)1ln(1lim 0-+→x x e x 。

2、 若)(),(x f y x f y ''+=存在，且1)(≠'x f ,求y ''。

3、 计算dx e x )11(2
ln 02⎰---。

4、 设),,,(y xe y x f u =其中f 具有二阶连续偏导数，求.2y
x u ∂∂∂ 5、 计算dx e dy dx e y y y x y
y x y ⎰⎰⎰⎰+∂121212
141。

三、（10）计算曲线积分⎰++++-C dy y x y x dx y xy ,)5()23(222其中C 为由点)0,1()0,1(B A 到-的上半
椭圆)0(1422≥=+y y x 。

四、（10）计算曲面积分,22dxdy z z xydzdx dydz ye ++∑⎰⎰其中∑为由曲面22y x z +=与
221y x z --=所围空间区域Ω的外侧。

五、（10）证明：（1）级数∑∞
=12sin n n n x 在),(+∞-∞一致收敛。

（2）存在)2,0(πε∈，使得πεε22sin cos 11=∑∞
=-n n n n 。

六、（10）设函数)(x f 在[]1,0上二次可导，且0)(<''x f
证明：⎰+≤1
0)1
1()(n f dx x f n （n 为自然数）
七、（6）证明：若级数∑∞=>1)0(n n n a a 发散，证n n a a a s +++= 21;则级数∑∞=1n n n s a 也发散。