专题(六)--解直角三角形的应用

专题（六）解直角三角形的应用
解直角三角形的应用是各地中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解.
类型1 仰角、俯角问题
1.(2014·东营)热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，
看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高
≈1. 732,结果保留小数点后一位)？
2.(2014·常德)如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆.已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1，分别为160米，400米，1 000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长
度.(结果精确到1≈1.732)
3.(2014·河南)在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据：sin68°≈0.9,cos68°≈
0.4,tan68°≈ 1.7)
类型2 方位角问题
1.(2014·邵阳)一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号.一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间.(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)
2.(2014·娄底)如图，有小岛A和小岛B，轮船以45 km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向.求小岛A与小岛B之间的距离(结果保留整数，
1.41，
2.45)
类型3 坡度(坡比)问题
1.(2013·内江)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米，台阶AC的
坡度为1 (即AB∶BC=1)，且B，C，E三点在同一条直线上.请根据以上条件求
出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).
米，钓2.(2014·烟台)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC的长为
2
竿OA的倾斜角是60°，其长为3米，若OA与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离.
参考答案
类型1 仰角、俯角问题
1.如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为
D.
由题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120. 在Rt △ADB 中，由tan ∠BAD=
BD
AD
，得 BD=AD ·tan ∠BAD=120×tan30°
. 在Rt △ADC 中，由tan ∠CAD=
CD
AD
，得 CD=AD ·tan ∠CAD=120×tan60°
. ∴
277.1.
答：这栋楼高约为277.1 m.
2.在Rt △ABD 中,BD=400-160=240,∠BAD=30°. ∵sin ∠BAD=BD
AB
, ∴AB=
BD
sin BAD
∠=2BD=480 m.
在Rt △BCB 2中,CB 2=1 000-400=600,∠CBB 2=45°. ∵sin ∠CBB 2=
2
CB CB
, ∴CB=
2
2
CB sin CBB ∠
所以
1 328(米). 答：钢缆AB 和BC 的总长度约为1 328米.
3.过点C 作CD ⊥AB 交BA 的延长线于D ，则AD 即为潜艇C 的下潜深度.
根据题意得∠ACD=30°,∠BCD=68°. 设AD=x,则BD=BA+AD=1 000+x.
在Rt △ACD 中，CD=
AD
tan ACD ∠ =30x tan ︒
在Rt △BCD 中，BD ＝CD ·tan68°.
∴·tan68°.解得
308.
即潜艇C 离开海平面的下潜深度约为308米.
类型2 方位角问题
1.过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D.
由题意得∠CAD ＝30°,∠CBD ＝53°,AC ＝80海里，∴CD ＝40海里. 在Rt △CBD 中，sin53°＝CD
CB
， CB ＝
53CD sin ︒≈40
0.8
＝50(海里).
行驶时间50
40
＝1.25(小时).
答：海警船到达C 处需1.25小时.
2.过点C 作CP ⊥AB 于P ，
∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB ∥EF ， ∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°.
∵轮船的速度是45 km/h ，轮船航行2小时， ∴BC=90.
∵BC 2
=BP 2
+CP 2
，∴
∵∠CAP=60°，∴tan60°=
CP AP ,
∴
∴100(km). 答：小岛A 与小岛B 之间的距离是100 km.
类型3 坡度(坡比)问题
1.在Rt △ABC 中，tan ∠ACB=
AB
BC 3， ∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，∠PAC=30°， ∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=90°， ∴∠DAC=60°.
在Rt △ABC 中，∵∠ACB=30°，∴AC=2AB=6.
在Rt △ACD 中，DC=AC ·tan ∠DAC=6×tan60°
在Rt △CDE 中，DE=DC ·sin ∠×sin60°=9(米). 答：树DE 的高为9米.
2.延长OA 交直线BC 于点D.
∵OA 的倾斜角是60°，
∴∠ODB ＝60°，∠ACD ＝30°， ∠CAD ＝180°-∠ODB-∠ACD ＝90°.
在Rt △ACD 中，AD ＝AC ·tan ∠ACD ＝
2×3=3
2
(米). ∴CD ＝2AD ＝3米.
又∵∠O ＝60°，∴△BOD 为等边三角形，
∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋3
2
＝4.5(米).
∴BC＝BD-CD＝4.5-3＝1.5(米).
答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.。