演绎深化

命题与解题
演绎深化———命制平面几何试题的一条重要途径
羊明亮
(湖南师范大学数学与计算机科学学院,410081)
收稿日期:2004-08-11　修回日期:2004-12-13
平面几何具有深刻的逻辑结构、丰富的直观背景和鲜明的认知层次,是训练和培养学生逻辑思维与演绎推理能力的理想素材,因而,在各级数学竞赛中,平面几何始终占据重要位置.
那么,怎样才能命制出好的几何竞赛题呢?这其中的方法与技巧,许多文章都作过介绍.本文仅从演绎深化的四个层次来谈谈平面几何竞赛题的命制,以求教于同行.1　着眼于扩大条件与结论之间的距离
为了保持数学竞赛的特色与水准,命题者常常在题目的创新上花费大量心血,而着眼于扩大条件与结论之间的距离,演绎出新题是一种常用的手段.
题1　三角形的两顶点与其内心、外心、垂心中的两个心四点共圆的充分必要条件是另一顶点处的内角为60°.
题2　设I 为△ABC 的内心,点B 1、C 1
分别为边AC 、AB 的中点,射线B 1I 交边AB 于点B 2,射线C 1I 交边AC 于点C 2.则S △ΑΒC =S △ΑΒ2C 2
的充分必要条件是∠BAC =60°.其中题2的必要性即为第31届I M O 的一道预选题.沈文选教授结合上述两题,演绎出了新的赛题题3.
题3　设点I 、H 分别是锐角△ABC 的内心和垂心,点B 1、C 1分别为边AC 、AB 的
中点.已知射线B 1I 交边AB 于点B 2(B 2≠
B ),射线
C 1I 交边AC 的延长线于点C 2,B 2C 2与BC 相交于K ,A 1为△BHC 的外心.
试证:A 、I 、A 1三点共线的充分必要条件是△B K B 2和△CKC 2的面积相等.
(2003,中国数学奥林匹克)
题4　△ABC 的三边长分别为AB =c ,
BC =a ,C A =b ,AD 、B E 、CF 分别为△ABC
的三条内角平分线.若A 、F 、D 、E 四点共圆,求证:
a b +c
=
b c +a
+
c a +b
.
(2000,蒙古数学奥林匹克)
若不直接给出A 、F 、D 、E 四点共圆,而给出四点共圆的一个必要条件,便得到下面的题5.
题5　设△ABC 的三边长分别为AB =
c ,BC =a ,C A =b ,a 、b 、c 互不相等,AD 、B E 、CF 分别为△ABC 的三条内角平分线,且DE =DF .证明:
a b +c
=b c +a
+c a +b
.
(2003,女子数学奥林匹克)
我们再看下面的题6.图1
题6　如图1,已知E 、F 、G 、H 分别是平行四边形
ABCD 的四边上任意
的点,O 1、O 2、O 3、
O 4分别是△A EF 、△B FG 、△CGH ,△DHE 的
外心.求证:四边形O 1O 2O 3O 4为平行四边
1
12005年第5期
形.
冷岗松教授将图1遮掩一半,扩大与结论之间的距离,便有如下赛题.
图2
题7　如图2,在给定梯形ABCD 中,AD ∥
BC ,E 为边AB 上的动
点,O 1、O 2分别是△A ED 和△B EC 的外心.求证:O 1O 2的长为定值.
(2002,西部数学奥林匹克)2　着眼于已有的知识和方法
对于一个已知图形,深入挖掘其隐含的性质,可以演绎出有价值的新题.
题8　在Rt △ABC 中,AD 是斜边上的高,联结△ABD 的内心I 1与△ACD 的内心I 2的直线分别与边AB 及边AC 相交于M 及N 点.△ABC 与△AMN 的面积分别记为S 与
T .求证:S ≥2T .
(第29届I M O )
若记△ABD 、△ACD 内切圆分别为⊙O 1、⊙O 2,两圆的另一条外公切线分别交边AB 、AC 、AD 于P 、Q 、M .深入探索此图形的性质,便有了下面的题9.
题9　在Rt △ABC 中,AD 是斜边上的高,⊙O 1、⊙O 2分别为△ABD 、△ACD 的内切圆.两圆的另一条外公切线分别交边AB 、
AC 、AD 于P 、Q 、M .求证:
(1)P 、B 、C 、Q 四点共圆;
(2)A P AB +AQ AC =2AM AD
;(3)∠PO 1Q =∠PO 2Q =90°.
通过对题8的深入研究,可以得到一系列的试题,参见文[1].
另外,由已知的静态型图形向未知的动
态型图形探索,也可得到许多新的性质,从而演绎出新题.
由题8知,当且仅当Rt △ABC 为等腰直角三角形时,S △ABC =2S △AMN .现让点D 运动,笔者发现,取BC 的中点时,不需要等腰这个条件,也有S △ABC =2S △AMN .
题10　在Rt △ABC 中,D 为斜边BC 的
中点,I 1、I 2分别是△ABD 、△ACD 的内心,过
I 1、I 2的直线分别交AB 、AC 于M 、N .求证:S △ABC =2S △AMN .
(2004,湖南省夏令营测试题)3　着眼于简单、平凡的事实
从一个基本问题或基本图形或一组条件出发,进行逻辑推理,从易到难,可以演绎出一些较难、不平凡的新题.
图3
题11　如图3,设
C A 、B E 、DG 分别是锐
角△DBC 三边上的高,则△DBC 的垂心
F 是△A E
G 的内心.
这是一个平凡的问题,对它加以拓广,可演绎出一系列不平凡
的赛题.
首先,C A 仍然是高,而F 只是线段C A 内任一点,便有如下的赛题.
图4
题12　如图4,在锐角△DBC 中,C A 是边BD 上的高,F 是线段C A 内任一点,DF 和B F 的延长线分别交边BC 、CD
于G 、E .求证:∠G AC =∠E AC .
(1993,澳门数学奥林匹克(第3轮))
注:此题还被选为1994年加拿大数学奥林匹克试题及2001年爱尔兰数学奥林匹克
21中等数学
试题.
若把此题中“锐角三角形”和“F 介于C 、
A 之间”的限制取消,则结论成立或出现
∠G AC 与∠E AC 互补之情形.
萧振纲教授更进一步,把线段变成向下凸的折线段BAD ,得到了下面的赛题.图5
题13　如图5,在凸四边形ABCD 中,对角线AC 平分∠BAD ,在CD 上取一点E ,B E 与AC 相交于F ,延长DF 交BC 于G .求证:∠G AC =∠E AC .
(1999,全国高中数学联赛)4　着眼于问题的反面或逆命题
一道试题,可演变出逆命题、否命题、逆否命题,因此,对已有的竞赛题作逆向思考或反面思考,演绎出新题,也是命制平面几何试题的一种常见且有效的方法.
我们熟知这样一个命题:
正三角形内任意一点到三边的距离和是
一定值.
此命题的逆命题也成立,即
若三角形内任意一点到三边的距离和是一定值,则此三角形为正三角形.
现考虑四边形,平行四边形内任意一点到四边的距离和是一定值,其逆命题为
题14　证明:若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值,则ABCD 为平行四边形.
(2003,西部数学奥林匹克)
此题看似简单,但证明的难度却较大.题15　已知过△ABC 的顶点A 的中线
AM 和高线AH 关于∠BAC 的角平分线AD 对
称.试找出所有满足条件的△ABC .
(2001,匈牙利数学奥林匹克)
容易验证,当AB =AC 或∠BAC =90°时,都满足过△ABC 的顶点A 的中线和高线关于其角平分线对称.而本赛题就是考虑其逆命题.可求出满足题意的△ABC 为AB =
AC 或∠BAC =90°.
参考文献:
[1]　沈文选.直角三角形中的一些数量关系[J ].中学数学
(湖北),1997(7).
(上接第5页)
(答案:销售价定为160元时,每日的销售的最
大利润是1600元.)
4.在一个矩形花坛中,修建两相同的喷水器,使
花坛全部能喷到水.已知每个喷水器的喷水区域是半径为10m 的圆.问如何设计(求出两喷水器的距离和矩形的长、宽),才能使矩形花坛的面积最大?
(2003,全国初中数学竞赛河南省预赛)
(答案:设计成的矩形花坛的两边长为102m 、202m ,此时花坛的面积最大.)
5.某环形道路上顺次排列有四所中学:A 1、A 2、A 3、A 4,它们顺次有彩电15台、8台、5台、12台,为使
各校的彩电数相同,允许一些中学向相邻中学调出
彩电.问怎样调配才能使调出彩电总台数最少?
(1997,上海市数学竞赛)
(提示:调动方案有4种,见图5.
)
图5
3
12005年第5期。