中考数学二轮复习提高题专题复习平行四边形练习题及答案

中考数学二轮复习提高题专题复习平行四边形练习题及答案
一、选择题
1．已知PA 2PB 4==，，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两
侧．当∠APB=45°时，PD 的长是( )；
A ．25
B ．26
C ．32
D ．5
2．如图，在菱形ABCD 中，点F 为边AB 的中点，DF 与对角线AC 交于点G ，过点G 作GE AD ⊥于点E ，若2AB =，且12∠=∠，则下列结论不正确的是（ ）
A ．DF A
B ⊥ B ．2CG GA =
C ．CG DF GE =+
D ．31BFGC S =-四边形
3．如图，在长方形ABCD 中，AD=6，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连结PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
4．如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，将直角边AC 绕A 点逆时针旋转至AC ′，连接BC ′，E 为BC ′的中点，连接CE ,则CE 的最大值为( ).
A 5
B 21
C 21
D 51 5．如图，正方形ABCD 中，AB=12，点
E 在边CD 上，且CD=3DE ，将△ADE 沿AE 对折至
△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，下列结论： ①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC =28.8． 其中正确结论的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，4=AD ，2AB =，点E 是折线
BC CD DA --上的一个动点(不与A 、B 重合)．则ABE △的面积的最大值是( )
A ．
32
B ．1
C ．32
D ．23
7．如图，正方形ABCD 的边长为5，4AG CH ==，3BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）
A ．
43
5
B ．75
C ．2
D ．52-
8．如图，四边形ABCD 是正方形，直线L 1、L 2、L 3，若L 1与L 2的距离为5，L 2与L 3的距离7，则正方形ABCD 的面积等于（ ）
A ．70
B ．74
C ．144
D ．148
9．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 均在x 轴正半轴上，若已知正方形1111D C B A 的
边长为1，1160B C O ︒
∠=，且112233////B C B C B C ，则点3A 的坐标是( )
A ．331(3,)26++
B ．333(3,)218++
C ．331(3,)26++
D ．333(3,)218
++ 10．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，E 是CD 的中点，将BCE 沿BE 翻折至BFE ，连接DF ，则DF 的长度是（ ）
A ．
5 B ．
25
C ．
35
5
D ．
45
5
二、填空题
11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．
12．已知：点B 是线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 的同侧作等边ABD △和等边BCE ，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，连接MN ．若AC=6，设BC=2，则线段MN 的长是__________．
13．如图所示，菱形ABCD ，在边AB 上有一动点E ，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD
边交于点F ，线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，得到四边形EGFH ，点E 在运动过程中，有如下结论： ①可以得到无数个平行四边形EGFH ； ②可以得到无数个矩形EGFH ； ③可以得到无数个菱形EGFH ； ④至少得到一个正方形EGFH ． 所有正确结论的序号是__．
14．如图，在等边ABC 和等边DEF 中，FD 在直线AC 上，33,BC DE ==连接
,BD BE ，则BD BE +的最小值是______．
15．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+1
2
∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S
=2
CEF
S
； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结
论的字号都填在横线上)．
16．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．
17．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．
18．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．
19．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则
BC =_________．
20．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒
45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．
三、解答题
21．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）． （1）求证：AF ∥CE ；
（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为
32
cm 2
； （3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．
22．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．
（1）如图（1），当90GOD ∠=︒， ①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>
；
（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，5HG =，求DE 的长．
23．如图，四边形OABC 中，BC ∥AO ，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ． （1）当t 为何值时，四边形BNMP 为平行四边形？
（2）设四边形BNPA 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．
（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于
F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECF
G ．
（1）求证：四边形ECFG 是菱形；
（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长． 25．正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B ，O ，D 重合），连接CP 并延长，分别过点D ，B 向射线作垂线，垂足分别为点M ，N ．
（1）补全图形，并求证：DM ＝CN ；
（2）连接OM ，ON ，判断OMN 的形状并证明．
26．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点
E 在边AD 的延长线上，且,DE B
F B
G CF =⊥，垂足为
H ，BH 的延长线交AC 于点
G .
（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积； （2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.
27．在正方形AMFN 中，以AM 为BC 边上的高作等边三角形ABC ，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至点D ，D 点恰好落在NF 上，连接BD ，AC 与BD 交于点E ，连接CD ， (1)如图1，求证：△AMC ≌△AND ； (2)如图1，若DF=
3
，求AE 的长；
(3)如图2,将△CDF 绕点D 顺时针旋转α（090α<<）,点C,F 的对应点分别为1C 、1F ，连接1AF 、1BC ，点G 是1BC 的中点,连接AG ，试探索1
AG
AF 是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.
28．在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交CD 边于点E ．点F 在BC 边上，且FE⊥AE． （1）如图1，①∠BEC=_________°；
②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
（2）如图2，FH∥CD 交AD 于点H ，交BE 于点M ．NH∥BE，NB∥HE，连接NE ．若AB=4，AH=2，求NE 的长．
29．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ．
（1）求证：AG AE =
（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM
30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值； （3）当32
5
t =
时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
过P 作PB 的垂线，过A 作PA 的垂线，两条垂线相于与E ，连接BE ，由∠APB=45°可得∠EPA=45°，可得△PAE 是等腰直角三角形，即可求出PE 的长，根据角的和差关系可得∠EAB=∠PAD ，利用SAS 可证明△PAD ≌△EAB ，可得BE=PD ，利用勾股定理求出BE 的长即可得PD 的长. 【详解】
过P 作PB 的垂线，过A 作PA 的垂线，两条垂线相交与E ，连接BE ，
∵∠APB=45°，EP ⊥PB ， ∴∠EPA=45°， ∵EA ⊥PA ，
∴△PAE 是等腰直角三角形， ∴PA=AE ，PE=2PA=2， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠EAP=∠DAB=90°，
∴∠EAP+∠EAD=∠DAB+∠EAD ，即∠PAD=∠EAB ， 又∵AD=AB ，PA=AE ， ∴△PAD ≌△EAB ，
∴PD=BE=22PE PB +=2224+=25，
故选A. 【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质并正确作出辅助线是解题关键.
2．D
解析：D 【分析】
A 、由四边形ABCD 是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD ，AE=ED ，由SAS 证得△AFG ≌△AEG ，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出A 正确；
B 、由DF ⊥AB ，F 为边AB 的中点，证得AD=BD ，证出△ABD 为等边三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由2cos ,cos AF
AC AB BAC AG BAC
=⋅∠=∠ ,求出AC ，
AG ，即可得出B 正确； C 、由勾股定理求出22DF AD AF =-，由GE=tan ∠2·ED 求出GE ，即可得出C 正确；
D 、四边形BFGC 的面积=△ABC 的面积-△AGF 的面积,可以发现D 不对.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是菱形，
FAG EAG ∴∠=∠，1GAD ∠=∠，AB AD =， 12∠=∠， 2GAD ∴∠=∠， AG GD ∴=. GE AD ⊥， GE ∴垂直平分AD .
AE ED ∴=.
点F 为AB 的中点，
AF AE ∴=.
易证()SAS AFG AEG ∆≅∆.
90AFG AFG ∠∴∠==︒.
DF AB ∴⊥故A 正确.
DF AB ⊥，点F 为AB 的中点，
112
AF AB ∴==，AD BD =. AD BD AB ==，
ABD ∴为等边三角形.
60BAD BCD ∠∴∠==︒.
1230BAC ∠=∠=∠=∴︒.
2cos 222
AC AB BAC ∴=⋅∠=⨯⨯=，
cos 32
AF AG BAC ===∠.
33CG AC AG ∴=-==. 2CG GA ∴=，故B 正确. GE 垂直平分AD ，
112
ED AD ∴==，
DF ∴==
tan 21tan 303GE ED ∴=∠⋅=⨯︒=
.
DF GE CG ∴+===.故C 正确. 130BAC ∠=∠=︒，ABC ∆∴的边AC 上的高等于AB 的一半，即为1
，
12FG AG ==，
111122ABC AGF BFGC S S S ∆∴=-=⨯-⨯=四边形D 不正确. 【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度.
3．C
解析：C
【分析】
连接EG、FH，根据题意可知△AEF与△CGH全等，故EF=GH，同理EG=FH，再证四边形EGHF为平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和是平行四边形的面积一半，平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小的直角三角形的面积即可求得.
【详解】
连接EG、FH，如图所示，
在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，
∴AE=AB-BE=4-1=3，CH=CD-DH=3，
∴AE=CH,
在△AEF和△CGH中，AE=CH,∠A=∠C=90°，AF=CG,
∴△AEF≌△CGH，
∴EF=GH,
同理可得△BGE≌△DFH，
∴EG=FH,
∴四边形EGHF为平行四边形，
∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，
∴△PEF和△PGH的面积和=1
2
⨯平行四边形EGHF的面积，
求得平行四边形EGHF的面积=4⨯6--1
2
⨯2⨯3-
1
2
⨯1⨯（6-2）-
1
2
⨯2⨯3-
1
2
⨯1⨯（6-2）=14，
∴△PEF和△PGH的面积和=1
14
2
⨯=7.
【点睛】
此题主要考察矩形的综合利用.
4．B
解析：B
【分析】
取AB的中点M，连接CM，EM，当CE＝CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到
AC′＝AC＝2，由三角形的中位线的性质得到EM
1
2
=AC′＝1，根据勾股定理得到
AB ＝22，即可得到结论． 【详解】
取AB 的中点M ，连接CM ，EM ，∴当CE ＝CM +EM 时，CE 的值最大．
∵将直角边AC 绕A 点逆时针旋转至AC ′，∴AC ′＝AC ＝2．
∵E 为BC ′的中点，∴EM 12
=AC ′＝1． ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝22，∴CM 12
=
AB 2=，∴CE ＝CM +EM 21=+． 故选B ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
由正方形的性质和折叠的性质得出AB =AF ，∠AFG =90°，由HL 证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确；
设BG =FG =x ，则CG =12﹣x ．由勾股定理得出方程，解方程求出BG ，得出GC ，即可得出②正确；
由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∠AGB =∠GCF ，得出AG ∥CF ，即可得出③正确；
通过计算三角形的面积得出④错误；即可得出结果．
【详解】
①正确．理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =AD =12，∠B =∠GCE =∠D =90°，由折叠的性质得：AF =AD ，∠AFE =∠D =90°，∴∠AFG =90°，AB =AF ．在Rt △ABG 和Rt △AFG
中，AG AG AB AF
=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ）； ②正确．理由如下： 由题意得：EF =DE =
13CD =4，设BG =FG =x ，则CG =12﹣x ．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（12﹣x）2+82=（x+4）2，解
得：x=6，∴BG=6，∴GC=12﹣6=6，∴BG=GC；
③正确．理由如下：
∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GC F=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF；
④错误．理由如下：
∵S△GCE=1
2
GC•CE=
1
2
×6×8=24．
∵GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE=3：2，∴S△GFC=3
5
×24=
72
5
≠28.8．
故④不正确，∴正确的有①②③．
故选B．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定的难度．
6．D
解析：D
【分析】
分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD 上时，△ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论．
【详解】
解：分三种情况：
①当点E在BC上时，E与C重合时，△ABE的面积最大，如图1，
过A作AF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°，
∵∠C=120°，
∴∠B=60°，
Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴
BF=1
2
AB=1，
AF=3，
∴此时△ABE的最大面积为：
1
2
×4×3=23；
②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积=
1
2
S▱ABCD=
1
2
×4×3=23；
③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积=23，
综上，△ABE的面积的最大值是23；
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．
7．C
解析：C
【分析】
延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-
BG=1，HE=CH-CE=1，∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．
【详解】
解：如图，延长BG交CH于点E，
在△ABG和△CDH中，
AB CD
AG CH
BG DH
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
AG2+BG2=AB2，
∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，
又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，
在△ABG 和△BCE 中，
1324AB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ABG ≌△BCE （ASA ），
∴BE=AG=4，CE=BG=3，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE -BG=4-3=1，
同理可得：HE=1，
在Rt △GHE 中，
=
故选：C.
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE 为等腰直角三角形是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
先作出1l 与2l ，2l 与的3l 距离AE 、CF ，证明△ABE ≌△BCF ，得到BF=AE ，再利用勾股定理即可得到答案.
【详解】
过点A 作AE ⊥2l ,过点C 作CF⊥2l ,
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC,∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF,
在△ABE 和△BCF 中，
BAE CBF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ABE ≌△BCF ，
∴BF=AE=5，
在Rt △BCF 中，CF=7，BF=5，
∴222225774BC BF CF =+=+=,
∴正方形ABCD 的面积=274BC =,
故选：B.
【点睛】
此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质定理，平行线之间的距离处处相等，题中证明两个三角形全等是解题的关键，由此将两个距离5和7变化到一个直角三角形中，由此利用勾股定理解决问题.
9．C
解析：C
【分析】
根据两直线平行，同位角相等可得∠B 3C 3O=∠B 2C 2O=∠B 1C 1O=60°，然后利用三角形全等可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2，E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4，解直角三角形求出OC 1、C 1E 、E 1E 2、E 2C 2、C 2E 3、E 3E 4、E 4C 3，再求出B 3C 3，过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ，过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，先求出A 3M ，再解直角三角形求出A 3N 、C 3N ，然后求出ON ，再根据点A 3在第一象限写出坐标即可．
【详解】
解∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，
∴∠B 3C 3O =∠B 2C 2O =∠B 1C 1O =60°，
∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，B 1C 1=C 1D 1，∠B 1C 1D 1=90°，
∴∠C 1B 1O=∠D 1C 1E 1=30°，
∴△C 1B 1O ≌△D 1C 1E 1；
∴B 1O=C 1E 1，OC 1=D 1E 1，
同理可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2；E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4；
111122223111111222
OC D E E E B E C E B C ∴=====
=⨯= 11113331C E D C === 2234342231332E C E E B E E ===
== 433433313636
E C B E ==⨯= 3343112263
B C E C ∴==⨯= 过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ,过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，
则332323333331133333A M A D D B C B C +=+=+=+= 333333312926A N A M =
== 3313313322C M A M ++=== 343133331233186C N E M C M ⎛⎫∴=-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭
111122223343ON OC C E E E E C C E E E C N =++++++
1313131313322262
-=++++++= ∵点A 3在第一象限，
∴点A 3的坐标是33132+⎭
. 故选C.
【点睛】
本题考查正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，30°角的直角三角形.熟练掌握有30°角的直角三角形各边之间的数量关系是解决本题的关键.
10．D
解析：D
【分析】
由勾股定理可求BE 的长，由折叠的性质可得CE ＝EF ＝2，BE ⊥CF ，FH ＝CH ，由面积法可求CH ＝455，由勾股定理可求EH 的长，由三角形中位线定理可求DF ＝2EH ＝55
． 【详解】
解：如图，连接CF ，交BE 于H ，
∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，
∴BE＝2216425
BC CE
+=+=，
∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，
∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，
∵S△BCE＝1
2
×BE×CH＝
1
2
×BC×CE，
∴CH＝45
5
，
∴EH=22
1625 4
55
CE CH
-=-=，∵CE＝DE，FH＝CH，
∴DF＝2EH＝45
5
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
二、填空题
11．5 2
【分析】
连接DM，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN
-≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．
【详解】
连接DM，如下图所示，
∵90BAC EDF ∠=∠=︒
又∵M 为EF 中点
∴AM=DM=12
EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）
∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线
∴DN=12AB=52
∴AM MN -的最大值为
52 故答案为
52
． 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．
12
【分析】
如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得
//,4ME AB ME AB ==，再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=︒，然后利用直角
三角形的性质、勾股定理可得2,EF MF ==，从而可得3FN =，最后在Rt FMN 中，利用勾股定理即可得．
【详解】
如图，连接ME ，过点M 作MF CE ⊥，交CE 延长线于点F ，
ABD △和BCE 都是等边三角形，2BC =，
60,2,A CBE C BE CE AD A C B B ∴∠=∠=∠=︒====，
//AD BE ∴，
6AC =，
624AD AB ∴==-=，
点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，
112,122
AM AD EN CE ∴=
===， AM BE ∴=，
∴四边形ABEM 是平行四边形，
//,4ME AB ME AB ∴==， 60FEM C ∴∠=∠=︒，
在Rt EFM △中，906030EMF ∠=︒-︒=︒，
12,2EF ME MF ∴====
∴=+=+=，
FN EN EF
123
则在Rt FMN中，2222
=+=+=，
MN FN MF
3(23)21
故答案为：21．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．
13．①③④
【分析】
由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，
∴GH过点O，GH⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，
∴△AHO≌△CGO（AAS），
∴HO＝GO，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形，
∵点E是AB上的一个动点，
∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，
随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，
故①③正确；
若四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，
∴∠GOF＝90°；
∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOG＝∠COF；
在△BOG和△COF中，
∵
BOG COF BO CO
GBO FCO ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG＝OF，
同理可得：EO＝OH，
∴GH＝EF；
∴四边形EGFH是正方形，
∵点E是AB上的一个动点，
∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．
1437
【分析】
如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．证明BE=DT，BD=DW，把问题转化为求DT+DW的最小值．
【详解】
解：如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．
∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC=3DE=3，∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，
∴DE∥TC，
∵DE=BT=1，
∴四边形DEBT是平行四边形，
∴BE=DT，
∴BD+BE=BD+AD，
∵B，W关于直线AC对称，
∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW，
∴∠WCK=60°，
∵WK⊥CK，
∴∠K=90°，∠CWK=30°，
∴CK=1
2
CW=
3
2
，3
33
2
，
∴TK=1+3+3
2
=
11
2
，
∴
2
2
22
1133
22
TK WK
⎛⎫
⎛⎫
+=+ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
37
∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW，
∴37
∴BD+BE37，
37．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．15．(1) (2) (4)
【分析】
由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；
由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得
出CF=1
2
EM=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF，得出(2)正确；
证出S △EFC =S △CFM ，由MC ＞BE ，得出S △BEC ＜2S △EFC ，得出(3)错误；
由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．
【详解】
(1)∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，
∴AF=FD=CD=AB ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠FCB ，∠BCD+∠D=180°，
∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠DCF=1
2∠BCD ， ∴∠DCF+12
∠D=90°，故(1)正确； (2)延长EF ，交CD 延长线于M ，如图所示：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠A=∠MDF ，
∵F 为AD 中点，
∴AF=FD ，
在△AEF 和△DMF 中，
A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEF ≌△DMF(ASA)，
∴EF=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF ，
∴CF=12
EM=EF ， ∴∠FEC=∠ECF ，
∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；
(3)∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，故(3)错误；
(4)∵∠B=80°，
∴∠BCE=90°-80°=10°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=180°-80°=100°，
∴∠BCF=1
2
∠BCD=50°，
∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，
∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．
故答案为：(1)(2)(4)．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明
△AEF≌△DMF是解题关键．
16．①②③④
【分析】
根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得
∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．
【详解】
解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，故①正确；
设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，
∵△ABG ≌△AEC ，
∴∠ACE ＝∠AGB ，
∵∠AKG ＝∠NKC ，
∴∠CNG ＝∠CAG ＝90°，
∴BG ⊥CE ，故②正确；
过点E 作EP ⊥HA 的延长线于P ，过点G 作GQ ⊥AM 于Q ，如图2，
∵AH ⊥BC ，
∴∠ABH +∠BAH ＝90°，
∵∠BAE ＝90°，
∴∠EAP +∠BAH ＝90°，
∴∠ABH ＝∠EAP ，即∠EAM ＝∠ABC ，故④正确；
∵∠AHB =∠P =90°，AB =AE ，
∴△ABH ≌△EAP （AAS ），
∴EP ＝AH ，
同理可得GQ ＝AH ，
∴EP ＝GQ ，
∵在△EPM 和△GQM 中，
90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EPM ≌△GQM （AAS ），
∴EM ＝GM ，
∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．
17．4
2
a
-23
【分析】
先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即a 最小，可计算a的值，从而得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵∠ACB=30°，BC=23，
∴AB=2，AC=4，
∵AG=a，
∴CG=4a
-，
如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，
Rt△CGH中，∠ACB=30°，
∴GH=1
2
CG=
4
2
a
-
，
则点G到BC边的距离为4
2
a
-
，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH=
4
2
2
a
-
-=
2
a
，
∴S△ADG
113
23
2222
a a
AD MG
=⋅=⨯⨯=，
当a最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，
∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴4
2
a
a -
=，
∴
4
3
a=，
∴△ADG 3423
3
=，
故答案为：4
2
a
-23
．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
18．32
【详解】
解析：∵在正方形ABCD中，AC=62
∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°
设EF与AD交点为O，O是AD的中点,
∴AO=3
以AD为对角线的所有▱AEDF中，当EF⊥AC时，EF最小，
即△AOE是直角三角形，
∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=
2
2
OA=
32
2
，
∴EF=2OE=32
19．663
【分析】
通过四边形ABCD是矩形以及CE CB BE
==，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直
角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可．
【详解】
解：如图，设NE交AD于点K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC
==，
∵CE CB BE
∴△BCE为等边三角形，
∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，
∵∠FEM=∠BEC，
∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，
∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，
∵EN⊥BE，
∴∠NEM=∠NEB=90°，
∴∠NKA=∠MKE=30°，
∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，
∴在Rt△KME中，KE=2223
KM EM
-=，
∴NE=NK+KE=6+23，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴BN=2NE=12+43，
∴BE=22663
-=+，
BN NE
∴BC=BE=663，
故答案为：663
【点睛】
本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．
20．（-2，0）
【分析】
先计算得到点D的坐标，根据旋转的性质依次求出点D旋转后的点坐标，得到变化的规律
即可得到答案．
【详解】
∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，
∴对角线的交点D 的坐标是（2,2），
∴OD ==
将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，
旋转1次后坐标是（0，），
旋转2次后坐标是（-2,2），
旋转3次后坐标是（-，0），
旋转4次后坐标是（-2，-2），
旋转5次后坐标是（0，-
旋转6次后坐标是（2，-2），
旋转7次后坐标是（,0），
旋转8次后坐标是（2,2）
旋转9次后坐标是（0，
由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，
∵201982523÷=，
∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-，0）
故答案为：（-0）．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）t ＝2；（3）t ＝1．
【分析】
（1）由菱形的性质可得AB ＝CD ，AB ∥CD ，可求CF ＝AE ，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AD ＝2cm ，∠ADN ＝60°，由直角三角形的性质可求AN ＝
cm ，由三角形的面积公式可求解；
（3）由菱形的性质可得EF ⊥GH ，可证四边形DFEM 是矩形，可得DF ＝ME ，由直角三角形的性质可求AM ＝1，即可求解．
【详解】
证明：（1）∵动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动， ∴DF ＝BE ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）如图1，过点A作AN⊥CD于N，
∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴DN＝1
2
AD＝1cm，AN＝3DN＝3cm，
∴S△ADF＝1
2×DF×AN＝
1
2
×
1
2
t×3＝
3
2
，
∴t＝2；
（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴FA＝CE，
∵点G是AF的中点，点H是CE的中点，
∴FG＝CH，
∴四边形FGHC是平行四边形，
∴CF∥GH，
∵四边形EHFG为菱形，
∴EF⊥GH，
∴EF⊥CD，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
又∵DM⊥AB，
∴四边形DFEM是矩形，
∵∠DAB ＝60°，
∴∠ADM ＝30°，
∴AM ＝12
AD ＝1cm ， ∵AM+ME+BE ＝AB ，
∴1+12t+12
t ＝2， ∴t ＝1．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
22．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）3DE =
． 【分析】
（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，
①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；
②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得，利用三角形三边关系即可得结论； （2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．
【详解】
（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，
∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒
∴四边形DGHM 为平行四边形，
∴DM=GH ，GD HM =，
∵90GOD ∠=︒，
∴90EDM EOH ∠=∠=︒，
∴290EDC ∠+∠=︒，
∵90ADC ∠=︒，
∴190EDC ∠+∠=︒，
∴12∠=∠，
在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ADE CDM ∆∆≌，
∴DE DM =，
∴DE GH =．
②在DEM ∆中，∠EDM=90°，
∴222DE DM EM +=，
∵DE DM =，
∴222DE EM =， ∴2EM DE =，
在EHM ∆中，HM EH EM +>，
∵GD HM =， ∴2GD EH GH +≥．
（2）如图（2），过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，则四边形GHND 为平行四边形， ∴DN HG =，GD HN =，
∵90C ∠=︒，4CD AB ==，25HG DN == ∴222CN DN DC =-=，
∴422BN BC CN =-=-=，
作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，
在ADM ∆和CDN ∆中90C MAD CDN ADM DC AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ADM CDN ∆∆≌，
∴AM NC =，DM DN =，
∵45GOD EOH ∠=∠=︒，
∴45EDN ∠=︒，
∴45ADE CDN ∠+∠=︒，
∴45ADE ADN MDE ∠+∠=︒=∠，
在MDE ∆和NDE ∆中MD ND MDE EDN DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴MDE NDE ∆∆≌，
∴EM EN =，即AE AM AE CN EN +=+=，
设AE x =，则BE=4-x ，
在Rt BEN ∆中，2222(2)x x +=+， 解得：43x =
， ∴2
222441043DE AD AE ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理，并正确作出辅助线是解题关键．
23．（1）
34；（2）y =4t +2；（3）存在，点M 的坐标为（1，0）或（2，0）． 【分析】
（1）因为BN ∥MP ，故当BN=MP 时，四边形BNMP 为平行四边形，此时点M 在点P 的左侧，求解即可；
（2）y =12
（BN +PA ）•OC ，即可求解； （3）①当∠MQA 为直角时，则△MAQ 为等腰直角三角形，则PA =PM ，即可求解；②当∠QMA 为直角时，则NB +OM =BC =3，即可求解．
【详解】
（1）∵BN ∥MP ，故当BN =MP 时，四边形BNMP 为平行四边形．
此时点M 在点P 的左侧时，即0≤t ＜1时，
MP =OP ﹣OM =3﹣t ﹣2t =3﹣3t ，BN =t ，
即3﹣3t=t，解得：t=3
4
；
（2）由题意得：由点C的坐标知，OC=4，
BN=t，NC=PO=3﹣t，PA=4﹣OP=4﹣（3﹣t）=t+1，
则y=1
2
(BN+PA)•OC=
1
2
(t+t+1)×4=4t+2；
（3）由点A、C的坐标知，OA=OC=4，
则△COA为等腰直角三角形，故∠OCA=∠OAC=45°，①当∠MQA为直角时，
∵∠OAC=45°，故△MAQ为等腰直角三角形，
则PA=PM，
而PA=4﹣(3﹣t)=t+1，PM=OP﹣OM=(3﹣t)﹣2t=3﹣3t，
故t+1=3﹣3t，解得：t=1
2
，则OM=2t=1，
故点M（1，0）；
②当∠QMA为直角时，
则点M、P重合，
则NB+OM=BC=3，即2t+t=3，解得：t=1，
故OM=OP=2t=2，
故点M（2，0）；
综上，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．
【点睛】
本题是四边形综合题，涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等，复杂度较高，难度较大，其中（3）要分类求解，避免遗漏．
24．（1）详见解析；（2）是，详见解析；（3）
【分析】
（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可判断出
△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，
∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，。