高中数学 第3章 不等式组与简单的线性规划问题3 简单的线性规划问题习题 苏教版必修5

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简单的线性规划问题
（答题时间：40分钟）
*1. 设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤≤≤≤122010x y y x ，则z 的取值范围是________。

*2. 某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买两套，共有________种买法。

*3. 在二元一次方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧>++<<0400y x y x 表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点
坐标为________。

**4. 已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2。

若目标函数z ＝ax ＋y （其中a ＞0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a 的取值范围为________。

**5. 如果点P 在平面区域⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 内，点Q 在曲线x 2＋（y ＋2）2
＝1上，那么|PQ |
的最小值为________。

**6 . 一批长400 cm 的条形钢材，需要将其截成518 mm 与698 mm 的两种毛坯，则钢材的最大利用率为________。

**7. 已知变量x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，
（1）设y ＝－2x ＋p ，求p 的最大值和最小值； （2）求
x
y
的取值范围； （3）求x 2
＋y 2
的取值范围。

**8. 已知实数x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 12,1，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，
－1]，求目标函数的最大值的取值范围。

***9. 某家具厂有方木料90 m3，木工板600 m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，木工板2 m3；生产每个书橱需要方木料0.2 m3，木工板1 m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元。

问：怎样安排生产可以获利
最大？
1. [4，8]
解析：作出满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤≤≤≤122010x y y x 的可行域（如图所示）。

作直线2y －2x ＝0，并将其平移，
由图象可知当直线经过点A （0，2）时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B （1，1）时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4。

所以z 的取值范围是[4，8]。

2. 16
解析：设票面8角的买x 套，票面2元的买y 套。

由题意得：⎪⎩
⎪⎨⎧≤⨯+⨯∈≥∈≥504258.0,2,2*
*y x N y y N x x
即⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧∈≤+≥≥*,,2542,2,2N
y x y x y x
画出如图平面区域得
y ＝2时，x ＝2，3，4，5，6，7，8； y ＝3时，x ＝2，3，4，5，6； y ＝4时，x ＝2，3，4； y ＝5时，x ＝2。

共有7＋5＋3＋1＝16种买法。

3. （－1，－2）
解析：不等式组表示的平面区域如图所示：
∵平面区域不包括边界，
∴平面区域内的整点共有（－1，－1），（－1，－2），（－2，－1）三个。

代入检验知，整点为（－1，－2）时，x ＋2y 取得最小值。

4. （1，＋∞）
解析：由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点（3，1）处取得最大值，结合图形可知a ＞1。

5. 5－1
解析：首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋（y ＋2）2
＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到（0，－2）的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝151)2(122-=
--+。

6. 99.65%
解析：设518 mm 和698 mm 的毛坯个数分别为x ，y ，最大利用率为z ，则z ＝
400
8.698.51y
x +。

又∵⎩
⎨⎧∈≤+*
,,4008.698.51N y x y x
∴⎩⎨
⎧==2
5y x 为最优解，此时z ＝40028.6958.51⨯+⨯＝99.65%。

7. 解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示。

（1）p 的几何意义为直线y ＝－2x ＋p 在y 轴上的截距，由图可知直线y ＝－2x ＋p 经过（1，1）时，p min ＝3；经过（5，2）时，p max ＝12。

（2）y x
的几何意义为平面区域内的点与原点连线的斜率，由图可知
5
2252≤≤x y 。

（3）x 2
＋y 2
的几何意义为平面区域内的点与原点距离的平方，由图可知2≤x 2
＋y 2
≤29。

8. 解：不等式组表示的可行域如图所示，目标函数变形为y ＝x －z ，当z 最小时就是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大时。

当z 的最小值为－1，即直线y ＝x ＋1时，由⎩⎨
⎧-=+=1
21
x y x y ，
可得此时点A 的坐标是（2，3），此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线y ＝x ＋2
时，由⎩
⎨⎧-=+=122x y x y 可得此时点A 的坐标是（3，5），此时m ＝3＋5＝8。

故m 的取值范围是
[5，8]。

而目标函数取最大值时，y ＝x －z 在y 轴上截距最小，此时目标函数过B （m －1，1）， 于是z max ＝m －1－1＝m －2。

因为m 的取值范围是[5，8]，所以目标函数最大值的取值范围是[3，6]。

9. 解：设生产书桌x 张，书橱y 张，利润为z 元，则约束条件为
⎪⎩
⎪
⎨⎧∈≤+≤+*,600
2902.01.0N y x y x y x 利润z ＝80x ＋120y ，作出不等式表示的平面区域如图所示，将直线z ＝80x ＋120y 平移可知：当生产100张书桌，400张书橱时，利润最大，为z ＝80×100＋120×400＝56 000（元）。