2020人教版九年级数学上册《二次函数》单元测试

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二次函数测试题
一、选一选 ,看完四个选项再做决定!(每小题4分,共40分)
1.抛物线y ＝ax 2＋bx (a >0， b < 0)的图象通过 （ ） (A)第一、二、三象限 (B)第一、三、四象限
(C)第一、二、四象限 (D)第一、二、三、四象限
2.将抛物线y ＝x 2－2x ＋1向下平移2个单位,再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是
（ ）
(A)122--=x x y (B)122-+=x x y (C)22-=x y (D)22+=x y 3.已知抛物线c bx ax y ++=2，且0,0a a b c <-+>，则一定有 （ ） (A)ac b 42->0 (B)ac b 42-=0 (C)ac b 42-<0 (D)ac b 42-≤0
4.若二次函数=ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时,函数值为
（ ）
（A ）a ＋c （B ）a －c （C ）－c （D ）c
5.当k 取任意实数时，抛物线22)
(5
4
k k x y +-=
的顶点所在的曲线是（ ） (A)2x y = (B)2x y -= (C))0(2>=x x y (D))0(2
>-=x x y
6.已知函数y ＝ax 和y ＝a (x ＋m )2＋n ，且a > 0，m < 0，n < 0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是 （ ）
7.在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为2
52s t t =+，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为 （ ） (A)2秒 (B) 4秒 (C)6秒 (D) 8秒
8.如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O 左0︒~90︒的旋转， 那么旋转时露出的△ABC 的面积（S ）随着旋转角度（n ）的变化而变化，下面表示S 与n 关系的图象大致是 （ ）
9.为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m 处的挑射正好射中了2．4m 高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线c bx ax y ++=2
(如图所示)则下列结论:①60
1
-
<a ，②060
1
<<-
a ，③0>+-c
b a ，④a b 240-<<其中正确的结论是 （ ）
o x
y B O
x y A o x y D o x
y
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 10.抛物线2
y ax bx c =++的图象如图，则下列结论：①abc>0； ②a ＋b ＋c=2；③a>
2
1
；④b<1.其中正确的结论是【 】 （A ）①② （B ）②④ （C ）②③ （D ）③④
二、填一填,要相信自己的能力!(每小题4分,共40分)
11. 函数42
-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是________.
12.用配方法把二次函数y =2x 2＋2x －5化成y =a (x －h )2＋k 的形式为___________. 13.二次函数y =x 2－8x ＋c 的最小值是0，那么c 的值等于 .
14.已知二次函数的图像开口方向下，且于y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函.数解析式 ．
15.函数y ＝ax 2＋(3－a )x ＋1的图象与x 轴只有一个交点，则a ＝ .
16.抛物线和2
2x y =的图像形状相同，对称轴平行于y 轴，且顶点坐标为(－1，3)，则它的解析式为 ．
17.已知抛物线y =ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的解是_______.
18.当 时，函数y ＝x 2－x －2 的函数值大于0． 19.某校运动会上，张强同学推铅球时，铅球行进的高度y(米)与水平距离x(米)之间的函数关系是3
5
321212++-=x x y ，张强同学的最好成绩是 米．
20．如图，直角坐标系中一条抛物线经过网格点A 、B 、C ，其中，B 点坐标为)4,4(，则该抛物线的关系式__________．
三、做一做,要注意认真审题!(本大题共70分)
21．（8分）如图，抛物线2
y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A B ，，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使:5:4APC ACD S S =△△的点P 的坐标．
A
B C D O y
22．（14分）某电脑公司开发出一种软件，从研发到年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，如图所示的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）之间的函数关系（即x个月累计利润总和y与x之间的关系），根据图像提供的信息解答下列问题：
（1）该种软件上市第几个月后开始盈利？
（2）求累计利润总和y（万元）与时间x（月）之间的
函数关系式．
（3）截止到几月末公司累计利润达到30万元？
（4）求出该函数图像与y轴的交点坐标，并说明该点的
实际意义．
23. （10分）甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：
速度x（千米/小时）0 5 10 15 20 2
5
…
刹车距离y（米）0 2 6 …
（1
示的坐标系中画出甲车刹车距离y（米）与速度x（千米/时）的
函数图象，并求函数的解析式。

（2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向而行，
同时刹车，但还是相撞了。

事后测得甲、乙两车的刹车距离分
别为12米和10.5米，又知乙车的刹车距离y（米）与速度x（千
米/时）满足函数
1
4
y x
=，请你就两车的速度方面分析相撞的
原因。

3
4
15
4
35
4
2-
1-
Ｏ
1
2
3
2.5
1 2 3 4 x（月）
y（万元）
24．（12分）抛物线2
y ax bx c =++交x 轴于A B ，两点，交y 轴于点C ，对称轴为直线
1x =，已知：(10)A -，
，(03)C -，． （1）求抛物线2
y ax bx c =++的解析式； （2）求AOC △和BOC △的面积的比；
（3）在对称轴是否存在一个点P ，使PAC △的周长最小．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图1，2所示. （1）分别写出国内、国外市场的日销售量y （万件）与第一批产品A 上市时间t 的函数关系式； （2）如果每件产品A 的销售利润为60元，写出第一批产品A 上市后日销售W （万元）与上市时间t 的函数关系式；
（3）问第几天日销售利润最大？
26.（14分）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图3所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图4所示），求抛物线的解析式； （2）求支柱EF 的长度； （3）拱桥下地平面是双向行
车道（正中间是一条宽2m 的隔离
带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
O x
y
A B C
1 图1 图2
y x O B A C 20m 10m
E F 图3 6m
参考答案:
一、1. C ; 2. C 3. A; 4.D; 5. A; 6.B; 7.B; 8.B; 9.B; 10.C.
二、1.(0,－4)； 2. y =2(x ＋
2
1)2－211
； 3. 16； 4. 答案不惟一，只要满足二次项系数小于0
且常数项大于0即可．如332++-=x x y ； 5. 0或1或9； 6. 3)1(22
++±=x y ；
7 . x 1=5，x 2=－2. 8.x <－1 或x >2； 9.10； 10. 43
2
612++-=x x y
三：21．解：（1）直线3y x =-与坐标轴的交点(30)A ，，(03)B -，． 则9303.b c c +-=⎧⎨-=-⎩， 解得23.b c =-⎧⎨=⎩，
∴此抛物线的解析式223y x x =--．
（2）抛物线的顶点(14)D -，，与x 轴的另一个交点(10)C -，．
设2(23)P a a a --，，则2
1423:445:422a a 1⎛⎫⎛⎫⨯⨯--⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
化简得2235a a --=． 当2
235a a --=，得4a =或2a =-．(45)P ∴，或(25)P -， 当2230a a --<时，即2
220a a --+=，此方程无解．
综上所述，满足条件的点的坐标为(45)，或(25)-，． 22．解：（1）从图像可以看出该种软件上市第3个月后开始盈利．
（2）由图像可设2
(1)2y a x =--，把点(42.5)，代入得：2
2.5(41)2a =-- 解得1
2
a =
. 21
(1)22
y x ∴=--
（3）由题意，得2
1(1)2302
x --= ,解方程得19x =，27x =-（舍去）
即：截止到9月末公司累计利润达到30万元．
（4）令0x =，则21
(01)2 1.52
y =
--=-.即该函数图像与y 轴的交点坐标为(0 1.5)-， 该点的实际意义是研发软件的过程中投资了1.5万元． （答案不唯一） 23．解：（1）如图， 设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ． 因为图象经过点（0，0）、（10，2）、（20，6）， 所以c ＝0。

所以21001006400200a b a b =++⎧⎨=++⎩，解得1100
110a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
所以函数的解析式为211
10010
y x x =+（2），因为y ＝12，所以21110010
y x x =+＝12，
解得x 1＝30，x 2＝－40（不符合题意，舍去）.又因为y 乙＝10.5，所以
1
10.54
x =，x ＝42． 因为乙车速度为42千米/时，大于40千米/时，所以，就速度方面原因，乙车超速，导致两车相撞。

24．解：（1）A B Q ，两点关于1x =对称，∴B 点坐标为(30)，
， 根据题意得：09303a b c
a b c c =++⎧⎪
=-+⎨⎪-=⎩ 解得123a b c ==-=-，，．
∴抛物线的解析式为223y x x =--．
（2）AOC △和BOC △的面积分别为
OC OA S AOC ⋅=∆21，OC OB S BOC ⋅=∆2
1。

而||1OA =，||3OB =，∴:||:||1:3AOC BOC S S OA OB ==△△． （3）存在一个点P ．C 点关于1x =对称点坐标C '为(23)-，，
令直线AC '的解析式为y kx b =+ ∴320k b
k b -=+⎧⎨=-+⎩
∴1k =-，1b =-，即AC '的解析式为1y x =--． 为1x =时，2y =-，∴P 点坐标为(12)-，．
25．解：(1)国内市场：y =⎩⎨⎧≤<+-≤≤).
4030(2406),
300(2t t t t
国外市场：y =－203t 2
+6t (0≤t ≤40)．
(2)W =⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-).
4030(144009),300(48092
2
t t t t t (3)W =－9t 2+480t =－9(t －3
80)2
+6400(0≤t ≤30)
∴当t =27时，W 最大=6399(万元). W =－9t 2+14400(30＜t ≤30)无最大值.
综上所述，第27天时，日销售利润最大，为6399万元. 26．解：（1）根据题目条件，A ，B ，C 的坐标分别是（-10，0），（10，0），（0，6）．
设抛物线的解析式为y=ax 2+c ，
将B ，C 的坐标代入y=ax 2+c ，得60100c a c
=⎧⎨
=+⎩，
解得3
650
a c =-=，．
所以抛物线的表达式是2
3650
y x =-+． （2）可设F （5，y F ），于是
23
56 4.550
F y =-
⨯+= 从而支柱EF 的长度是10-4.5=5.5米．
（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是（7，0）．
x
过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23
76 3.06350
H y =-⨯+>≈． 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．。