2019版高考数学(文科 课标版)一轮复习考点突破训练：第10章 第2讲 双曲线

������ 4
5
为 4x±3y=0,所以������=3,此时离心率为3,故④符合.故选 B.
������2 ������2
10. 2 易知抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),所以双曲线������2- 2 =1 的焦点为(2,0),则 a2+2=22,即 a=
������ 2
2,所以双曲线的离心率 e=������= 2= 2.
94
������2 - ������2 ������ =
������
= 1, 3, 无解.故该双曲线的标准方程为
������2
x2- 3 =1,选 C.
解法二 当其中的一条渐近线方程 y= 3x 中的 x=2 时,y=2 3>3.因为点(2,3)在第一象限,所
{ 以双曲线的焦点在
x
������2 ������2
轴上,设双曲线的标准方程是������2-������2=1(a>0,b>0),由题意得
49
������2 - ������2 ������ =
������
= 1, 3, 解得
{ ������ = 1,
������2
������ = 3,所以该双曲线的标准方程为 x2- 3 =1,故选 C.
������
4.24 由题意知,双曲线的实轴长为 2,焦距为|F1F2|=2×5=10.由双曲线的定义知,2=|PF1|-
4
|PF2|=3|PF2|-
1
������
|PF2|=3|PF2|,∴|PF2|=6,|PF1|=8.∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴PF1⊥PF2,∴
△
1
������������1������2=2|PF1|·|PF2|
面积等于 .
考点 2 双曲线的几何性质
3
5.[2018 合肥市高三调研]下列双曲线中,渐近线方程不是 y=±4x 的是
( )
������2 ������2
������2 ������2
A.144-81=1 B.18-32=1
������2 ������2
C. 9 -16=1
������2 ������2
D. 4 - 3 =1
6.已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为 y=± 3x,则该双曲线的标准方程是
������2 ������2
������2 ������2
16
A. 7 -12=1B. 3 - 2 =1
������2
������2 ������2
23
C.x2- 3 =1 D. 3 -23=1
( )
线 C 的方程为 f(x,y)=0. 若去掉条件(2),另加一个条件求得双曲线 C 的方程仍为 f(x,y)=0,则
下列四个条件中,符合添加的条件共有
( )
①双曲线 C 上的任意点 P 都满足||PF1|-|PF2||=6; ②双曲线 C 的虚轴长为 4;
③双曲线 C 的一个顶点与抛物线 y2=6x 的焦点重合;
的垂线,与两条渐近线分别交于 P,Q,若������������=3������������,则双曲线的离心率为
( )
65
10
A. 2 B. 2 C. 3 D. 2
������2 ������2
5
9.已知双曲线 C:������2-������2=1(a>0,b>0)满足条件:(1)焦点为 F1(-5,0),F2(5,0);(2)离心率为3,求得双曲
8.C 不妨设 F(-c,0),c>0,过 F 作双曲线一条渐近线的垂线,可取其方程为 y=������(x+c),与 y=-������x
�����2
������
������2������
������2������
������2
联立可得 xQ=- ������ ,与 y=������x 联立可得 xP=������2 - ������2,∵������������=3������������,∴������2 - ������2+c=3(- ������ +c),∴a2c2=(c2-2a2)
∠F1PF2 的平分线又垂直于 F1M,故△PF1M 为等腰三角形,|PF1|=|PM|且 H 为 F1M 的中点,所
1
1
1
以 OH 为△MF1F2 的中位线,所以|OH|=2|MF2|=2(|PF2|-|PM|)=2(|PF2|-|PF1|)=1.故选 A.
图 D 10-2-1
������
������
④双曲线 C 的渐近线方程为 4x±3y=0.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
������2 ������2
10.[2018 成都市摸底测试]已知双曲线������2- 2 =1(a>0)和抛物线 y2=8x 有相同的焦点,则双曲线的 离心率为 .
答案
������2
������2
1
=2×6×8=24.
9
3
5.D 对于 A,渐近线方程为 y=±12x=±4x;
18 3
对于 B,渐近线方程为 y=± 32x=±4x;
3
对于 C,渐近线方程为 y=±4x;
3
对于 D,渐近线方程为 y=± 2 x. 故选 D.
������2 ������2
6.C 解法一 当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双曲线的标准方程是������2-������2=1(a>0,b>0),由题意
������2
解法三 因为双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,即 3=±x,所以可设双曲线的方程是 x2- 3 =λ(λ≠0),
������2
将点(2,3)代入,得 λ=1,所以该双曲线的标准方程为 x2- 3 =1,故选 C.
7.A 不妨设点 P 在双曲线的左支上,如图 D 10-2-1,延长 F1H 交 PF2 于点 M,由于 PH 既是
������2
1.A ∵方程25 - ������+������ - 9=1 表示双曲线,∴(25-k)(k-9)<0,∴k<9 或 k>25,∴“k<9”是“方程 25 - ������+
������2
������ - 9=1 表示双曲线”的充分不必要条件,故选 A.
2.D 设 F1(-5,0),F2(5,0),则|PF2|=15.若点 P 在左支上,则|PF2|-|PF1|=2a=8,所以|PF1|=|PF2|8=15-8=7;若点 P 在右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=8,所以|PF1|=|PF2|+8=15+8=23.故点 P 到点(5,0)的距离是 7 或 23. 故选 D.
第二讲 双曲线
考点 1 双曲线的定义和标准方程
������2
������2
1.“k<9”是“方程25 - ������+������ - 9=1 表示双曲线”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
������2 ������2
2.若双曲线16- 9 =1 上的点 P 到点(5,0)的距离是 15,则点 P 到点(-5,0)的距离是
3.2 13 不妨设点 P 在双曲线的右支上,则|PA|>|PB|,因为点 P 是双曲线与圆的交点,所以由 双曲线的定义知,|PA|-|PB|=2 5 ①, 又|PA|2+|PB|2=36 ②,联立①②化简得 2|PA|·|PB|=16,所 以(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA|·|PB|=52,所以|PA|+|PB|=2 13.
( )
A.7
B.23 C.5 或 25 D.7 或 23
3.若点 P 是以 A(-3,0),B(3,0)为焦点,实轴长为 2 5的双曲线与圆 x2+y2=9 的一个交点,则 |PA|+|PB|= .
������2
4.设 F1,F2 是双曲线 x2-24=1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的
7.[2018 长春市高三第一次质量监测]已知 O 为坐标原点,设 F1,F2 分别是双曲线 x2-y2=1 的左、 右焦点,P 为双曲线上任意一点,过点 F1 作∠F1PF2 的平分线的垂线,垂足为 H,则|OH|= ( )
1
A.1 B.2 C.4 D.2
������2 ������2
8.[2018 湘东五校联考]设 F 是双曲线������2-������2=1(a>0,b>0)的一个焦点,过 F 作双曲线一条渐近线
(2c2-3a2),两边同时除以 a4,得 e4-4e2+3=0,∵e>1,∴e= 3.故选 C.
5
9.B ①中,由||PF1|-|PF2||=6,得 a=3,又 c=5,所以离心率为3,故①符合;②中,b=2,c=5,a= 21,
5 21
3
10
此时离心率为 21 ,故②不符合;③中,a=2,c=5,此时离心率为 3 ,故③不符合;④中,渐近线方程
{ { 得
49
������2 - ������2
������ ������
=
= 1, 3, 解得
������ = ������ =
1, 3,所以该双曲线的标准方程为
������2
x2- 3 =1;当双曲线的焦点在
y
轴上时,
{ ������2 ������2
设双曲线的标准方程是������2-������2=1(a>0,b>0),由题意得