贵州省遵义市南白中学2021届高三上学期第一次月考数学(理)试题

贵州省遵义市南白中学2018届高三上学期第一次月考数学
（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合()(){}
120A x x x =-+<，103x B x x ⎧⎫
+=<⎨⎬-⎩⎭
，则A B =( )
A ．()2,1-
B ．()2,3-
C ．()1,3-
D ．()1,1-
2．复数3
11i
i ++等于( ) A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
3．sin15sin75︒︒的值为( ) A ．
12
B
C ．
14
D
4．命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（ ） A ．2,220x x x ∀∈++>R B ．2,220x R x x ∀∈++≤ C ．2,220x x x ∃∈++>R
D ．2,220x x x ∃∈++≥R
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若632a a =，则
11
5
S S =( ) A ．
115
B ．
522
C ．
1110 D ．
225
6．20世纪30年代为了防范地震带来的灾害，里克特(C ．F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为
0lg lg M A A =-，其中A 为被测地震的最大振幅，0A 是标准地震振幅，5级地震给人
的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？( ) A ．10倍
B ．20倍
C ．50倍
D ．100倍
7．一算法的程序框图如图所示，若输出的1
2
y =
，则输入的x 最大值为( )
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．0
8．如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，则AB AD ⋅＝（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
9．点集(){},0,0x y x e y e Ω=
≤≤≤≤，()(){},,,x
A x y y e x y =≥∈Ω，在点集Ω
中任取一个元素a ，则a A ∈的概率为( )
A ．1e
B ．21e
C ．1e e
-
D ．221e e
-
10．某实心几何体是用棱长为1cm 的正方体无缝粘合而成，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．250cm
B ．261cm
C ．284cm
D ．286cm
11．函数()1x
b f x a e =++(,a b ∈R )是奇函数，且图象经过点1ln 3,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，则函数()f x 的值域为( ) A ．()1,1-
B ．()2,2-
C ．()3,3-
D ．()4,4-
12．椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴
的直线交C 于两点,P Q ，若3
cos 5
PAQ ∠=
，则椭圆C 的离心率e 为( )
A ．
12
B
．
2
C
D
．
3
二、填空题 13．已知
sin cos 2sin cos αα
αα
-=+，则tan α=__________．
14．实数,x y 满足条件2000x y x y y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-的最大值为__________．
15．9
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中3x 的系数为84-，则展开式中的系数和为__________． 16．已知函数()()1
*
n
n f x x x
n N +=-∈，曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线与y
轴的交点的纵坐标为n b ，则数列{}n b 的前n 项和为__________．
三、解答题
17．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边a,b,c 成公差为2的等差数列，C 120=︒. (1)求a ；
(2)求AB 边上的高CD 的长；
18．某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度，对20名学生进行问卷计分调查，得到如图所示的茎叶图：
(1)计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男女生打分的分散程度；
(2)从打分在80分以上的同学随机抽3人，求被抽到的女生人数X 的分布列和数学期望.
19．如图AB ，CD 是圆柱的上、下底面圆的直径，ABCD 是边长为2的正方形，E 是底面圆周上不同于,A B 两点的一点，1AE =.
(1)求证：BE ⊥平面DAE ； (2)求二面角C DB E --的余弦值.
20．过抛物线2:4C y x =的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于两点,A B . (1)若8AB =，求直线l 的方程；
(2)若点A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 恒过定点，并求出该定点的坐标. 21．已知函数()()ln 10f x kx x k =-->.
(1)若函数()f x 有且只有一个零点，求实数k 的值； (2)证明：当*n N ∈时，()111
1ln 123n n
+++⋯+>+. 22．曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
. (1)写出C 的直角坐标方程，并且用00cos sin x x t y y t α
α
=+⎧⎨=+⎩(α为直线的倾斜角，t 为参数)
的形式写出直线l 的一个参数方程；
(2)l 与C 是否相交，若相交求出两交点的距离，若不相交，请说明理由. 23．已知函数()2f x x x =++. (1)解不等式()6f x ≥的解集M ；
(2)记(1)中集合M 中元素最小值为m ，若,a b R +∈，且a b m +=，求1111a b ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的最小值.
参考答案
1．B 【解析】
由不等式解得A=(−2,1)，B=(−1,3)，∴A ∪B=(−2,3). 本题选择B 选项. 2．C 【解析】
23
11(1)2.11(1)(1)2
i i i i
i i i i i +++====+--+ 本题选择C 选项. 3．C 【解析】
11sin15sin 75sin15cos15sin 30.24
︒︒=︒︒=︒=.
本题选择C 选项. 4．A 【分析】
根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项. 【详解】
特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A 选项正确. 故选A. 【点睛】
本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题. 5．D 【解析】
等差数列中，111661111115
5153311()
11211()11222=
.5()5()52552
a a a a S a a a a S a a a a +⨯+===⨯=++⨯ 本题选择D 选项. 6．D 【解析】
设7级地震的最大震级为A 1，5级地震的最大振幅为A 2，则：
()()1
1210202
lg
lg lg lg lg lg lg 752A A A A A A A A =-=---=-=， 所以21
2
10100.A A ==. 本题选择D 选项. 7．B 【解析】
由程序框图知：当x ⩽2时，则
15sin(
),22,626666
y x x Z x k x k π
ππππππ==∈∴=+=+，或得x max =1； 当x>2时，1242x
y =>≠，
本题选择B 选项. 8．B 【分析】
以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】
以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则A (0，0)，B (4，1)，C (6，4)，
AB ＝(4，1)，AD BC =＝(2，3)，
AB AD ∴⋅＝4×2＋1×3＝11，
故选：B. 【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题. 9．B
如图所示，阴影部分为满足题意的部分，其面积为()()1
10
|1x
x
S e e dx ex e =
-=-=⎰，
概率空间为正方形的面积，2e e e ⨯=，
利用几何概型计算公式可得满足题意的概型为2
1p e =. 本题选择B 选项.
点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此即可求得概率.
10．D 【解析】
结合三视图可得：该几何体是由三个几何体组成的组合体，从上到下依次为： 长宽高为5,5,1的长方体，长宽高为3,3,1的长方体，棱长为1的正方体， 据此可得其表面积为：
()()()()()255251433251411633211286cm ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=.
本题选择D 选项.
点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
【详解】
函数为奇函数，则：()002
b
f a =+=，① 函数过点1ln 3,
2⎛⎫ ⎪
⎝⎭，则：()1
ln 3142
b f =+=，② 结合①②可得：1,2a b ==-， 则()2
11
x
f x e =-
+，结合函数的单调性可得函数 单调递增， 因为()0,x
e ∈+∞，2
1211011
x e -<-
<-=+， 结合奇函数的性质可得函数的值域为()1,1-. 本题选择A 选项. 12．A 【解析】
不妨设P 位于第一象限，由P x c =结合椭圆方程可得：2
P b y a
=， 则：
2
,,b AF a c PF AP a =+==，
则：
cos AF PAF AP
∠=
=， 结合图形的对称性结合二倍角公式可得：
()
()2
22
22
3cos 2cos 1215a c PAQ PAF b a c a +∠=∠-=⨯
-=
⎛⎫
++ ⎪
⎝⎭
，
结合222b a c =-整理可得：4223449230c a c a c a --+=， 据此得到关于离心率的方程：4249230e e e --+=， 分解因式有：()
2
131022e e e ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，
结合椭圆离心率的取值范围可得椭圆的离心率12
e =. 本题选择A 选项.
点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a
=
； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．
13．3- 【解析】
由题意可得sin cos 2(sin cos )αααα-=+，即sin 3cos ,tan 3ααα=-=-，填-3. 14．4 【解析】
绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标还是在点()2,0C 处取得最大值24z x y =-=.
点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线
过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.
15．0 【解析】
9a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式的通项是992199r
r r r r r
r a T C x a C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令9-2r=3,解得r=3， ∵展开式中3x 的系数为84-，3
3
9
84, 1.a C a ∴=-∴=-99
1a x x x x ⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
令x=1，得展开式的系数和为0. 16．12n n +⋅ 【解析】
对函数求导可得：()()1
'1n n f x nx n x -=-+，
则()()()1
1'22
1222n n n f n n n --=⨯-+⨯=--⨯，
且：()1
222
2n n n f -=-=-，
曲线在()()
22f ,处的切线方程为()()1
2222n
n y n x -+=--⨯⨯-，
令0x =可得：()1
222n y n -=+⨯，
即()1
222
n n b n -=+⨯，
错位相减可得其前n 项和为12n n -⋅.
点睛：在求切线方程时，应先判断已知点Q (a ，b )是否为切点，若已知点Q (a ，b )不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．
一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·
b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．
17．(1)a 3= 【解析】 试题分析：
（1）根据条件可得2b a =+，4c a =+，在△ABC 中由余弦定理可得到关于a 的方程，解方程可得a 的值．（2）在△ABC 中由三角形的面积公式可得高CD 的长． 试题解析：
(1)由题意得2b a =+，4c a =+，
在△ABC 中由余弦定理得2222cos120c a b ab =+-︒， ∴2
2
2
(4)(2)(2)a a a a a +=++++， 整理得260a a --=， 解得3a =或2a =-(舍去)， ∴3a =．
(2)由(1)知3a =，5b =，7c =， 由三角形的面积公式得：
11
sin 22
ab C c CD =⨯， ∴
35sin 27ab C
CD c
⨯⨯
=
== 即AB
边上的高CD 18．（1）69，女生打分比较集中，男生打分比较分散；（2）分布列见解析，期望为9
5
． 【解析】
试题分析：
(1)结合茎叶图计算可得男生打的平均分为69，观察茎叶图可知女生打分比较集中，男生打分比较分散；
(2)由题意可得X 的可能取值为1，2，3，结合超几何概型的概率公式即可求得分
布列，然后计算可得数学期望为9
5
.
试题解析：
(1)男生打的平均分为：
()1
555362657170737486816910
+++++++++=， 由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散；
(2)因为打分在80分以上的有3女2男， ∴X 的可能取值为1，2，3，
()1232353110C C P X C ===，()213235325C C P X C ===，()30323
51
310
C C P X C ===， ∴X 的分布列为：
(
)3319123105105
E X =⨯
+⨯+⨯=. 点睛：(1)求解本题的关键在于：①从茎叶图中准确提取信息；②明确随机变量X 服从超几何分布．
(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
19．（1）见解析；（2） 【解析】
试题分析：
(1)由题意结合几何关系可证得BE DA ⊥， BE AE ⊥，结合线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角C DB E --的余弦值是
． 试题解析：
(1)由圆柱性质知：DA ⊥平面ABE ， 又BE ⊂平面ABE ，∴BE DA ⊥，
又AB 是底面圆的直径，E 是底面圆周上不同于,A B 两点的一点，∴BE AE ⊥，
又DA AE A ⋂=，,DA AE ⊂平面DAE ， ∴BE ⊥平面DAE .
(2)解法1：过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，由圆柱性质知平面ABCD ⊥平面ABE ，
∴EF ⊥平面ABCD ，又过F 作FH DB ⊥，垂足为H ，连接EH ， 则EHF ∠即为所求的二面角的平面角的补角，
2AB AD ==，1AE =
易得DE =
BE =
BD =，
∴2
AE BE EF AB ⨯=
=
， 由(1)知BE DE ⊥
，∴DE BE EH DB ⨯=
==
，
∴sin 5EF
EHF EH
∠=
==
，∴
cos 5EHF ∠==
，
∴所求的二面角的余弦值为. 解法2：过A 在平面AEB 作Ax AB ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵2AB AD ==，1AE =
，∴BE =
1,02E ⎫
⎪⎪⎝⎭，()0,0,2D ，()0,2,0B ，
∴1,222ED ⎛⎫
=-- ⎪ ⎪
⎝
⎭
，()0,2,2BD =-，
平面CDB 的法向量为()11,0,0n =，设平面EBD 的法向量为()2222,,n x y z =，
2200n ED n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即2222212022
220x y z y z ⎧--+=⎪⎨⎪-+=⎩
，取(
)
23,1,1n =，
∴121212
3cos ,55
n n n n
n n ⋅=
=
=，
∴所求的二面角的余弦值为-
. 解法3：如图，以E 为原点，,
EB EA 分别为x 轴，y 轴，圆柱过点E 的母线为
z 轴建立空间直角坐标系，则
()0,1,0A ，)B
，)
C
，()0,1,2D ，()0,0,0E ，
∴()
0,0,2BC =，()
CD =-，()BD =-，(
)
3,0,0EB =，
设()1,,n x y z
=是平面BCD 的一个法向量，
则1n BC ⊥，1n CD ⊥，即0020
00
x y z
y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，令1x =，则y =0z =，
∴()
11,3,0n =，12n =，
设()2,,n x y
z =是平面BDE 的一个法向量，
则2n BD ⊥，2n EB ⊥，即20
000
y z y z ⎧++=⎪++=，令1z =，则2y =-，0x =.
∴()20,2,1n
=-
，25n =，
∴121212
2cos ,2n n n n n n ⋅-=
=
=，
∴所求的二面角的余弦值为. 解法4：由(1)知可建立如图所示的空间直角坐标系：
∵2AB AD ==，1AE =
，∴BE =()0,0,0E ，()1,0,2D
，()
B
，
()
C ，
∴()1,0,2ED =
，()
0,EB =
，()
1,BD =，()0,0,2BC =， 设平面CDB 的法向量为()1111,,n x y z =，平面EBD 的法向量为()2222,,n x y z =，
∴1100n BD n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，22
00n ED n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
即111132020x y z z ⎧-+=⎪
⎨
=⎪⎩
，(
)
13,1,0n
=
，
22220
0x z +=⎧⎪⎨
=⎪⎩
，取()22,0,1n =-
，
∴121212
2cos
,2n n n n n n ⋅-=
=
=.
∴所求的二面角的余弦值为-
. 20．(1) ()1y x =±-（2）定点()1,0- 【解析】
试题分析: (1)由题意可得焦点F 的坐标为()1,0，设l 的方程为()1y k x =-代入抛物线
24y x =得()
2222
240k x k x k -++=,再由韦达定理与焦点比率公式
128AB x x p =++=,可求得k.(2)
1122(,),(,)A x y B x y ,所以11(,)D x y -，直线BD 的斜率
为
2121222121214
44
BD y y y y k y y x x y y ++=
==---，直线BD 的方程为
()1121
4y y x x y y +=--，代入121x x =，124y y =-化简得()()12410x y y y ++-=，恒过()1,0-.
试题解析:(1)F 的坐标为()1,0，设l 的方程为()1y k x =-代入抛物线2
4y x =得
()
2222240k x k x k -++=，
由题意知0k ≠，且(
)()
2
22222441610k k k k ⎡⎤-+-⋅=+>⎣
⎦
，
设()11,A x y ，()22,B x y ，∴2122
24
k x x k
++=，121x x =， 由抛物线的定义知AB =1228x x ++=,126x x +=
∴22
246k k
+=，∴21k =，即1k =±，∴直线l 的方程为()1y x =±-. （2）直线BD 的斜率为
2121222
121214
44
BD y y y y k y y x x y y ++=
==
---， ∴直线BD 的方程为()1121
4
y y x x y y +=
--，
即()2
21211144y y y y y y x x -+-=-，
∵24y x =，121x x =，∴()2
12121616y y x x ==， 即124y y =-(因为12,y y 异号)，
∴BD 的方程为()()12410x y y y ++-=，恒过()1,0-. 21．（1）1；（2）见解析． 【解析】
试题分析：
(1)讨论函数的单调性可得满足题意时()min 1ln 0f x f k k ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，解得1k =.
(2)结合(1)的结论不妨设1
n x n
+=
，结合函数的性质即可证得题中的不等式.
试题解析：
(1)方法1：()ln 1f x kx x =--，()()11'0,0kx f x k x k x x
-=-
=>>， 1x k =时，()'0f x =；10x k <<时，()'0f x <；1
x k
>时，()'0f x >；
∴()f x 在10,
k ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减，在1,k ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
∴()min 1ln f x f k k ⎛⎫
==
⎪⎝⎭
，∵()f x 有且只有一个零点， 故ln 0k =，∴1k =.
方法2：由题意知方程ln 10kx x --=仅有一实根，
由ln 10kx x --=得ln 1
x k x
+=
(0x >)， 令()ln 1x g x x +=，()()2ln '0x
g x x x
-=>，
1x =时，()'0g x =；01x <<时，()'0g x >；1x >时，()'0g x <，
∴()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ∴()()max 11g x g ==，
所以要使()f x 仅有一个零点，则1k =.
方法3：函数()f x 有且只有一个零点即为直线y kx =与曲线ln 1y x =+相切，设切点为
()00,x y ，
由ln 1y x =+得1'y x =，∴00000
11
k x y kx y lnx ⎧
=⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，∴001k x y ===，
所以实数k 的值为1.
(2)由(1)知ln 10x x --≥，即1ln x x -≥当且仅当1x =时取等号， ∵*n N ∈，令1n x n +=
得，11ln n n n
+>， ()1112311ln ln ln ln 12312n n n n
++++⋯+>++⋯+=+，
即()111
1ln 123n n
+
++⋯+>+. 22．（1）C 的直角坐标方程为2
214x y +=，直线l
的一个参数方程为22
2x y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
(t 为参数)；（2
）相交，且两交点的距离为5
． 【解析】
试题分析：
(1)由题意可得C 的直角坐标方程为2
214
x y +=，直线l
的一个参数方程为
2x y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
(t 为参数)； (2)
联立直线与椭圆的方程，很明显直线与椭圆有两个交点，且两交点的距离是
5
． 试题解析：
(1)C 的直角坐标方程为2
214
x y +=，
由cos 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭20x y --=，直线l 的倾斜角为4
π
， 过点()2,0，故直线l
的一个参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程得
250t +=，10t =
，25
t =-
，
显然l 与C 有两个交点,A B 且12AB t t =-=23．（1）{}
2M x x =≥；（2）4． 【解析】
试题分析：
(1)零点分段可得解不等式()6f x ≥的解集{}2M x x =≥；
(2)由题意结合均值不等式的结论即可证得题中的不等式，注意等号成立的条件. 试题解析：
(1)()6f x ≥，即为26x x ++≥，
∴2
26
x x x ≤-⎧⎨
--≥⎩或2
26
x x x >-⎧⎨
++≥⎩即2x ≥
∴{}
2M x x =≥.
(2)由(1)知2m =，即2a b +=，且,a b R +
∈，
∴11111122a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++
⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
335353
422222424
b a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++≥+⨯= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
当且仅当1a b ==时，1111a b ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
取得最小值4.。