2021年中考数学复习专题4 数形结合、转化思想(精讲练习)

专题4 数形结合、转化思想
一、选择题
1．回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是(A )
A ．数形结合
B ．类比
C ．演绎
D ．公理化
2．我们解一元二次方程3x 2－6x ＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x －2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x ＝0或x －2＝0，进而得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2.这种解法体现的数学思想是(A )
A ．转化思想
B ．函数思想
C ．数形结合思想
D ．公理化思想
3．(2020·黔东南州)如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作圆弧BD ，再分别以E ，F 为圆心，1为半径作圆弧BO ，OD ，则图中阴影部分的面积为(B )
A ．π－1
B ．π－2
C ．π－3
D ．4－π
4．(2020·南通)如图①，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B 出发沿折线B －E －D 运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1 cm /s .现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x(s )，△BPQ 的面积为y(cm 2)，若y 与x 的对应关系如图②所示，则矩形ABCD 的面积是(C )
A ．96 cm 2
B ．84 cm 2
C ．72 cm 2
D ．56 cm 2 二、填空题
5．(2020·天津)如图，▱ABCD 的顶点C 在等边△BEF 的边BF 上，点E 在AB 的延长线上，G 为DE 的中点，连接CG.若AD ＝3，AB ＝CF ＝2，则CG 的长为__3
2
__．
（第5题图）
（第6题图）
6．(2020·十堰)如图，圆心角为90°的扇形ACB 内，以BC 为直径作半圆，连接AB.若阴影部分的面积为(π－1)，则AC ＝__2____．
7．如图，Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝1
x (x ＞0)与y
＝－5
x
(x ＜0)的图象上，则tan ∠BAO 的值为__ 5 __．
三、解答题
8．(2020·吉林)某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5 L ，在整个过程中，油箱里的油量y(单位：L )与时间x(单位：min )之间的关系如图所示．
(1)机器每分钟加油量为________L ，机器工作的过程中每分钟耗油量为________L . (2)求机器工作时y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围． (3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值．
解：(1)由图象可得，机器每分钟加油量为：30÷10＝3(L )，机器工作的过程中每分钟耗油量为：(30－5)÷(60－10)＝0.5(L )；
(2)当10＜x ≤60时，设y 关于x 的函数解析式为y ＝ax ＋b ，⎩⎪⎨⎪⎧10a ＋b ＝30，
60a ＋b ＝5， 解得
⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－0.5，
b ＝35， 即机器工作时y 关于x 的函数解析式为y ＝－0.5x ＋35(10＜x ≤60)； (3)当3x ＝30÷2时，得x ＝5，当－0.5x ＋35＝30÷2时，得x ＝40，即油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值是5或40.
9．(2020·自贡)我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数
形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x －2|的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x ＋1|＝|x －(－1)|，所以|x ＋1|的几何意义就是数轴上x 所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
(1)发现问题：代数式|x ＋1|＋|x －2|的最小值是多少？
(2)探究问题：如图，点A ，B ，P 分别表示数－1，2，x ，AB ＝3.
∵|x ＋1|＋|x －2|的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和，∴当点P 在线段AB 上时，PA ＋PB ＝3，当点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时，PA ＋PB ＞3.∴|x ＋1|＋|x －2|的最小值是3.
(3)解决问题：
①|x －4|＋|x ＋2|的最小值是________；
②利用上述思想方法解不等式：|x ＋3|＋|x －1|＞4；
③当a 为何值时，代数式|x ＋a|＋|x －3|的最小值是2. 解：①|x －4|＋|x ＋2|的最小值是6；
②如图所示，满足|x ＋3|＋|x －1|＞4的x 范围为x ＜－3或x ＞1；
③当a 为－1或－5时，代数式|x ＋a|＋|x －3|的最小值是2.
10．(2020·衡阳)在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象过点(－1，0)，(2，0).
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求当－2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的差；
(3)一次函数y ＝(2－m)x ＋2－m 的图象与二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围．
解：(1)由二次函数
y ＝x 2＋px ＋q
的图象经过(－1，0)和(2，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－p ＋q ＝0，
4＋2p ＋q ＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧p ＝－1，
q ＝－2， ∴此二次函数的表达式y ＝x 2－x －2；
(2)∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1
2 ，∴在－2≤x ≤1范围内，当x ＝－2，函数
有最大值为：y ＝4；当x ＝12 是函数有最小值：y ＝－9
4 ，∴的最大值与最小值的差为：4－
(－94 )＝25
4
； (3)由题意得x 2－x －2＝(2－m)x ＋2－m ，整理得x 2＋(m －3)x ＋m －4＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝4－m ，∵a ＜3＜b ，∴a ＝－1，b ＝4－m ＞3，解得m ＜1，即m 的取值范围是m ＜1.。