大一《高等数学》期末考试题(精编汇总题)

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. )(
0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.
2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=
x x x x x
x βα.
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等
价无穷小；
（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.
3. 若
()()()0
2x
F x t x f t dt
=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，
则（ ）.
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；
（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.
)
(
)( , )(2)( )(1
=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设
（A ）2
2x （B ）2
2
2x
+（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5.
=
+→x
x x sin 2
)
31(lim .
6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =
⋅⎰x x x x f d cos )(则 .
7.
lim (cos cos cos )→∞-+++=
2
2
2
21n n n n n n ππ
π
π .
8.
=
-+⎰
2
12
12
211
arcsin －
dx x
x x .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17
7
x x x x ⎰+-求
11. ．
　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32
)(1020
)(dx x f x x x x xe x f x
12. 设函数)(x f 连续，
=⎰1
0()()g x f xt dt
，且→=0
()
lim
x f x A x ，
A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.
13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足
=-
1
(1)9y 的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点
M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面
图形D.
(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，
1
()()≥⎰⎰q
f x d x q f x dx
.
17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0
)(0
=⎰
π
x d x f ，0
cos )(0
=⎰
π
dx x x f .证
明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设
⎰=
x
dx
x f x F 0
)()(）
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 6
e . 6.c x x +2
)cos (21　.7. 2π. 8.
3π.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
(1)cos()()0x y
e y xy xy y +''+++=
cos()
()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==，(0)1y '=-
10. 解：7
67u x x dx du ==
1(1)112
()7(1)71u du du
u u u u -==-++⎰⎰原式 1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++
7712
ln ||ln |1|77x x C =
-++
11.
解：1
03
3
()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰
03
()x xd e --=-+⎰⎰
02
32
cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰
　令
321
4e π
=
--
12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

===
⎰⎰1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
02
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-'=
≠⎰
2
0()()A
(0)lim lim
22x
x x f u du
f x
g x x →→'===⎰
02
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A
g x A x
→→-'==-
=
⎰，'()g x 在=0x 处连续。

13. 解：2
ln dy y x
dx x +=
2
2
(ln )
dx dx
x x y e e xdx C -⎰⎰=+⎰
2
11
ln 39x x x Cx -=
-+
1
(1),09y C =-=，
11ln 39y x x x
=- 四、 解答题（本大题10分）
14. 解：由已知且0
2d x
y y x y
'=+⎰，
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程：022
=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r
其通解为 x
x e C e C y 221+=-
代入初始条件y y ()()001='=，得
31,3221==
C C
故所求曲线方程为：x
x e e y 23132+=-
五、解答题（本大题10分）
15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：
)(1
ln 00
0x x x x y -=
-
由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：x e y 1=
则平面图形面积
⎰-=
-=1
121
)(e dy ey e A y
（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则
2131e V π=
曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为
V 2
⎰-=1
22)(dy
e e V y π
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6221+-=
-=e e V V V π
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
16. 证明：1
()()q
f x d x q f x dx -⎰⎰1
()(()())
q
q
q
f x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰
10
(1)()()q
q
q f x d x q f x dx
=--⎰⎰
1212[0,][,1]
()()
12(1)()(1)()
0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=
---≥
故有：
1
()()≥⎰⎰q
f x d x q f x dx
证毕。

17.
证：构造辅助函数：
π
≤≤=⎰x dt t f x F x
0,)()(0。

其满足在],0[π上连续，在),0(π上
可导。

)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F
由题设，有
⎰⎰⎰⋅+===π
ππ
π0
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ，
有⎰=π
sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在
),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .
高等数学I 解答
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是无穷
小. (A) ()()x x βα+
(B)
()()x x 22βα+ (C)
[])()(1ln x x βα⋅+
(D) )()
(2x x βα
2. 极限
a
x a x a x -→⎪⎭⎫ ⎝⎛1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1
（B ） e
（C ） a
e
cot （D ） a
e
tan
3.
⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-+=001
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1
（B ） 0
（C ） e （D ） 1-
4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=
--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f '
（D ） )
(31
a f '
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 极限)
0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1.
6. 由x x y e y
x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x
xe ye x y
x xy
xy
ln 2sin 2+++
- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直线l
的方程为
13
1211--=--=-z y x . 8. 求函数2
)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） .
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
9. 计算极限10(1)lim
x
x x e
x →+-.
解：1
1
ln(1)120
00(1)1
ln(1)lim
lim lim
2x x
x
x x x x e e x x e
e e x x
x +-→→→+--+-===-
10. 已知：||3a =，||26b =，30a b ⋅=，求||a b ⨯。

解：
1312
cos 1sin ,13
5cos 2=
-==⋅=θθθb a b a ，
72
=⨯b a
11. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且
]
,[)()()(b a x dt
t f t x x F x
a
∈-=⎰，试求出)(x F ''。

解：
⎰⎰-=x
a
x
a
dt
t tf dt t f x x F )()()(
⎰⎰=-+='x
a
x
a
dt
t f x xf x xf dt t f x F )()()()()(
)()(x f x F =''
12. 求 3cos .sin x x dx x ⎰ 解：23cos 1sin sin 2x x dx xd x x -=-⎰⎰ 2221111
sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C
---=-+=--+⎰
四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
13. 求
⎰
-2
3
2
21
x x dx .
令　
1x t =
⎰
--=21
2
322)1
(11
11dt t t t
原式
=-⎰dt
t 121
2
32
=arcsin t
12
3
2=
π
6
14. 求函数
212x x y +=
的极值与拐点. 解：函数的定义域（－∞，+∞）
22)1()1)(1(2x x x y ++-=' 322)1()3(4x x x y +--=
''
令0='y 得 x 1 = 1, x 2 = -1
0)1(<''y x 1 = 1是极大值点，0)1(>-''y x 2 = -1是极小值点
极大值1)1(=y ，极小值1)1(-=-y
0=''y 33
故拐点（-3，-23），（0，0）（3，23
）
15. 求由曲线43
x y =与2
3x x y -=所围成的平面图形的面积.
解　:,,
x x x x x x 3232431240=--+=
x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123
S x x x dx x x x dx
=-++---⎰⎰()()3260
2
3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340
21632332316
=+=4521347
1
3 16. 设抛物线2
4x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧A B 上，求一点(,)
P x y 使ABP ∆的面积最大. 解：
AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程： 点到的距离　的面积
+-==+-=-++-≤≤2104521
5
235
132()
∆
S x x x x x ()()
=⋅⋅-++=-++124523
522322
当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()40
1 此时 所求点为，y =313()
另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线
的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使　解得所求点为∆ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,()
,(),,(,)
002
0004253312113-'=-=--+=-=
六、证明题（本大题4分）
17. 设0x >，试证x x e x
+<-1)1(2.
证明：设0),1()1()(2>+--=x x x e x f x
1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''，
0)(,
0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，+∞）内递减。

在（0，+∞）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+∞）内递减，
在（0，+∞）内，),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x
亦即当 x >0时，x x e x
+<-1)1(2 。

高等数学I A
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤>-+=0,sin 1
0,2tan 1,1)
1ln()(x x x x x x x x x f π
的全体连续点的集合是 （ ）
(A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞)
(C) (-∞,0) (0, +∞)
(D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞)
19.
设0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ）
（A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1）
20. 设在[0，1]上)(x f 二阶可导且0)(>''x f ，则（ ） （A ）)0()1()1()0(f f f f -<'<'
(B) )1()0()1()0(f f f f '<-<'
(C) )0()1()0()1(f f f f -<'<'
（D ）)0()1()0()1(f f f f '<'<-
21.
,1cos sin 2
2
2
4dx x x
x M ⎰-
+=
π
π
⎰-
+=
2
2
4
3
)cos (sin
π
πdx x x N ⎰-
-=
2
2
432
)cos sin (π
πdx
x x x
P 则
（ ）
（A ） M < N < P （B ） P < N < M （C ） P < M < N （D ） N < M < P
二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1. 设
=->)1arctan (12x x d x （ ）
2. 设⎰+=,
sin )(c x dx x f 则
⎰
=
dx x f n )()(（ ）
3. 直线方程p z n y m x +-=
=--65
24，与xoy 平面，yoz 平面都平行，
那么m n p ,,的值各为（ ）
4. =
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+∞→∑2
12lim
n i n
i x e n i （ ）
三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
1. 计算 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-→220
1sin 1
lim x x x
2.
设
⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f 试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f ' 3.
设函数),()(+∞-∞=在x f y 连续，在x ≠0时二阶可导，且其导函数)(x f '的图
形如图所示，给出
)(x f
)(x f y =的拐点。

四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）
1. 求不定积分 ⎰-+x dx x x 2)12(
2.
计算定积分
⎰e
e
dx
x 1ln
3. 已知直线43
5221:
312
1:21-=-=--=
=z y x l z y x l ,求过直线l 1且平行于
直线l 2的平面方程。

4. 过原点的抛物线2
ax y =及y =0,x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为π
581
，
确定抛物线方程中的a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积。

五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
1. 设)()1()(2
x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f ，试证明存
在ξ（21<<ξ）使得0)(=''ξF 。

2.
⎰≥-=x
n x tdt t t x f 0
22)
0(sin )()(
（1） 求)(x f 的最大值点；
（2） 证明：
)32)(22(1
)(++≤
n n x f
一、单项选择题 B D B C.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. dy =dx x x x )1arctan 411(2-+-.
6. ⎰=dx x f
n )()
(⎰++=+
c n x dx n x )2sin()2cos(π
π.
7.
0,6,2≠-==n p m .
8. )1(21
-e .
三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
9. (8分)计算极限 22011lim()
sin x x x →-.
解：222222
0011sin lim()lim sin sin →→--=x x x x x x x x
30sin sin lim →-+=x x x x x x x
201cos 12lim 33x x x →-==
10. (8分)设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f ，试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f '.
解： 当
x x x x f x 1
sin
1cos 2)(,0+='>；当1)(,0='<x f x 2001cos
00'(0)lim 0'(0)lim 1
x x x x x x f f x x +-∆→+∆→-∆-∆-∆=====∆∆
故f (x )在x =0处不可导。

()⎪⎩⎪
⎨⎧<>+='0101sin 1cos 2x x x
x x x f 11. (8分)设函数()y f x =在(,)-∞+∞连续，在0x ≠时二阶可导，且其导函数()f x '的
()f x ()y f x =的拐点.
解：极大值点：x a =x d = 极小值点：x b = 拐点(0,(0)),(,())f c f c
四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）
12. (9分)求不定积分 2
2(2)(1)x dx
x x --⎰.
解：原式=2413
()(1)1dx x x x -++--⎰
=
1
4ln 3ln 11x x c x -
--+-
13. (9分)计算定积分
1
ln e
e
x dx
⎰
.
解：原式=()1
11
ln ln e e
x dx xdx
-+⎰⎰
()[]1
11
ln ln e
e
x x x x x x =--+-⎡⎤⎣⎦
2
2e =-
14. (9分)已知直线
11:
123x y z l -==，2123:254x y z l ---==,求过直线l 1且平行于直
线l 2的平面方程.
解：12(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1)n s s =⨯=⨯=-
取直线l 1上一点M 1(0,0,1) 于是所求平面方程为 72(1)0x y z -++-=
15. (9分)过原点的抛物线2
ax y = (0)a > 及y =0, x =1所围成的平面图形绕x 轴
一周的体积为π581
. 求a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积.
解：
1
1
5222
()5
x
V a x dx a ππ==⎰2
5a π=
由已知得 5815
2
π
π=
a 故 a = 9 抛物线为：2
9x y =
绕y 轴一周所成的旋转体体积：
1
2
029V x x dx π=⋅⎰1
4091842x ππ
== 五 综合题（每小题4分，共8分）
16. (4分)设
)()1()(2
x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f . 证明：存在ξ（12ξ<<）使得()0F ξ''=。

证明：由)(x f 在[1，2]上二阶可导，故F (x )在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故F (1)=F (2) = 0
在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点)21(,00<<x x 使0)(0='x F
)()1()()1(2)(2
x f x x f x x F '-+-='得0)1(='F
在[1，x 0]上对)(x F '用罗尔定理，至少有点)21(0<<<x ξξ0)(=''ξF 17. (4分).
解：（1）1x =为()f x 的最大值点。

22()()sin n f x x x x '=-，当01x <<，22()()sin 0n f x x x x '=->；当1x >，22()()sin 0n f x x x x '=-≤。

(1)f 为极大值，也为最大值。

（2）
220
()()sin (1)
x
n f x t t tdt f =-≤⎰
1
1
22220
1
(1)()sin ()(22)(23)n n f t t tdt t t t dt n n =-≤-=
++⎰⎰
高等数学上B （07）解答
一、填空题：（共24分，每小题4分）
1．2sin[sin()]y x =，则dy dx =22
2cos[sin()]cos x x x 。

2． 已知2
1a
dx x π+∞-∞=+⎰，a =__1______。

3．
1
ln e
e
x dx =⎰
2
2e -。

4． x
y e =过原点的切线方程为y ex =。

5．已知()x f x e =，则'(ln )
f x dx x ⎰=x c +。

6．a =32-
，b =92
时，点(1,3)是曲线32
y ax bx =+的拐点。

二、计算下列各题：（共36分，每小题6分） 1．求cos (sin )x
y x =的导数。

解：
cos lnsin cos lnsin ()(sin ln sin cot cos )x x x x y e e x x x x ''==-+ 2．求sin ln xdx
⎰。

解：sin ln sin ln cosln xdx x x xdx
=-⎰
⎰
sin ln cosln sin ln x x x x xdx =--⎰
1
(sin ln cosln )2x x x x C =-+ 3
．求。

解：
212dx =+
5ln |x C ++
4．设
,
0()1,0x k
e x
f x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩在点0x =处可导，则k 为何值？
解：1
00(0)lim lim k
k x x x f x x --→-→-
'==
01
(0)lim 1
x x e f x +→+-'== 1k =
5
．求极限
21
n
n →∞
+++。

解：
211
lim n n
n k n →∞
→∞
=++=
lim
n
n k
→∞
==
10
=⎰=
1
0ln(|ln(1x =+= 6．求过点(2,2,0)且与两直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩和200x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩平行的平面方程。

解：两直线的方向向量分别为1(1,2,1)(1,1,1)(1,2,3),s =-⨯-=--2(2,1,1)(1,1,1)(0,1,1)s =-⨯-=--，平面的法向量
(1,2,3)(0,1,1)(1,1,1)n =--⨯--=--。

平面方程为0x y z -+=。

三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）
1．设cos sin x R t y R t =⎧⎨=⎩，求22
d y dx 。

解：cot dy
t
dx =-
22
311
(cot )sin sin t d y t dx
R t R t '=-=-- 2．求0()(1)x
F x t t dt =-⎰在[1,2]-上的最大值和最小值。

解：()(1)0,0,1F x x x x x '=-===
1012001
(0)0,(1)(1),
652
(1)(1),(2)(1)63F F t t dt F t t dt F t t dt -==-=--=-=-=-=
⎰⎰⎰ 最大值为23，最小值为5
6-。

3．设()y y x =由方程22
(1)ln(2)0x y x y +-+=确定，求'(0)y 。

解：方程
22
(1)ln(2)0x y x y +-+=两边同时对x 求导
2222(1)20
2x y y xyy x y '
+'++-
=+
将
1
0,2x y ==
代入上式
5'(0)8y =
4．求由2y x =与2
y x =围成的图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积。

解：
1
40
()V y y dy
π=-⎰
310π=
四、证明题：(共12分，每小题6分)
1．证明过双曲线1xy =任何一点之切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的
面积为常数。

证明：双曲线1xy =上任何一点(,)x y 的切线方程为
21
()
Y y X x x -=--
切线与x 轴、y 轴的交点为1
(0,),(2,0)
y x x +
故切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为 1
()2
s x y x =+=
2．设函数()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上连续，证明：至少存在一点ξ使得
()()()()b a f g x dx g f x dx
ξ
ξξξ=⎰⎰
证明：令()()()b x
x a F x g x dx f x dx
=⎰⎰
()()0F a F b ==，由Rolle 定理，存在一点[,]a b ξ∈，使()0F ξ'=，即
()()()()b a
f g x dx g f x dx
ξ
ξ
ξξ=⎰⎰
高等数学上解答（07）
一、 单项选择题（每小题4分，共16分）
1．|sin |
()cos x f x x xe
-=()x -∞<<+∞是 A 。

（A ）奇函数； （B ）周期函数；（C ）有界函数； （D ）单调函数
2．当0x →时，
2
()(1cos )ln(12)f x x x =-+与 B 是同阶无穷小量。

（A ）3x ； （B ）4x ； （C ）5x ； （D ）2
x
3．直线2020x y z x y z -+=⎧⎨
+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是 C 。

（A ）直线在平面内；（B ）平行； （C ）垂直； （D ）相交但不垂直。

4．设有三非零向量,,a b c 。

若0, 0a b a c ⋅=⨯=，则b c ⋅= A 。

（A ）0； （B ）-1； （C ）1； （D ）3 二、 填空题（每小题4分，共16分）
1．曲线ln y x =上一点P 的切线经过原点(0,0)，点P 的坐标为(,1)e 。

2．
20
tan lim
(1)x x x x x e →-=
-1
3。

3．方程
2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。

4．曲线2
y x =、1x =与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为5π。

三、 解下列各题（每小题6分，共30分）
1．已知2sin ()lim ()
t
t t x f x t →+∞-=，求()f x '。

解：22sin sin ()lim ()t
x
t t x f x e t -→+∞-== 2
sin ()sin 2x f x e x -'=-
2．求不定积分1
[ln(ln )]ln x dx x +⎰。

解: 11
[ln(ln )]ln(ln )ln ln x dx x dx dx x x +=+⎰⎰⎰
11
ln(ln )ln ln x x dx dx
x x =-+⎰⎰
ln(ln )x x C =+
3．计算定积分1
241sin (1x x dx x -+⎰。

解：111
2244111sin sin ((11x x x dx x dx x dx x x ---+=+++⎰⎰⎰
1
1(0
x dx -=+⎰
sin 2220
2sin cos x t
t tdt
π
==⎰
8π
=
4．求不定积分1sin 1cos x
dx x ++⎰。

解：1sin 1sin 1cos 1cos 1cos x x
dx dx dx x
x x +=++++⎰⎰⎰ 21cos sec 221cos x d x dx x =-+⎰⎰
tan ln |1cos |2x
x C
=-++
5．已知(ln )f x x '=，且(1)1f e =+，求()f x 。

解：令ln x t =，()t
f t e '=
()x
f x e C =+
(1)1f e =+，
()1x
f x e =+ 四、 （8分）设()f x 对任意x 有(1)2()f x f x +=，且
1
(0)2f '=-。

求(1)f '。

解：由(1)2()f x f x +=，(1)2(0)f f =
1()(1)(1)lim
1x f x f f x →-'=- 10(1)(1)lim x t t f t f t =+→+-= 02()2(0)lim
t f t f t →-=
2(0)1f '==-
五、（8分）证明：当1x >时，22(1)ln (1)x x x ->-。

证明：只需证明(1)ln 1x x x +>-。

令()(1)ln 1f x x x x =+-+
1
()ln 0
f x x x '=+>，()f x 在[1,)+∞单调递增。

(1)0f =，当1x >时，()0f x >。

即22
(1)ln (1)x x x ->-。

六、 （8分）
已知
220
()()()x
F x x t f t dt
''=-⎰，()f x ''连续，且当0x →时，()F x '与2
x
为等价无穷小量。

求(0)f ''。

解： 20()lim 1x F x x →'=
22220
()()()()()x x x
F x x t f t dt x f t dt t f t dt
''''''=-=-⎰⎰⎰
220
()2()()()2()x x
F x x f t dt x f x x f x x f t dt
'''''''''=+-=⎰⎰
22002()()lim
lim 2(0)x
x x x f t dt
F x f x x →→'''''==⎰
1
(0)2f ''=
七、 （8分）
设有曲线
2
4 (01)y x x =≤≤和直线 (04)y c c =<<。

记它们与y 轴所围图形的面积为1A ，它们与直线1x =所围图形的面积为2A 。

问c 为何值时，可使
12A A A =+最小？并求出A 的最小值。

解：
4120
(1)22c c y y A A A dy dy
=+=+-⎰
⎰
()1A c c '=-
令()10A c c '=-=，得1c =。

1(1)02A ''=
>，1c =为最小值点。

401min (11
A dy =+-=⎰⎰
八、设()f x 在(,)a b 内的点0x 处取得最大值，且|()| ()f x K a x b ''≤≤≤。

证明：|()||()|()f a f b K b a ''+≤-
证明：0()0f x '= 在0[,]a x 对()f x '应用拉格朗日定理
01010()()()() ()f x f a f x a a x ξξ''''-=-<< 100()()(), |()|() f a f a x f a K x a ξ''''=-≤-
在0[,]x b 对()f x '应用拉格朗日定理
02002()()()() ()f b f x f b x x b ξξ''''-=-<<
200()()(), |()|() f b f b x f b K b x ξ''''=-≤-
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
(本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)
1、
.)1ln(2)(;)1ln(2)(;
)1ln()()1ln()(,d 1
1
c e x D c x e C c e B c e A I x e e I x x x x x x ++-+-++++-=
+-=⎰ 则设
答( )
2、
lim ()()()()n n n n n
e e e
e A B e C e D e →∞
-⋅⋅=
1212
1 答（ ） 3、
)()
1()1()()1(1)()1)(1()1()()1)(1(1)()
10)(()(11
)(1
2
1
21
1
11 答 式中 格朗日型余项阶麦克劳林展开式的拉的++++++++θ--θ-θ-+-θ-+<θ<=-=n n n n n n n n n n n x x D x x C x
x n B x x n A x R n x
x f
4、
)()()()()()()()()(0
, 2cos 1)
(lim ,0)0(,0)(0 答 的驻点但不是极值点　是的驻点 不是的极小值点
　是的极大值点 是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x x
x f f x x f x ==-==→
5、
1213)(49)(94)(421)()1(2)4,0(422002　
图形的面积所围成的平面
与曲线处的切线上点曲线D C B A A x y T M M x x y =
-=+-=
答( )
二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)
1、设　，则＿＿＿＿
y x x y =++'=ln tan()11
2、并相应求得下选内的近似根时，在用切线法求方程023,)01(0152x x x x -=--- __________________ 101 分别为，则一个近似值x x x
3、设空间两直线λ1
2111-=+=-z y x 与x y z +=-=11相交于一点，则λ=⎽⎽⎽⎽⎽ 。

4、. ___________0 , 001
sin )(2==⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-+=a x x a x x
e x x
f ax 处连续，则在 ，当，当
5、是实数．
，其中b dx x b
_________________ 0 =⎰ 三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )
设平面π与两个向量 a i j =+3和 b i j k =+-4平行，证明：向量
c i j k =--26与平面π垂直。

四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )
的敛散性．
讨论积分⎰10p x dx
五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 )
为自然数。

其中的递推公式导出计算积分n x x x
I n n ,1d 2
⎰+=
六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )
求过P 0423(,,)-与平面π:x y z ++-=100平行且与直线⎩⎨
⎧=-=--+010052:1z z y x l 垂直
的直线方程。

七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )
x x x x x x tan 2cos sin 1lim
0-+→计算极限
八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )
．
，并计算积分为自然数的递推公式试求⎰⎰=e
e n n dx x n dx x I 131)(ln )()(ln
九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )
设在内可微但无界，试证明在内无界。

f x a b f x a b ()(,),()(,)' 十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )
[])()(lim , )()(lim )(lim 0000
00u f x f u f u f u x x x u u x x =ϕ==ϕ→→→证明：，设。

十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )
体的高求体积最大的内接圆柱的球内在半径为,R 十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )
重量为p 的重物用绳索挂在A B ,两个钉子上，如图。

设
cos ,cos αβ==
12134
5，求A B ,所受的拉力f f 12,。

B
十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )
一质点沿抛物线运动其横坐标随着
时间的变化规律为的单位是秒的单位是米求该质点的纵坐标在点，处的变化速率．,(),(,),()y x x t x t t t x M =-=1086
十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )
;
)1.(,02,2求这个平面图形的面积围成一平面图形及设曲线=-==
y y x y x .)2(积轴旋转而成的立体的体求此平面图形绕x
、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)
1、C
2、答：B
3、C 10分
4、（Ｂ）
5、C
二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)
1、()sec ()
(tan())
111211
2
2-+++x x x x x
10分
2、x 00=
5分 x 115=-
10分
3、54
4、-1
5、-<=>⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪b b b b b 2
2
200020，　，， 10分
三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )
平面法向量
n a b i j
k
=⨯=-=-31
0114
4122{,,}
4分
n c =-2
n 与 c 平行
8分
从而平面与
c 垂直。

10分
四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )
当时， p dx x dx x p x p p p p p ≠==-⋅=--⎰⎰→+→+-→+-11111111
0101011
01lim lim()lim ()
εεεε
εε =-<+∞>⎧⎨⎪
⎩⎪1
111
p
p p ，， 5分
当时，p dx x dx x x p ====+∞⎰⎰→+10101
01lim ln εε 7分 .1110时发散时收敛，当当≥<⎰p p x dx
p 10分
五、解答下列各题
( 本 大 题11分 )
⎰
+=+1
1
:21x d x I n n 法一
解
=
++++++⎰x x n x x dx n n 2122
111
()
3分
=+++++=+++++++=
+++++++++-+⎰⎰⎰x x n x x x dx
x x n x x dx n dx
x x x x n I n I n n n n n n n n
212
2221
22221
21111
1111111
11()()()()()
故I x n x n n I n n n
++=-++-+2
21111()
7分
法二令 I x x x c
I x n x n n I n I x x c x t dx tdt n n n 1221
202
211
112121=+-+∴=-+-+--≥=+++==--ln ()()ln tan sec 10分 ∴==⎰⎰I tdt t t t
t dt n n n sec tan sec sec tan 2
3分
⎰⎰⎰⎰++++=++==+++++dt t t
n dt t t n t
t dt
t t
n t t t t
d n n n n n n tan sec )1(tan sec )1(tan sec tan sec )1(tan sec tan sec 231
2311
5分
　=++++∴=-+-
++∴=-+-+--≥++++--x x n I I I n n I x n x I x n x n
n I n n n n n n n n n n 21
22
21
21
21
111111212()()()()()
7分
I x x x c
1211
=+-+ln
I x x c 021=+++ln .
10分
六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )
π的法向量为n ={,,}111
l 1的方向向量为
S j k
12101210=-=-{,,}
3分 所求直线方向向量为
S n S =⨯=-1123{,,}
7分
从而所求直线方程为
x y z -=-=+-41223
3 10分
七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )
原式=+-++→lim
sin cos tan (sin cos )
x x x x
x x x x x 021212
3分 =+→12202lim(sin tan sin tan )x x x x x x x x 7分 =+=121452()
10分
八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )
I x dx
x x n x dx
n n e
n e
n e
==-⎰⎰-(ln )ln (ln )1
111　
=--e nI n 1
4分
于是　I e ne n n e n dx
n n
e =-+--+-⎰()()!111
)1(!)1(2)1()1()1(1--+--+--+-=-e n e n n e n n ne e n n
7分
所以 (ln )()
x dx e e e e e
e
31
366162=-+--=-⎰ 10分
九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )
证明反证设在内有界即则有:()(,),(,)
()'∃>∀∈'≤f x a b M x a b f x M
2分
使
之间与介于则至少存在的条件满足拉格朗日中值定理为端点的区间上与在以则对取,,)
(),,(),(0000x x x f x x x x b a x b a x ξ≠∈∀∈
f x f x f x x ()()()()-='-00ξ
5分
即 记为f x f x f b a f x M b a K
()()()()
()()≤+'-=+-00ξ 8分
即在内有界与题意矛盾故假设不正确即在内无界f x a b f x a b ()(,),,()(,).' 10分 十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )
00)
()(lim 00
>η>ε=→，存在任给由u f u f u u
ε<-η<-)()(00u f u f u u 时，恒有使当 4分
η
<-ϕδ<-<>δη=ε=ϕ→0010)(00
)(lim 0
u x x x u x x x 时，使当，存在，取又 8分
[]故当时，就有成立000<-<-<x x f x f u δϕε()() []因此lim ()()
x x f x f u →=0
0ϕ
10分
十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )
R
h h R h V h R r h 20)4
()2
(,22
22<<-π=-= 其体积为 则圆柱体的底面半径设内接圆柱体的高为 4分
唯一驻点　'=-=
V R h h R π()2234
23
3
''=-<V h 3
20
π
8分 故时圆柱体体积最大h R =
23
3,
10分
十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )
按点O 受力平衡，应有
f f p f f 12120cos cos sin sin αβαβ+=-=⎧⎨⎩，即 1213454513
350
81212f f p f f +=-=⎧⎨⎪⎩⎪()()
分分
解得f p f p 1239562556=
=,
(10分)
十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )
48==t x 时，当　
2分
4)
(3423
21
====t t t dt dx 米／秒
4分
3
)( 8)
(18 )210(==-=⋅-=t x x dt
dx
x dt dy 米／秒
答：质点的纵坐标在，处的变化率为米／秒M ()()81618- 10分
十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )
解 交点 :()(,).
(arcsin )
1211213222220
1
21
2212
x y x y S x dx x dx
x x x
=
=-=+-=+-+⎰⎰
3分
=
-+-131224ππ
=-π416, 5分
()()224
1
21
2　V x dx x dx
x =+-⎰⎰ππ 8分
=
+--
-=-π
ππ
π5
2213
2214232215
()()
().
10分
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)
1、
lim(cos )()
sec x x x A e B e C D →--=π
1414
222 ． ． ． ．
答（ ） 2、
（　）
答 要条件
的充分条件，也不是必Ⅱ不是Ⅰ　的充要条件
Ⅱ是Ⅰ　的必要但非充分条件Ⅱ是Ⅰ　的充分但非必要条件Ⅱ是Ⅰ　关系是Ⅱ与则且的某去心邻域内可导在 设)()()()()()()()()()()()(:
)()
(lim )()
()(lim
)(,0)(lim )(lim 0)(,)(),(00
0D C B A A x g x f A x g x f I x g x f x g x x g x f x x x x x x x x =''===≠'→→→→
3、
[][][] 答（ ） 上的定积分，．在　差上的积分与一个常数之，．在　．一个原函数 ．原函数一般表示式 的
是，则　连续，，在设b a D b a C B A x f x F b x a t x f x F b a x f x
a
)( )()( )()()()(d )()()(≤≤=⎰ 4、
） 答（
是等价无穷小，则的导数与时，若已知2
1)( 1)(2
1)( 1)()0(d )()()(02022-
-=
''''-=→⎰D C B A f x t t f t x x F x x
二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)
1、_________________2
1
的铅直渐近线是x
xe y =
2、=
⎰
x x d tan 2
__________.
3、[]上的定积分与，在，则为周期的连续周期函数为以设)0()()(≠+a T a a x f T x f []______________0)(是上的定积分的大小关系，在T x f
4、直线x y z 12375=+=+与平面39170x y z +-+=的交点为
⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。

三、解答下列各题
(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分)
().1)1ln()(阶麦克劳林展开式带拉格朗日型余项的写出n x x x f <-= 2、(本小题6分)
指出锥面x y z 22
2
416+=被平行于zox 平面的平面所截得的曲线的名称。

四、解答下列各题
(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)
.
d x x ⎰求　
2、(本小题2分)
．
计算⎰+4
0)(dx x x
3、(本小题5分)
⎰+.
d ln 1ln x x x x
求
4、(本小题5分)
．求⎰+41
)1(x x dx
5、(本小题11分)
设　，求．
y x x x dy x ()()
()tan =-<<21
212
π
五、解答下列各题
(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)
为偶函数．
试证：⎰π
++=02)1cos 2ln()(dx x t t t F
2、(本小题7分)
试证：对角线向量是{}{}A B =--=-341236,,,,,的平行四边形是菱形，并计算其边长。

六、解答下列各题
(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分)
在抛物线找出到直线的距离为最短的点y x xk y =-=2342 2、(本小题6分)
设曲线的方程为已知在曲线的任意点处满足且在曲线上的点处的曲线的切线的方程为求此曲线的方程y f x x y y x x y =''=--=().(,),(,),.602236 3、(本小题8分)
.
.42)(,4.01000)().(),(,,2000者剩余点及消费者剩余和生产求均衡供给曲线方程为求曲线方程已知需右图区域间的面积直线者剩余定义为供曲线与生产右图区域间的面积线与直线费者剩余定义为需求曲消
曲线相交时的价格定义为供给曲线与需求均衡价格经济学上x x p x x p p p p p p =-=∏=I =
七、解答下列各题
(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)
处的连续性．在试判定处不连续，
在处连续，在设000)()()()()(x x g x f x F x x g x x x f +== 2、(本小题5分)
是否为无穷大？，试判定，若)()(lim )(lim )(lim 0
00x g x f A x g x f x x x x x x ⋅=∞=→→→
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)
1、D 10分
2、答　()B 10分
3、B 10分
4、B
10分
二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)
1、x =0
2、=-+tan .x x c
3、=
10分
4、(,,)243 三、解答下列各题
(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分)
f x x x x x n R x n
n ()()
=-----+2323 7分 R x n x x n n n ()(),=-+⋅-++111
101
1ξξ介于与之间 10分
2、(本小题6分)
用y y =0所截得的曲线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0
2
02
2164y y y z x 4分
故y 00=时为一对相交直线
y 00≠时为双曲线 10分
四、解答下列各题
(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)
.32d 23
c x x x +=⎰ 10分
2、(本小题2分)
原式=+()x x 23
20
4
223 7分 =
403 10分
3、(本小题5分)
⎰+x x x x
d ln 1ln
⎰+=)
d(ln ln 1ln x x x
3分
⎰
⎰++-++=x x x x ln 1)ln 1d()ln 1d(ln 1
7分 .ln 12)ln 1(32
23c x x ++-+=
10分
4、(本小题5分)
令　x t =
原式=+⎰21212t
t t dt
()
4分 =-+⎰211112
()t t dt
6分 []=-+2112
ln ln()t t
8分
=243ln
10分 5、(本小题11分)
dy y x dx ='()
2分
　=----⎡⎣⎢⎤⎦⎥()
sec ln()tan tan 22
221222
2x x x x x dx x π
πππ 10分
五、解答下列各题
(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)
F t t t x dx
()ln(cos )-=-+⎰20
21π
2分
令　x u =-π
F t t t u du
()ln(cos )-=-++⎰20
21π
6分
=++⎰ln(cos )t t x dx
20
21π
8分 =F t () 10分
2、(本小题7分)
因为A B ⋅=⨯+-⨯+-⨯-=3243160()()()，故A B ⊥
因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。

（6
分）
边长
[]
[]
=+-+-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+++-⎧⎨⎩⎫⎬
⎭123411
2236222122
222122
()()()// =523 （10分）
六、解答下列各题
(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分)
设抛物线上任点到直线的距离为(,),x x 2
d x x x x =
--+=-+342
916
1
543222()
4分
'=-=''=
>d x x d 1
58338
850()
唯一驻点　
最小
时故当d x ,83
=
8分 即点，到直线的距离最短
3
89643420⎛⎝ ⎫⎭⎪--=x y
10分
(注如用切线平行于已知直线解也可以)
2、(本小题6分)
)
1(3d 2 c x x y y +=''='⎰
3分
又由得 代入得
2362
3
2
2
3102x y y x y -==-∴'=-(,)() '=+
y x 32
32
5分
c x x x x y ++=+
=∴⎰32d )323(32
.
232
,2)2,0(3-+=∴-=-x x y c 代入得再将
10分
3、(本小题8分)
p x p x =-=⎧⎨
⎩100004422., 解出x =20. 均衡点p =840.
3分
[]
[]⎰⎰-=--20
020
24284033
.2133840)4.01000(dx
x dx
x 生产者剩余 消费者剩余
6分 =8400 10分
七、解答下列各题
(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)
F x f x g x x ()()()=+在处必不连续0
4分 若在处连续，则
在处也连续，矛盾！F x x g x F x f x x ()()()()00=- 10分
2、(本小题5分)
答：不一定．
若，A f x g x x x ≠⋅=→0110
0lim
()()
∴⋅=∞→lim ()()x x f x g x 0
4分 但若则等式可能不成立A =0 6分
例如，１
lim
lim ()x x x x x →→-=∞-=121
110
但lim ()x x x →-⋅-=≠∞121
110 10分
1、的值为
， 极限)00()1(lim 0≠≠+→b a a x
x b
x
答（ ） ． ．　a
be
D e C a b B A a b
)
()(ln )(1)( 2、
lim(cos )
cos x x
x A e B C D →+=
∞
33181． ． ． ． 答（ ） 3、。