2020高中数学 2章整合课时同步练习 新人教A版选修2-1

2章整合
(考试时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以x 24－y 2
12＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.x 216＋y 2
12＝1 B.
x 212＋y 2
16
＝1 C.
x 2
16＋y 2
4
＝1 D.x 24＋y 2
16
＝1 解析： 双曲线x 24－y 2
12＝－1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，
故所求椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，c ＝23， ∴b 2
＝4，所求方程为x 24＋y 2
16＝1，故选D.
答案： D
2．设P 是椭圆x 2169＋y 2
144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )
A ．22
B ．21
C ．20
D ．13
解析： 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26， 又∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝26－4＝22. 答案： A
3．双曲线方程为x 2
－2y 2
＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，0 B.⎝
⎛⎭
⎪⎫
52，0 C.⎝
⎛⎭
⎪⎫
62，0 D ．(3，0)
解析： 将双曲线方程化为标准方程为x 2
－y 2
12＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2
＝32，
∴c ＝
62
， 故右焦点坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫
62，0.
答案： C
4．若抛物线x 2
＝2py 的焦点与椭圆x 23＋y 2
4＝1的下焦点重合，则p 的值为( )
A ．4
B ．2
C ．－4
D ．－2
解析： 椭圆x 23＋y 2
4＝1的下焦点为(0，－1)，
∴p
2＝－1，即p ＝－2. 答案： D
5．若k ∈R ，则k >3是方程x 2
k －3－
y 2
k ＋3
＝1表示双曲线的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析： 方程
x 2
k －3－
y 2
k ＋3
＝1表示双曲线的条件是(k －3)(k ＋3)>0，
即k >3或k <－3.故k >3是方程
x 2
k －3－
y 2
k ＋3
＝1
表示双曲线的充分不必要条件．故选A. 答案： A
6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→
＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，
22 D.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
22，1 解析： 由MF 1→·MF 2→
＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，
即c 2
<b 2
，c 2
<a 2
－c 2,
2c 2
<a 2
， 故离心率e ＝c a <
2
2
. 因为0<e <1，所以0<e <
22
. 即椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，22.故选C. 答案： C
7．已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )
A.45
B.3
5 C ．－35
D ．－45
解析 方法一：由⎩⎪⎨
⎪
⎧
y ＝2x －4，y 2
＝4x ，
得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1，y ＝－2
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，y ＝4.
令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，
∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5. ∴cos ∠AFB ＝|BF |2
＋|AF |2
－|AB |2
2|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－4
5.
方法二：由方法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴FA →＝(3,4)，FB →
＝(0，－2)， ∴|FA →|＝32＋42
＝5，|FB →|＝2. ∴cos ∠AFB ＝FA →·FB
→|F A →|·|F B →|＝
3×0＋4×－
5×2
＝－45
.
答案： D
8．F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2
7＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的
面积为( )
A ．7 B.72 C.74
D.75
2
解析： |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6，|AF 2|＝6－|AF 1|. |AF 2|2
＝|AF 1|2
＋|F 1F 2|2
－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2
－4|AF 1|＋8(6－|AF 1|)2
＝|AF 1|2
－4|AF 1|＋8，∴|AF 1|＝72
.
S ＝12×72×22×
22＝72
. 答案： B
9．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )
A ．x 2
－y 28＝1(x >1)
B ．x 2
－y 2
8＝1(x <－1)
C ．x 2
＋y 2
8
＝1(x >0)
D ．x 2
－y 2
10
＝1(x >1)
解析： 设圆与直线PM 、PN 分别相切于E 、F ， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |. ∴|PM |－|PN |＝|PE |＋|ME |－(|PF |＋|NF |) ＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |.
所以点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的一支，且a ＝1， ∴c ＝3，b 2
＝8，
∴所以双曲线方程是x 2
－y 2
8＝1(x >1)．
答案： A
10．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2
D ．3
解析： 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与
对称轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2
a 2－1＝
b 4a
2， ∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2
a ＝4a ，∴
b 2
a
2＝2，
∴c 2－a 2a
2＝e 2
－1＝2.
∴e ＝ 3. 答案： B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若双曲线的渐近线方程为y ＝±1
3x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方
程是________．
解析： 由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝1
3，
它的一个焦点是(10，0)，知a 2
＋b 2
＝10， 因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 2
9
－y 2
＝1.
答案：
x 2
9
－y 2
＝1
12．若过椭圆x 216＋y 2
4＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．
解析： 设直线方程为y －1＝k (x －2)，
与双曲线方程联立得(1＋4k 2
)x 2
＋(－16k 2
＋8k )x ＋16k 2
－16k －12＝0， 设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝16k 2
－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－1
2，
所以直线方程为x ＋2y －4＝0. 答案： x ＋2y －4＝0
13.如图，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的左、右焦点，点P 在椭
圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2
的值是________．
解析： ∵△POF 2是面积为3的正三角形， ∴12c 2
sin 60°＝3， ∴c 2
＝4， ∴P (1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
1a 2＋3b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解之得b 2
＝2 3.
答案： 2 3
14．已知抛物线y 2
＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 2
1＋y 2
2的最小值是________．
解析： 显然x 1，x 2≥0，又y 2
1＋y 2
2＝4(x 1＋x 2)≥8x 1x 2， 当且仅当x 1＝x 2＝4时取等号，所以最小值为32. 答案： 32
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 2
25＝1共焦点，它们的离心率之和为145，
求双曲线方程．
解析： 由椭圆方程可得椭圆的焦点为F (0，±4)， 离心率e ＝4
5
，
所以双曲线的焦点为F (0，±4)，离心率为2， 从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3. 所以双曲线方程为y 24－x 2
12
＝1.
16．(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．
解析： 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝3
2
得a ＝2b .
|PM |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋122＋4b 2
＋3(－b ≤y ≤b )，
若b <12，则当y ＝－b 时，|PM |2
最大，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝7，
则b ＝7－32>1
2
，故舍去．
若b ≥12时，则当y ＝－12时，|PM |2最大，即4b 2
＋3＝7，
解得b 2
＝1.
∴所求方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
17．(本小题满分12分)设λ＞0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2
上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →
，求点P 的轨迹方程．
解析： 由QM →＝λMP →
知Q 、M 、P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，
故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2
)，则x 2
－y 0＝λ(y －x 2
)， 即y 0＝(1＋λ)x 2
－λy .① 再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →
， 即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝＋λx －λ，y 1＝＋λ
y 0－λ.
②
将①式代入②式，消去y 0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝＋λx －λ，
y 1＝
＋λ
2x 2
－λ
＋λy －λ.
③
又点B 在抛物线y ＝x 2
上，所以y 1＝x 2
1，
再将③式代入y 1＝x 2
1，得
(1＋λ)2x 2
－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2
，
(1＋λ)2x 2
－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2
－2λ(1＋λ)x ＋λ2
， 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.
因为λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.
18．(本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点
F 1到直线x ＝－
a 2
3
的距离为
3
3
，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |.
(1)求椭圆的方程； (2)求直线l 的方程． 解析： (1)∵F 1到直线x ＝－
a 2
3
的距离为
33
， ∴－3＋a 2
3
＝
33
. ∴a 2
＝4.
而c ＝3， ∴b 2
＝a 2
－c 2
＝1. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 2
4＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． ∵|F 2B |＝3|F 2A |，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3＝x 2
＋3x 1
1＋3，0＝y 2
＋3y
1
1＋3，
⎩⎨
⎧
x 2＝43－3x 1，
y 2＝－3y 1.
∵A 、B 在椭圆x 2
4
＋y 2
＝1上，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x 21
4＋y 2
1
＝1，3－3x 1
2
4
＋－3y 1
2
＝1.
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1＝1033，y 1
＝2
33取正值
∴l 的斜率为2
33
－0
10
33－3＝ 2.
∴l 的方程为y ＝2(x －3)， 即2x －y －6＝0.。