2020版高考数学理科一轮复习课件(北师大版)：解析几何中的 定点、定值、探索性问题

课堂考点探究
案例
方法与思维
[2017·全国卷Ⅱ] 设 O 为坐标原点,动点
M 在椭圆 C:x2+y2=1 上,过 M 作 x 轴的 ……
2
(2)证明:由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则
垂线,垂足为 N,点 P 满足NP= 2NM.
(1)求点 P 的轨迹方程;
OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),【关键 1:用参数表示 P,Q
[思路点拨] (1)首先设直线 m 和圆 O 相切,过 A,B 分 别向直线 m 作垂线,垂足分别为 A',B',然后结合中位 线定理与抛物线定义推得 ������������ + ������������ =4,结合椭圆定 义可求得曲线 C'的方程;(2)设出直线 l 的方程,与曲线 C 的方程联立得到关于 y 的一元二次方程,同时用点 P,Q 的坐标表示出 P'Q 的方程,最后结合根与系数的 关系可得直线 P'Q 过 x 轴上的定点.
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方法与思维
[2017·全国卷Ⅰ] 已知椭圆
C:xa22+yb22=1(a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3
-1,
3 2
,P4
1,
3 2
中恰有三点在椭圆 C 上.
(1)求 C 的方程;
…… (2)证明:设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2, 如果 l 与 x 轴垂直,设 l:x=t,由题设知 t≠0,且|t|<2,
两点,若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 由题设 k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,
-1,证明:l 过定点.
即(2k+1)·44km22+-41+(m-1)·4-k82k+m1=0,
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方法与思维
[2017·全国卷Ⅰ] 已知椭圆
解得 k=-m+1.【关键 2:设出直线 l 的方程,并与椭
2
轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足
由OP·PQ=1 得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知 m2+n2=2, 故 3+3m-tn=0, 所以OQ·PF=0,【关键 2:在OP·PQ=1 的前提下,证明
NP= 2NM.
OQ·PF=0】
(1)求点 P 的轨迹方程;
即OQ⊥PF.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以
2
C:xa22+yb22=1(a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3
-1,
3 2
,P4Leabharlann 1,3 2中恰有三点在椭圆 C 上.
圆方程联立消去 y 得到关于 x 的一元二次方程, 利用根与系数的关系及条件找到直线 l 中两个参 数的关系】
(1)求 C 的方程;
当且仅当 m>-1 时,Δ>0,于是 l:y=-m+1x+m,即
(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且OP·PQ=1, 过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F【. 关
证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 键 3:利用平面内过一点作一直线的垂线的唯一性,
C 的左焦点 F.
即得直线 l 过点 F】
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2.由特殊到一般法:由特殊到一般法求解定点问题时,常根据动点或动直线的特殊情况探索 出定点,再证明该定点与变量无关.
3 2
,P4
1,
3 2
中恰有三点在椭圆 C 上.
(1)求 C 的方程;
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B
由题设可知 Δ=16(4k2-m2+1)>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-48kk2m+1,x1x2=44km22+-41.而 k1+k2=yx11-1+yx22-1=kx1x+1m-1+kx2x+2m-1=2kx1x2+(xm1x-12)(x1+x2).
-1,证明:l 过定点.
况】
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[2017·全国卷Ⅰ] 已知椭圆
C:xa22+yb22=1(a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3
从而可设 l:y=kx+m(m≠1).将 y=kx+m 代入x2+y2=1
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得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
-1,
破解难点优质课（四）
定点、定值、探索性问题
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破解难点一 定点问题
1.参数法:参数法解决定点问题的思路:(1)引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量, 即确定题目中的核心变量(此处设为 k);(2)利用条件找到 k 与过定点的曲线 F(x,y)=0 之间的 关系,得到关于 k 与 x,y 的等式,再研究变化量与参数何时没有关系,找到定点.
2
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B y+1=-m+1(x-2),所以 l 过定点(2,-1).【关键 3:将
2
两点,若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 k=-m+1代入直线 l 的方程,变形得到直线所过定
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-1,证明:l 过定点.
点】
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例 1 [2018·成都二诊] 已知圆 O 的方程为 x2+y2=4,若抛物线 C 过点 A(-1,0),B(1,0), 且以圆 O 的切线为准线,F 为抛物线的焦 点,点 F 的轨迹为曲线 C'. (1)求曲线 C'的方程. (2)过点 B 作直线 l 交曲线 C'于 P,Q 两 点,P,P'关于 x 轴对称,直线 P'Q 是否过 x 轴上的定点?如果不过,请说明理由;如果 过,请求出定点的坐标.
(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且OP·PQ=1, 的坐标及向量OQ,PF】
证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C OQ·PF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).
的左焦点 F.
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方法与思维
[2017·全国卷Ⅱ] 设 O 为坐标原点,动
点 M 在椭圆 C:x2+y2=1 上,过 M 作 x
可得 A,B 的坐标分别为 t, 4-t2 , t,- 4-t2 .
2
2
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B
则 k1+k2=
4-t2-2-
2t
4-t2+2=-1,得 t=2,不符合题设【. 关
2t
两点,若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 键 1:验证直线 l 与 x 轴垂直时,直线过定点的情