2024-2025学年高一数学必修第一册(湘教版)配套课件第5章-5.1.1角的概念的推广
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3.2 018°是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析 2 018°＝5×360°＋218°，故2 018°是第三象限角. 4.已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为1__1_1_0_°__. 解析 3×360°＋30°＝1 110°. 5.如图所示. (1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合； 解 终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}. 终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}. (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 解 终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.
时针与分针在旋转时形成的角总是负角.
为了简单起
730°
见，在不引起混淆
的情况下，角 或
∠ 可以简记为
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相等角、角的加减
【1】设∠α由射线OA绕端点O旋转而成，∠β由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们 的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.
设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角
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终边相同的角
【整理】轴线角的集合表示
{α|α=k·360°，k∈Z} {α|α=k·360°+180°，k∈Z} {α|α=k·360°+90°，k∈Z} {α|α=k·360°+270°，k∈Z}
{α|α=k·180°，k∈Z} {α|α=k·180°+90°，k∈Z}
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象限角与轴线角 【问题】锐角，第一象限角，小于90°的角，它们之间的区别是什么？
【答】①第一象限角不一定是锐角，如图左 ②锐角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，如图中 ③小于90°的角还包括零角和负角，如图右
α=390°
75° 30°
α=0° β=-130°
390°=30°+360°(k=1) -330°=30°-360°(k=-1) 一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合
{β|β=α+k·360°，k∈Z} 即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 当k=0时，角β就是角α本身.
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课堂小结
1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这 一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”. 2.关于终边相同的角的认识 一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°， k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
终边相同的角 【总结】对于{β|β=α+k·360°，k∈Z}的理解应注意以பைடு நூலகம்几点：
【1】α是任意角 【2】k∈Z有三层含义：
①特殊性：每取一个整数值，就对应一个具体的角 ②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括角α本身) ③从集合意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数
时，逆时针旋转；k取负整数时，顺时针旋转；k=0时，没有旋转. 【3】集合中的k·360°与α之间用+连接，如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，
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终边相同的角
【问题】把角放在坐标系中之后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，反
过来，对于直角坐标系内的任意一条射线OB，以它为
终边的角是否唯一？ 答案是否定的.那么终边相同的角有什么关系？
B
30°
O
【答】不难发现，OB除了可以表示30°的角之外，还可以表示390°，-330°等角. 与30°终边相同的这些角都可以表示成30°角与k个(k∈Z)周角的和.
注意 (1)α为任意角； (2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)； (3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整 数倍； (4)k∈Z这一条件不能少.
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谢 谢！
表示与-30°角终边相同的角
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终边相同的角
【整理】各象限角的集合表示
{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z} {α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z} {α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z} {α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z}
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新知学习
角的定义 【导入】现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角.例如体操中的“前空翻转体
540度”“后空翻转体720度”等动作.这里不仅角度超出了0°~360°，并 且旋转的方向也不相同.
【探究】如图是两个咬合的齿轮旋转的示意图，可以看出两 个齿轮旋转的方向刚好相反，联想到角的旋转定义 (一个角的大小取决于绕顶点旋转的的射线旋转的角度)， 我们知道，要准确描述这些现象， 不仅要知道旋转的度数，还要知 道旋转的方向，这就需要我们对 角的概念加以推广.
这次我们直接运用图示的高阶方法，从 轴 正半轴沿逆时针把每个象限平分成3部分，并 且依次标上①②③④，则标③的就是 所在 的区域.
①④ ③②
②
①
③
④
④ ① ②③
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随堂小测
1.下列说法正确的是 A.终边相同的角一定相等
√B.钝角一定是第二象限角
C.第四象限角一定是负角 D.小于90°的角都是锐角
相等角、角的加减 【总结】
（1）角的概念推广后，角度的范围不再局限于0°~360°
（2）确定任意角的度数既要知道旋转量，又要知道旋转方向，如顺时针旋 转30°和逆时针旋转30°缩成的角是不同的，它们互为相反角.
（3）用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少. （4）角的概念推广后，角的加减可以类比正负数的加减规则.
①
75°
30°
②
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即时巩固
【4】若α是第二象限角，请确定2α的终边所在的位置
【解】①因为α是第二象限角，所以 k·360°+90°＜α ＜ k·360°+180°,k∈Z 所以2k·360°+180° ＜ 2α ＜ 2k·360°+360°,k∈Z 如图，即2α的终边位于第三或者第四象限，或 者位于y轴的负半轴上.
2.与－457°角终边相同的角的集合是 A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z} B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z} C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z} D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z} 解析 －457°＝－2×360°＋263°，故选C.
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象限角与轴线角 【定义】我们通常在坐标系内讨论角.为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角
的终边始终与 轴的非负半轴重合. 那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.如下图左
边的角α就是第一象限角，角β就是第三象限角.
α
γ
β
如果角的终边在坐标轴上，那么它就不属于任何一个象限，此时我 们称这个角为轴线角.如上边右图的角γ.
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角的分类
【定义】我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺
时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有任何旋转，那么它就
形成了一个零角.零角的始边和终边重合，如果 是零角，那么
.
左图中的角是一个正角，它等于730°.右图中，正角
，负角
，
，正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的
也可以运用图示的高阶方法，从 轴正半轴沿逆时针把每个象限平
k·360°+225° ＜ ＜ k·360°+270°,k∈Z 分成2部分，并且依次标①②③④，
所以 的终边位于第一或者第三象限. 则标②的就是 所在的区域.
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即时巩固
【5】若α是第二象限角，请确定 的终边所在的位置 【解】
是α+β. 类似于实数t的相反数是-t，我们引入角α的相反角的概念.
如图：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两
个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α，则α-β=α+(-β).
O
α+β
β
A
α
于是角的减法可以转化为角的加法，如图：
α
-α
-α
α
30° -120°
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{α|α=k·90°，k∈Z}
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即时巩固
【1】锐角是第几象限角？直角呢？钝角呢？ 【解】锐角是第一象限角；直角是轴线角；钝角是第二象限角.
【2】第一象限角一定是锐角吗？轴线角一定是直角吗？第二象限角一定是钝角吗？ 【解】第一象限角不一定是锐角，如390°； 轴线角不一定是直角，如180°； 第二象限角不一定是钝角，如-210°.
5.1 第五章
任意角与弧度制
5.1.1 角的概念的推广
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学习目标
1.了解任意角、相反角的概念，能正确区分正角、负角和零角. 2.理解象限角、轴线角、终边相同的角的概念，会判断已知角的终边所在的象限以及几个已知角 是不是终边相同的角. 3.会用集合的形式表示象限角、轴线角和终边相同的角，能进行简单的角的集合之间的运算. 核心素养：数学抽象、逻辑推理
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即时巩固
【3】分别写出图中终边落在两个阴影部分的角α的集合
【解】①在0°~3600°范围来看，阴影部分的角α的 范围是30°≤α≤105°，所以在坐标系中角α 的范围是 {α|k·360°+30°≤α≤k·360°+105°,k∈Z} ②在0°~360°范围来看，阴影部分的角α的 范围是210°≤α≤285°，所以在坐标系中角α 的范围是 {α|k·360°+210°≤α≤k·360°+285°,k∈Z}
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即时巩固
【5】若α是第二象限角，请确定 的终边所在的位置
【解】①因为α是第二象限角，所以 k·360°+90°＜α ＜ k·360°+180°,k∈Z
③②
④
①
所以k·180°+45° ＜ ＜ k·180°+90°,k∈Z
①
④
k=2n(n∈Z)时，
②③
k·360°+45° ＜ ＜ k·360°+90°,k∈Z k=2n+1(n∈Z)时，
时针与分针在旋转时形成的角总是负角.
为了简单起
730°
见，在不引起混淆
的情况下，角 或
∠ 可以简记为
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相等角、角的加减
【1】设∠α由射线OA绕端点O旋转而成，∠β由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们 的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.
设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角
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终边相同的角
【整理】轴线角的集合表示
{α|α=k·360°，k∈Z} {α|α=k·360°+180°，k∈Z} {α|α=k·360°+90°，k∈Z} {α|α=k·360°+270°，k∈Z}
{α|α=k·180°，k∈Z} {α|α=k·180°+90°，k∈Z}
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象限角与轴线角 【问题】锐角，第一象限角，小于90°的角，它们之间的区别是什么？
【答】①第一象限角不一定是锐角，如图左 ②锐角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，如图中 ③小于90°的角还包括零角和负角，如图右
α=390°
75° 30°
α=0° β=-130°
390°=30°+360°(k=1) -330°=30°-360°(k=-1) 一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合
{β|β=α+k·360°，k∈Z} 即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 当k=0时，角β就是角α本身.
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课堂小结
1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这 一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”. 2.关于终边相同的角的认识 一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°， k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
终边相同的角 【总结】对于{β|β=α+k·360°，k∈Z}的理解应注意以பைடு நூலகம்几点：
【1】α是任意角 【2】k∈Z有三层含义：
①特殊性：每取一个整数值，就对应一个具体的角 ②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括角α本身) ③从集合意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数
时，逆时针旋转；k取负整数时，顺时针旋转；k=0时，没有旋转. 【3】集合中的k·360°与α之间用+连接，如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，
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终边相同的角
【问题】把角放在坐标系中之后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，反
过来，对于直角坐标系内的任意一条射线OB，以它为
终边的角是否唯一？ 答案是否定的.那么终边相同的角有什么关系？
B
30°
O
【答】不难发现，OB除了可以表示30°的角之外，还可以表示390°，-330°等角. 与30°终边相同的这些角都可以表示成30°角与k个(k∈Z)周角的和.
注意 (1)α为任意角； (2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)； (3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整 数倍； (4)k∈Z这一条件不能少.
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谢 谢！
表示与-30°角终边相同的角
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终边相同的角
【整理】各象限角的集合表示
{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z} {α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z} {α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z} {α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z}
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新知学习
角的定义 【导入】现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角.例如体操中的“前空翻转体
540度”“后空翻转体720度”等动作.这里不仅角度超出了0°~360°，并 且旋转的方向也不相同.
【探究】如图是两个咬合的齿轮旋转的示意图，可以看出两 个齿轮旋转的方向刚好相反，联想到角的旋转定义 (一个角的大小取决于绕顶点旋转的的射线旋转的角度)， 我们知道，要准确描述这些现象， 不仅要知道旋转的度数，还要知 道旋转的方向，这就需要我们对 角的概念加以推广.
这次我们直接运用图示的高阶方法，从 轴 正半轴沿逆时针把每个象限平分成3部分，并 且依次标上①②③④，则标③的就是 所在 的区域.
①④ ③②
②
①
③
④
④ ① ②③
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随堂小测
1.下列说法正确的是 A.终边相同的角一定相等
√B.钝角一定是第二象限角
C.第四象限角一定是负角 D.小于90°的角都是锐角
相等角、角的加减 【总结】
（1）角的概念推广后，角度的范围不再局限于0°~360°
（2）确定任意角的度数既要知道旋转量，又要知道旋转方向，如顺时针旋 转30°和逆时针旋转30°缩成的角是不同的，它们互为相反角.
（3）用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少. （4）角的概念推广后，角的加减可以类比正负数的加减规则.
①
75°
30°
②
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即时巩固
【4】若α是第二象限角，请确定2α的终边所在的位置
【解】①因为α是第二象限角，所以 k·360°+90°＜α ＜ k·360°+180°,k∈Z 所以2k·360°+180° ＜ 2α ＜ 2k·360°+360°,k∈Z 如图，即2α的终边位于第三或者第四象限，或 者位于y轴的负半轴上.
2.与－457°角终边相同的角的集合是 A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z} B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z} C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z} D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z} 解析 －457°＝－2×360°＋263°，故选C.
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象限角与轴线角 【定义】我们通常在坐标系内讨论角.为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角
的终边始终与 轴的非负半轴重合. 那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.如下图左
边的角α就是第一象限角，角β就是第三象限角.
α
γ
β
如果角的终边在坐标轴上，那么它就不属于任何一个象限，此时我 们称这个角为轴线角.如上边右图的角γ.
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角的分类
【定义】我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺
时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有任何旋转，那么它就
形成了一个零角.零角的始边和终边重合，如果 是零角，那么
.
左图中的角是一个正角，它等于730°.右图中，正角
，负角
，
，正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的
也可以运用图示的高阶方法，从 轴正半轴沿逆时针把每个象限平
k·360°+225° ＜ ＜ k·360°+270°,k∈Z 分成2部分，并且依次标①②③④，
所以 的终边位于第一或者第三象限. 则标②的就是 所在的区域.
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即时巩固
【5】若α是第二象限角，请确定 的终边所在的位置 【解】
是α+β. 类似于实数t的相反数是-t，我们引入角α的相反角的概念.
如图：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两
个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α，则α-β=α+(-β).
O
α+β
β
A
α
于是角的减法可以转化为角的加法，如图：
α
-α
-α
α
30° -120°
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{α|α=k·90°，k∈Z}
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即时巩固
【1】锐角是第几象限角？直角呢？钝角呢？ 【解】锐角是第一象限角；直角是轴线角；钝角是第二象限角.
【2】第一象限角一定是锐角吗？轴线角一定是直角吗？第二象限角一定是钝角吗？ 【解】第一象限角不一定是锐角，如390°； 轴线角不一定是直角，如180°； 第二象限角不一定是钝角，如-210°.
5.1 第五章
任意角与弧度制
5.1.1 角的概念的推广
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学习目标
1.了解任意角、相反角的概念，能正确区分正角、负角和零角. 2.理解象限角、轴线角、终边相同的角的概念，会判断已知角的终边所在的象限以及几个已知角 是不是终边相同的角. 3.会用集合的形式表示象限角、轴线角和终边相同的角，能进行简单的角的集合之间的运算. 核心素养：数学抽象、逻辑推理
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即时巩固
【3】分别写出图中终边落在两个阴影部分的角α的集合
【解】①在0°~3600°范围来看，阴影部分的角α的 范围是30°≤α≤105°，所以在坐标系中角α 的范围是 {α|k·360°+30°≤α≤k·360°+105°,k∈Z} ②在0°~360°范围来看，阴影部分的角α的 范围是210°≤α≤285°，所以在坐标系中角α 的范围是 {α|k·360°+210°≤α≤k·360°+285°,k∈Z}
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即时巩固
【5】若α是第二象限角，请确定 的终边所在的位置
【解】①因为α是第二象限角，所以 k·360°+90°＜α ＜ k·360°+180°,k∈Z
③②
④
①
所以k·180°+45° ＜ ＜ k·180°+90°,k∈Z
①
④
k=2n(n∈Z)时，
②③
k·360°+45° ＜ ＜ k·360°+90°,k∈Z k=2n+1(n∈Z)时，