高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》知识点总复习有答案解析

【最新】数学《空间向量与立体几何》专题解析(1)
一、选择题
1．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且22cos 3A =，1BC =，3AC =，三棱锥O ABC -的体积为
146，则球O 的表面积为( ) A ．36π
B ．16π
C ．12π
D ．163
π 【答案】B
【解析】
【分析】 根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC 是直角三角形，根据棱锥的体积求出O 到平面ABC 的距离，利用勾股定理计算球的半径OA ，得出球的面积．
【详解】
由余弦定理得22229122cos 26AB AC BC AB A AB AC AB +-+-===g ，解得22AB =， 222AB BC AC ∴+=，即AB BC ⊥．
AC ∴为平面ABC 所在球截面的直径．
作OD ⊥平面ABC ，则D 为AC 的中点，
11114221332O ABC ABC V S OD OD -∆==⨯⨯⨯⨯=Q g ， 7OD ∴=． 222OA OD AD ∴=+=．
2416O S OA ππ∴=⋅=球．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断ABC ∆的形状是关键．
2．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．163π
B ．643
C ．16643
π+ D ．1664π+ 【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是有一个四棱锥与一个圆锥的四分之一组成，其中四棱锥的底面是边长为4 的正方形，高为4 ，圆锥的底面半径为4 ，高为4，该几何体的体积为， 221116644444333
V ππ+=⨯⨯+⨯⨯⨯=， 故选C.
3．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A ．34
B ．78
C ．1516
D ．2324
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -，
该几何体的体积为1111711132228
⎛⎫-⨯
⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ 故选B 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )
A ．132π
B ．7π
C ．152π
D ．8π
【答案】B
【解析】
【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．
【详解】
由题意可知：几何体是一个圆柱与一个
14的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2， 可得：该几何体的表面积为：22141212274
ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯=．
故选：B ．
【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
5．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）.
A 10
B ．3:1
C ．2:1
D 102 【答案】A
【解析】
【分析】
设圆锥SC 的底面半径为r ，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值.
【详解】
设圆锥SC 的底面半径为r ，则高为3r ，∴圆锥SC 的母线长22910l r r r =+=， ∴圆锥SC 的侧面积为210rl r ππ=；
圆柱OM 的底面半径为2r ，高为h ， 又圆锥的体积23133V r r r ππ=⋅=，234r h r ππ∴=，4
r h ∴=， ∴圆柱OM 的侧面积为2224rh rh r πππ⋅==，
∴圆锥SC 与圆柱OM 2210:10r r ππ=.
故选：A .
【点睛】
本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于基础题.
6．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段1CC 上，动点P 在平面．．1111D C B A 上，且AP ⊥平面1MBD .线段AP 长度的取值范围为( )
A ．2⎡⎣
B ．3⎡⎣
C ．32⎣
D ．62⎣ 【答案】D
【解析】
【分析】 以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，设(),,1P x y ，()0,1,M t ，由AP ⊥
平面1MBD ，可得+11x t y t =⎧⎨=-⎩
，然后用空间两点间的距离公式求解即可. 【详解】
以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，
则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,,0,0,1A B M t D ，(),,1P x y .
()1,,1AP x y =-u u u r ,()11,1,1BD =--u u u u r ,()[]1,0,0,1，BM t t =-∈u u u u r
由AP ⊥平面1MBD ，则0BM AP ⋅=u u u u r u u u r 且01BD AP ⋅=u u u u r u u u r
所以10x t -+=且110x y --+=得+1x t =，1y t =-. 所以()2
221311222AP x y t ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭u u u r 当12t =时，min 6AP =u u u r ，当0t =或1t =时，max 2AP =u u u r ， 62AP ≤≤u u u r 故选：D
【点睛】
本题考查空间动线段的长度的求法，考查线面垂直的应用，对于动点问题的处理用向量方法要简单些，属于中档题.
7．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点，则异面直线1C M 与BN 所成角的大小为（ ）
A ．30°
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解
【详解】
如图：
作AN 的中点'N ，连接'N M ，1'C N 由题设可知'N M BN P ，则异面直线1C M 与BN 所成角为1'N MC ∠或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，'5N M =，16C M =，1'41C N =2
1122''N M M C N C =+，即1'90N MC ∠=︒ 故选D
【点睛】
本题考查异面直线的求法，属于基础题
8．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ∈平面11AA B B ，点F 是线段1AA 的中点，若
1D E CF ⊥，则当EBC V 的面积取得最小值时，EBC ABCD S S
=△（ ） A ．25 B ．12 C ．5 D ．5 【答案】D
【解析】
【分析】
根据1D E CF ⊥分析出点E 在直线1B G 上，当EBC V 的面积取得最小值时，线段EB
的长度为点B 到直线1B G 的距离，即可求得面积关系．
【详解】
先证明一个结论P ：若平面外的一条直线l 在该平面内的射影垂直于面内的直线m ，则l ⊥m ，
即：已知直线l 在平面内的射影为直线OA ，OA ⊥OB ，求证：l ⊥OB .
证明：直线l 在平面内的射影为直线OA ，
不妨在直线l 上取点P ，使得PA ⊥OB ，OA ⊥OB ，OA ，PA 是平面PAO 内两条相交直线， 所以OB ⊥平面PAO ，PO ⊂平面PAO ，
所以PO ⊥OB ，即l ⊥OB .以上这就叫做三垂线定理.
如图所示，取AB 的中点G ，
正方体中：1111A C D B ⊥，CF 在平面1111D C B A 内的射影为11A C ，
由三垂线定理可得：11CF D B ⊥，
CF 在平面11A B BA 内的射影为FB ，1FB B G ⊥
由三垂线定理可得：1CF B G ⊥，1B G 与11D B 是平面11B D G 内两条相交直线， 所以CF ⊥平面11B D G ，
∴当点E 在直线1B G 上时，1D E CF ⊥，
设BC a =，则1122
EBC S EB BC EB a =
⨯⨯=⨯⨯△， 当EBC V 的面积取最小值时， 线段EB 的长度为点B 到直线1B G 的距离，
∴线段EB
，
EBC
ABCD S S ∴==△. 故选：D .
【点睛】
此题考查立体几何中的轨迹问题，通过位置关系讨论面积关系，关键在于熟练掌握线面垂直关系的判定和平面图形面积的计算.
9．已知平面α⊥平面β，l αβ=I ，a α⊂，b β⊂，则“a l ⊥”是“a b ⊥r r
”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】 根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案.
【详解】
由题意知，平面α⊥平面β，,,l a b αβαβ⋂=⊂⊂， 当a l ⊥时，利用面面垂直的性质定理，可得a b ⊥r r 成立，
反之当a b ⊥r r 时，此时a 与l 不一定是垂直的，
所以a l ⊥是a b ⊥r r 的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
10．在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，4AB BC BD ===，E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点，则直线EF 与平面ACD 所成角的余弦值（ ）
A ．13 B
．3 C
D
【答案】C
【解析】
【分析】
因为AB ，BC ，BD 两两垂直，以BA 为X 轴，以BD 为Y 轴，以BC 为Z 轴建立空间直角坐标系，求出向量EF u u u r 与平面ACD 的法向量n r ，再根据cos ,|
|||EF n EF n EF n ⋅〈〉=u u u r r u u u r r u u u r r ，即可得出答案.
【详解】
因为在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，
以BA 为X 轴，以BD 为Y 轴，以BC 为Z 轴建立空间直角坐标系，
又因为4AB BC BD ===；
()4,0,0,(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4)A B D C ，又因为E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点 所以(0,0,2),(2,2,0)E F 故()2,2,2EF =-u u u r ，(4,4,0)AD =-u u u r ，(4,0,4)AC =-u u u r .
设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00n AD n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩
u u u v v u u u v v 令1,x = 则1y z ==； 所以(1,1,1)n =r 1cos ,3
||||332EF n EF n EF n ⋅〈〉===⨯u u u r r u u u r r u u u r r 设直线EF 与平面ACD 所成角为θ ，则sin θ= cos ,EF n 〈〉u u u r r
所以222cos 1sin 3
θθ=-=
故选：C
【点睛】
本题主要考查线面角，通过向量法即可求出，属于中档题目.
11．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =,123
AA =D ，F 分别是棱AB ，1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则DEF ∆的周长的最小值为()
A ．222+
B ．232+
C ．62+
D ．72+
【答案】D
【解析】
【分析】 根据正三棱柱的特征可知ABC ∆为等边三角形且1AA ⊥平面ABC ，根据1AA AD ⊥可利用勾股定理求得2DF =；把底面ABC 与侧面11ACC A 在同一平面展开，可知当,,D E F 三点共线时，DE EF +取得最小值；在ADF ∆中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果.
【详解】
Q 三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱 ABC ∆∴为等边三角形且1AA ⊥平面ABC AD ⊂Q 平面ABC 1AA AD ∴⊥ 132DF ∴=+=
把底面ABC 与侧面11ACC A 在同一平面展开，如下图所示：
当,,D E F 三点共线时，DE EF +取得最小值
又150FAD ∠=o ，3AF =1AD =
()2
2min 32cos 42372DE EF AF AD AF AD FAD ⎛⎫∴+=+-⋅∠=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭DEF ∴∆72+
本题正确选项：D
本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距离的求解问题，利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.
12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ， N 分别为棱111,C D CC 的中点，以下四个结论：①直线DM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面.
【详解】
①：1CC 与DM 是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；
②：若AM BN 、平行，又AD BC 、平行且,AM AD A BN BC B ⋂=⋂=，所以平面BNC P 平面ADM ，明显不正确，故错误；
③：1BN MB 、不共面，所以是异面直线，故正确；
④：1AM DD 、不共面，所以是异面直线，故正确；
故选C.
【点睛】
异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.
13．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是（ ）
A ．,,m l m l βα⊥⊂⊥
B ．,,m l l m αβα⊥⋂=⊂
C ．//,,m l m l αβ⊥⊥
D ．,//,//l m l m αβ⊥
【答案】D
【解析】
A ，有可能出现α，β平行这种情况.
B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况.
C ，根据面面平行的性质定理判断.
D ，根据面面垂直的判定定理判断.
【详解】
对于A ，m l ⊥，m β⊂，若l β⊥，则//αβ，故A 错误；
对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；
对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，又因为l βαβ⊥⇒∥，故C 错误； 对于D ，l α⊥，m l m α⇒⊥∥，又由m βαβ⇒⊥∥，故D 正确.
故选：D
【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
14．设A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，ABC ∆是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D ABC -体积的最大值为27，则该球的表面积为（ ）
A ．36π
B ．64π
C ．100π
D ．144π
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，求出三棱锥D ABC -的外接球的半径，代入表面积公式求解．
【详解】
解：如图，
ABC ∆是斜边BC 长为6的等腰直角三角形，则当D 位于直径的端点时，三棱锥D ABC -体积取最大值为27，
由AB AC =，AB AC ⊥，6BC =，可得斜边BC 上的高3AE =，32AB AC == 由1132322732
DE ⨯⨯=，解得9DE =， 则2
1AE EF DE
==． ∴球O 的直径为10DE EF +=，
则球O 的半径为11052⨯=． ∴该球的表面积为245100S ππ=⨯=．
故选C ． 【点睛】 本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）
A ．若，与所成的角相等，则
B ．若，，则
C ．若
，，则 D ．若，，则 【答案】C
【解析】 试题分析：若，与所成的角相等，则或，相交或，异面；A 错. 若，
，则或，B 错. 若，，则正确. D ．若，，则 ，相交或，异面，D 错
考点：直线与平面，平面与平面的位置关系
16．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，A 点为长方体的一个顶点，B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为（ ）
A 29
B ．35
C 41
D ．213【答案】C
【解析】
【分析】 由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当B 点所在的棱长为2；②当B 点所在的棱长为4；③当B 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB 的距离即可得最短距离.
【详解】
由长方体的侧面展开图可得：
（1）当B 点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为
()22461101++=()2241661++=()2
246165++= （2）当B 点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为
()22226213++=；()22262217++=；()22262217++=. （3）当B 点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()2223441++=；()2224335++=；()2
223453++=. 综上所述，沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为41.
故选：C .
【点睛】
本题考查长方体的展开图，考查空间想象与推理能力，属于中等题.
17．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）
A ．12
B ．24
C ．22
D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】
如图建立空间直角坐标系，可证明1A D ⊥平面11ABC D ，故平面11ABC D 的一个法向量为：1DA u u u u r ，利用点到平面距离的向量公式即得解.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则：
1111(,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)22
O D A B C 111(,,0)22
OD ∴=--u u u u r 由于AB ⊥平面111,ADD A AD ⊂平面11ADD A
1AB A D ∴⊥，又11AD A D ⊥，1AB AD I
1A D ∴⊥平面11ABC D 故平面11ABC D 的一个法向量为：1(1
,0,1)DA =u u u u r O ∴到平面11ABC D 的距离为：
1111||224||2
OD DA d DA ⋅===u u u u r u u u u r u u u u r 故选：B
【点睛】
本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
18．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A ．122π
B ．12π
C ．82π
D ．10π
【答案】B
【解析】
分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 详解：根据题意，可得截面是边长为2
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，
所以其表面积为22(2)222212S πππ=+⋅⋅=，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
19．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，15AA =，垂直于1AA 的截面分别与面对角线1D A ，1B A ，1B C ，1D C 相交于四个不同的点E ，F ，G ，H ，则四棱锥1A EFGH -体积的最大值为（ ）.
A ．83
B ．1258
C ．12825
D ．64081
【答案】D
【解析】
【分析】
由直棱柱的特点和底面为正方形可证得四边形EFGH 为矩形，设点1A 到平面EFGH 的距离为()501t t <<，可表示出,EF FG ，根据四棱锥体积公式将所求体积表示为关于t 的函数，利用导数可求得所求的最大值.
【详解】
Q 四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1AA ∴⊥平面ABCD ，1AA ⊥平面1111D C B A ∴平面//EFGH 平面ABCD ，平面//EFGH 平面1111D C B A ，
由面面平行性质得：11EF //B D //GH ，EH //AC//FG ，
又11B D AC ⊥，EF FG ∴⊥，∴四边形EFGH 为矩形.
设点1A 到平面EFGH 的距离为()501t t <<，
1142AC B D ==Q )421EF t ∴=-，42FG t =，
∴四棱锥1A EFGH -的体积()()231
160532133
V t t t t t =⨯⨯-=-，
()2160233V t t '∴=-，∴当20,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，0V '>，当2,13t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '<， ∴当23t =
时，max 16048640392781V ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭. 故选：D .
【点睛】
本题考查立体几何中的体积最值的求解问题，关键是能够将所求四棱锥的体积表示为关于某一变量的函数的形式，进而利用导数来求解函数最值，从而得到所求体积的最值.
20．已知直线和不同的平面，下列命题中正确的是
A ．//m m αβαβ⊥⎫⇒⎬⊥⎭
B ．m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭
C ．//////m m ααββ⎫⇒⎬⎭
D ．////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭
【答案】D
【解析】
【分析】
对各个选项逐一进行分析即可
【详解】 A ，若αβ⊥，m β⊥，则有可能m α⊂，故A 错误
B ，若αβ⊥，m α⊂，则m 与β不一定垂直，可能相交或平行，故B 错误
C ，若//m α，//m β则推不出//αβ，面面平行需要在一个面内找出两条相交线与另一个平面平行，故C 错误
D ，若//αβ，m α⊂，则有//m β，故D 正确
故选D
【点睛】
本题考查了线面平行与面面平行的判断和性质，在对其判定时需要运用其平行的判定定理或者性质定理，所以要对课本知识掌握牢固，从而判断结果。