第2节函数的求导法则PPT课件

第二节 函数的求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
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思路:
( 构造性定义 )
本节内容
(C ) 0
( sin x ) cos x 证明中利用了
( ln x ) 1 x
两个重要极限
初等函数求导问题
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求导法则
其它基本初等函数求 导公式
一、四则运算求导法则
定理1.
的和、 差、 积、 商 (除分母
为 0的点外) 都在点 x 可导,
且
下面分三部分加以证明, 例题 .
(v(x) 0)
并同时给出相应的推论和
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(1) (u v) u v
证: 设 f (x) u(x) v(x) , 则
f (x) lim f (x h) f (x)
2) (uvw) uvw uvw uvw
3)
( loga
x )
第llnn5页ax/共26页x
1 ln
a
例1. y x ( x3 4cos x sin1) ,
解: y ( x ) ( x3 4cos x sin1)
x ( x3 4cos x sin1)
1 ( x3 4cos x sin1) x ( 3 x2 4sin x ) 2x
例.
1 x
x
1 x
3
4
3 4
1 x
1 4
对吗?
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3 4
1 x
1 4
1 x2
P97:8(
9) y x 1 x 1 , x1 x1
求 y .
解:
y 2x 2 x2 1 x x2 1
2
y 1 1 (2x) 1 x
2 x2 1
x2 1
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f (x) 0, y x
1
x y
且由反函数的连续性知
x 0时必有 y 0, 因此
f
( x)
lim
x0
y x
lim
y0
1
x y
[
f
1 1( y)]
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例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设
则
y ( , ) ,
22
在此开区间单调可导，且
(sin y) cos y 0 , 则
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例. 设 y 1 arctan 1 x2 1 ln
2
4
解: y 1
1
x
2 1 ( 1 x2 )2 1 x2
1 x2 1 , 求 y.
1 x2 1
1 1 x 1 x
4 1 x2 1 1 x2 1 x2 1 1 x2
1 2
x 1 x2
2
1 x2
1 x2
1
(2x x3) l1n( x12 x2 1) ln( 1 x2 1)
h0
h
h0
h
lim
h0
u(x
h) h
u(x) v(x)
v(x
v(x u(x)
h)v( x)
h) h
v(x)
u(
x
h)vu(x()xu)v(u(x(x)vxv)2)((vxxu())x( x)
v(
h)
x
)
推论: h v(x Cvh)v (x) Cv2第v7页/共( C26为页常数 )
故结论成立.
(C) 0
(x ) x1
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x (csc x) csc xcot x
(a x ) a x ln a
(ex ) e x
(loga
x)
1 x ln a
说明: 类似可得
(a x ) a x ln a .
a x e x lna
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例5. 设
求
解: 思考: 若
1 cos(e x )
( sin(e x ))
e x
e x tan(e x )
存在 , 如何求
f (lncos(e x )) 的导数?
d f f ( lncos(e x ) ) (lncos(e x )) dx
12 (3) , (8) ,(9), (10)
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感谢您的观看！
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例. 设
求
解：
例 . 设 y f ( f ( f (x))) , 其中 f (x) 可导, 求 y.
解: y f ( f ( f (x))) f ( f (x) ) f (x)
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例. 求下列函数的导数
解: (1) (2)
y b a b1 x
y
a
x
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二、反函数的求导法则
定理2. 设 y f ( x)为 x f 1( y) 的反函数 , f 1( y) 在
y 的某邻域内单调可导,
且 [ f 1( y)] 0
f
(
x
)
[
f
1
1
(
y
)]
或 dy dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量
x 0 , 由反函数的单调性知
y
f (x x)
y
x1
1 2
(1 4cos1 sin1)
( 3 4sin1)
77 sin1 2cos1
22 第6页/共26页
(3)
u v
uv uv v2
, 证: 设
f
(x)
u( x) v(x)
则有
u( x h) u( x)
f ( x) lim
f ( x h)
f (x) lim
v( x h) v( x)
u
dx du dv dx
f (u) (v) ( x)
v
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
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例4. 求下列导数:
解: (1) (2)
( x ) (e ln x )
x1
( x x ) (e x ln x )
( ln x)
x
( xln x) x x( ln x 1)
ln
a
( x )
b b
或
y
b
x
b
x
ln
b
a a a
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P 96~97 2 ; (2) , (8) , (10)
3 ; (2) , (3) 4 ;
5; 6 ; 7 ; (4) ,(6),(8),(10)
(2) , (5) , (8), (10)
8 ; 10; (4) , (5) , (8) , (10)
(sin y)
1 cos y
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos x arcsin x
2
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2) 设 y a x (a 0 , a 1) , 则 x loga y , y ( 0 , )
1
(loga y)
1
1
y lna
y ln a
特别当 a e 时, ( ex ) ex
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
hlim0u(
x
h) h
u(
x)
v(
x
h)
u(
x)
v(
x
h) h
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x)
故结论成立.
推论: 1) ( C u ) C u ( C为常数 )
小结:
(arcsin x)
(arccos x)
(arctan x) (a x ) a x ln a
(arccot x)
(ex ) ex
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三、复合函数求导法则
定理3.
在点 x 可导,
在点
可导
复合函数
在点 x 可导,
且
d y f (u)g( x) dx
证: y f (u) 在点 u 可导,
(arcsin x) 1
1 x2
(ln x) 1
x
(arccos x) 1
1 x2
(arctan
x)
1
1 x
2
(arc
cot
x)
1
1 x
2
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2. 有限次四则运算的求导法
则
(u v) u v
(Cu) Cu ( C为常数 )
(uv) uv uv
3. 复合函数求导法则
这两个记号含义不同
f (u) ulncos(ex )
练习: 设
y f ( f ( f ( x))),其中 f ( x)可导, 求 y.
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例6. 设
解:
1 1 1 2x
x x2 1
2 x2 1
1
x2 1
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四、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数 (P94)
故 lim y f (u) u0 u
y f (u)u u （当
时
)
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0)u
f (u)
d y lim y d x x0 x
lixm0第 12页/共26页
f (u)g( x)
推广：此法则可推广到多个中间变量的情
形.
例如,
y
dy dy du dv
例. y esin x2 arctan x2 1 ,求 y .
解: y (esin x2 cos x2 2x) arctan x2 1
esin
x2
(
1 x2
2
1 2x )
x2 1
2x cos x2 esin x2arctan x2 1 1 esin x2 x x2 1
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导
h0

h
lim [u(x h) v(x h) ] [u(x) v(x) ]
h0
h
lim u(x h) u(x) lim v(x h) v(x)
h0
h
h0
h
u(x) v(x)
故结论成立.
此法则可推广到任意有限项的情形.
例如,
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(2) (uv) uv uv
证: 设 f ( x) u( x)v( x) , 则有
u v
uv uv v2
(v 0)
y f (u) , u (x) dy dy d u f (u) (x)
dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导,
且导数仍为初等函数
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求导公式及求导法则 (见 P94)
注意: 1)
(uv) uv,
u v
u v
2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
例2. 求证
证:
(tan
x)
sin x cos x
(sin
x)cos x sin cos 2 x
x
(cos
x)
cos 2 x sin2 x cos 2 x
sec2 x
(csc
x)
1 sin
x
(sin sin 2
x) x
cos x
sin 2 x
csc x cot x
类似可证:
(cot x) csc2 x , (sec x) sec x tan x .