安徽省六安市舒城中学高三上学期第二次统考——数学理

安徽省六安市舒城中学 2019届高三上学期第二次统考
数学（理）试题
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合，，{|,,}M x x a b a A b B ==+∈∈，则中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
2.幂函数经过点，则是
（ ）
A ．偶函数，且在上是增函数
B ．偶函数，且在上是减函数
C ．奇函数，且在上是减函数
D ．非奇非偶函数，且在上是增函数 3.已知条件，条件，则是的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是
（ ） A ． B ． C ． D ．
5.函数的定义域为
（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6.设命题函数在定义域上为减函数，命题，当时，，以下说法正确的是
（ ）
A ．为真
B ．为真
C ．真假
D ．均假 7．函数的图象大致为
（ ）
A. B. C.
D. 8.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则
（ ） A ．
B ．
C ．-1
D ． 9.函数的图像与函数的图像的交点个数为
（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0
10.若为偶函数，则的解集为
（ ） A ． B ． C ．
D ．
11.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有， 则不等式2(2016)(2016)4(2)0x f x f ++-->的解集为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12.已知函数241,1,
()610,1,x x f x x x x -+>-⎧=⎨++≤-⎩
关于的不等式()220f x mx m ---<的解集是∪，若，
则实数的取值范围是
（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.命题：“对任意”的否定是 .
14. 函数12
log ,1
,1
x x x a x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为(,2)-∞,则参数的值是___ ______
15.已知函数，，若对于任意，存在，使，则实数的取值范围是__________． 16.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知函数2
()43,.f x x x a a R =-++∈
（Ⅰ）若函数在［-1，1］上存在零点，求的取值范围；
（Ⅱ）设函数()52,(0)g x bx b b =+-<，当时，若对任意的，总存在，使得，求的取值范围。

18. （本小题满分12分）如图，在三棱锥中，⊥底面，.点分别为棱的中点，是线段的中点，，.
(Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求二面角的正弦值；
19. （本小题满分12分）已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在上有
最小值1和最大值4，设. （Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若不等式在上有解，求实数的取值范围.
20. （本小题满分12分）已知函数2
1()(2)2
x f x a x e x x =-∙-
+. （Ⅰ）若，求函数在处切线方程； （Ⅱ）讨论函数的单调区间.
21. （本小题满分12分）已知椭圆22
221(0)y x a b a b +=>>的短轴长为2，且椭圆的顶点在圆
221
:(22
M x y +-
=上． (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦，求的最小值．
22. （本小题满分12分）已知函数，，（为自然对数的底数），且曲线 与在坐标原点处的切线相同. （Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若时，恒成立，试求实数的取值范围.
舒城中学2018-2019学年度高三第二次月考试卷
数学（理）试卷(答案)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
BDADC DAABC BA
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.命题：“对任意”的否定是 .
14. ___2 ____ 15. __________． 16. .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分） 解： (Ⅰ)对称轴,函数递减,则得 (Ⅱ)
18. （本小题满分12分）
解：由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为坐标原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→
方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0,0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0,0,1)，N (1,2,0)．
(Ⅰ)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→
＝(2,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．
又MN ―→＝(1,2，－1)，可得MN ―→·n ＝0.因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE .
(Ⅱ)易知n 1＝(1,0,0)为平面CEM 的一个法向量．设n 2＝(x 1，y 1，z 1)为平面EMN 的法向量， 又EM ―→＝(0，－2，－1)，MN ―→＝(1,2，－1)，则⎩⎪⎨
⎪⎧
n 2·EM ―→＝0，n 2·MN ―→＝0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
－2y 1－z 1＝0，
x 1＋2y 1－z 1＝0.不妨取y 1＝1，可得n 2＝(－4,1，－2)．
因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－4
21，
于是sin 〈n 1，n 2〉＝10521.所以二面角C -EM -N 的正弦值为105
21
. 19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）2
()(1)1g x a x b a =-++-，∵，∴在上是增函数， 故，解得.
（Ⅰ）由（1）知，，∴， ∴可化为，令，则，
∵，∴，∴，所以的取值范围是.
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）'()1()x x f x e x e x x R =--+∈，故切线斜率，， 所以，切线方程22(1)2(1)0e x y e ----=. （Ⅱ）令，，
当时，在上为增函数，在上为减函数， 当时，在，上为增函数，在上为减函数 当时，在上恒为增函数
当时，在，上为增函数，在上为减函数
21. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)由题意可知2b ＝2，b ＝1.又椭圆C 的顶点在圆M 上，则a ＝2， 故椭圆C 的方程为y 22
＋x 2
＝1.
(Ⅱ)当直线AB 的斜率不存在或为零时，|AB |＋|CD |＝32；
当直线AB 的斜率存在，且不为零时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，y 2
2＋x 2
＝1消去y ，整理得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1
k 2＋2，故|AB |＝1＋k 2·
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝
22
k 2＋
k 2＋2
.
同理可得：|CD |＝
22k 2＋
2k 2＋1，∴|AB |＋|CD |＝
62k 2＋2k 2＋k 2＋
令t ＝k 2＋1，则t ＞1,0<1
t <1，
∴|AB |＋|CD |＝
62t 2t －
t ＋
＝
62⎝⎛⎭⎫2－1t ⎝⎛⎭⎫1＋1t ＝62－⎝⎛⎭⎫1t －122＋
94，当0<1
t <1时，2＜－⎝⎛⎭⎫1t －122＋94≤9
4
， ∴833≤|AB |＋|CD |＜3 2 ，综上可知，833≤|AB |＋|CD |≤32，∴|AB |＋|CD |的最小值833.
22. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由于曲线与在坐标原点处的切线相同，即它们在原点的导数相同，，
'1
()1(1)1
g x x x =-
>-+，且切点为原点，，解得.所以，当时，；当时，，所以当时，取得最小值为 ∴当时，取得最小值为0.
（Ⅱ）方法一：由（1）知，，即，从而，即.
设()()()ln(1)(1)1x F x f x kg x e k x k x =-=++-+-，
则'()(1)1(1)11
x
k k
F x e k x k x x =+
-+≥++-+++， （1）当时，因为，∴'
1()1201
F x x x ≥++
-≥+（当且仅当时等号成立） 此时在上单调递增，从而，即. （2）当时，由于，所以， 又由（1）知，，所以，故， 即.（此步也可以直接证）
（3）当时，令()(1)1
x k
h x e k x =+
-++，则，
显然在上单调递增，又，'1
1)10h =->，
所以在上存在唯一零点， 当时，，∴在上单调递减， 从而，即，所以在上单调递减， 从而当时，，即，不合题意. 综上，实数的取值范围为.
方法二：设()()()ln(1)(1)1x F x f x kg x e k x k x =-=++-+-，
则，)1(1)('
+-++=k x k e x F x
，2
22'')
1()1()1()(+-+=+-=x k x e x k e x F x x
因为函数在上单调递增且。

所以当时在上恒成立在上单调增，又，所以在上恒成立，所以在上单调增，又，所以在上恒成立。

当时，存在实数使得，，在上单调递减，则，，在上单调递减，则则，与条件相矛盾舍去 综上，实数的取值范围为.。