福建省泉州市泉港区高三数学上学期期中试题 文-人教版高三全册数学试题

2017-2018学年上学期期中试卷
高三数学（文科）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1.已知集合{}6,4,2,0=P ，集合}3|{≤∈=x N x Q ，则=⋂Q P （）
A ．{}2
B ．{}2,0
C ．{}6,4,3,2,1,0
D ．{
}6,4,3,2,1 2.i 为虚数单位，复数1
1
+-=
i i z 的虚部为（） A ． 1 B ．0C ．i D ．以上都不对
3.
y x =，若顶点到渐近线的距离
为
）
A
144-= B ．1124-= C 4.已知||2a =，2a b a -⊥，则b 在a 方向上的投影为（） A.4- B.2- C.2D.4
5.已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，满足1()10a q -<且0q >，则
（） A.{}n a 的各项均为正数 B.{}n a 的各项均为负数 C.{
}n a 为递增数列 D.{}n a 为递减
数列
6.函数2
||ln y x x =-的图像大致为（）
A.B.C.D.
7. 已知点P 的坐标（x ，y ）满足，过点P 的直线l 与圆C ：x 2+y 2
=16相交于A ，B
两点，则|AB|的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.如图给出的是计算11
1
1352017
+++
+
的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是（ ）
A ．1008?i >
B ．1009?i ≤
C ．1010?i ≤
D ．1011?i <
9.设函数()cos 23sin 2f x x x =-，把()y f x =的图象向左平移2πϕϕ⎛
⎫< ⎪⎝
⎭个单位后，得到的
部分图象如图所示，则()f ϕ的值等于（ ）
A ．3-
B ．3
C ．1-
D ．1
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）
A ．8
23
π+ B ．4423π+ C ．8423π+ D ．10422π++
11. 已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和有最大值，若25
24
a a <-1，当其前n 项和Sn>0时n 的最大值是（）
A.24
B.25
C.47
D.48
12. 已知函数2,0
()21,0
x e x f x x x a x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，若函数()()1g x f x ax =--有4个零点，则实
数a 的取值X 围为（ ）
A ．(0,1)
B ．(0,2) C. (1,2)- D ．(1,)+∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若函数1,1
()(ln ),1x e x f x f x x ⎧+<=⎨≥⎩
，则()f e =
14.已知
2
π
απ<<，3sin 22cos αα=，则9sin()2
π
α-
=． 15.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
的上下顶点分别为A ，B ，右顶
点为C ，右焦点为F ，延长BF 与AC 交于点P ，若O ，F ，P ，A 四点共圆，则该椭圆的离心率为． 16．已知A ，B ，C 是圆x 2
+y 2
=1上互不相同的三个点，且满足||=||，则的取值X
围是．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且=2n n S a -3(1,2,)n =，
（Ⅰ）证明:数列{}n a 是等比数列；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足=2(=1,2,)n n b a +n n ⋅⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．
18．（本小题满分12分）
在△ABC 中，己知 9AB AC ⋅=，cos b c A =，又△ABC 的面积为6。

（Ⅰ）求△ABC 的三边长；
（Ⅱ）若D 为BC 边上的一点，且CD=1，求 tan BAD ∠．
19．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M 为PC 的中点，PC=
．
（Ⅰ）求证：PC ⊥AD ； （Ⅱ）求三棱锥M ﹣PAB 的体积．
20．已知抛物线E ：y 2
=2px （p ＞0）的焦点过为F ，过F 且倾斜角为的直线l 被E 截得的线
段长为8．
（Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过F ，且圆C 与直线x=相交于A ，B 两点，求|FA|•|FB|的取值X 围．
21. （本小题满分12分）
已知函数()x
e f x x
=．
（1）求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）设()()ln 2G x xf x x x =--，证明3()ln 22
G x >--．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为
(1,0)，若直线l 的极坐标方程为2cos()104π
ρθ+-=，曲线C 的参数方程是2
44x t y t
⎧=⎨
=⎩（t 为参数）.
（1）求直线l 和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求
11MA MB
+. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()22g x x x a =++-（a R ∈） （1）当3a =时，解不等式()4g x ≤；
（2）令()(2)f x g x =-，若()1f x ≥在R 上恒成立，某某数a 的取值X 围.
高三数学（文科）参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项
B
A
B
D
D
A
A
B
A
D
C
A
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.2 14.
22
3
15. 16. [﹣，）．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且=2n n S a -3(1,2,)n =，
（Ⅰ）证明:数列{}n a 是等比数列；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足=2(=1,2,)n n b a +n n ⋅⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T ． 解：（Ⅰ）证明：因为=2n n S a -3(1,2,)n =，则-1-1=2n n S a -3(2,3,)n = (1)
分
所以当2n ≥时，-1-1==22n n n n n a S S a a --，………………………3分 整理得-1=2n n a a ．………………………4分
由=2n n S a -3，令1n =，得11=2S a -3，解得1a =3．………………………5分 所以{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列．………………………6分 （Ⅱ）解：因为1
=32
n n a -⋅，………………………7分
由=2(=1,2,)n n b a +n n ⋅⋅⋅，得1
=32
n n b n -⋅+2．
所以n n T n 12-1
=3(1+2+2+⋅⋅⋅+2)+2(1+2+3+⋅⋅⋅+)………………………9分
1(12)(+1)=3+2122n n n -⋅-………………………11分
2=32++n n n ⋅-3
所以2
=32++n n T n n ⋅-3．………………………12分
18．（本小题满分12分）
在△ABC 中，己知 9AB AC ⋅=，cos b c A =，又△ABC 的面积为6。

（Ⅰ）求△ABC 的三边长；
（Ⅱ）若D 为BC 边上的一点，且CD=1，求 tan BAD ∠． 解：（Ⅰ）设三边分别为,,a b c
由正弦定理得cos sinB sinC A =，∴sin （A+C ）=sinCcosA ，…………2分 化为sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA ， ∴sinAcosC=0，可得cos 02
C C π
=⇒=
…………………………………4分
又cos 91
62
AB AC AB AC A S AB AC inA ⎧⋅⎪⎨=⎪⎩＝｜｜｜｜＝＝｜
｜｜｜s 两式相除可得4tan 3a
A b
== 令4,3(0)a k b k k ==> 则1
612
S ab k =
=⇒= ∴三边长分别为3，4，5， ……………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tan ∠BAC=
43，由三角函数定义知tan ∠DAC=1
3
，……9分 所以tan BAD ∠=tan （∠BAC-∠DAC ）=tan tan 1tan tan BAC DAC BAC DAC ∠-∠+∠∠=413341133
-
-⨯=9
13
……12 分
19．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M 为PC 的中点，PC=．
（Ⅰ）求证：PC ⊥AD ；
（Ⅱ）求三棱锥M ﹣PAB 的体积．
证明：（Ⅰ）证法一：连结AC ，
由已知得△PAD ，△ACD 均为正三角形，PA=AC ，PD=CD ， ∵M 为PC 的中点，∴PC ⊥AM ，PC ⊥DM ， 又AM ，DM ⊂平面AMD ，AM ∩DM=M ， ∴PC ⊥平面AMD ，
又AD ⊂平面AMD ，∴PC ⊥AD ．
证法二：取AD 的中点O ，连结OP ，OC ，AC ，
由已知得△PAD ，△ACD 均为正三角形，∴OC ⊥AD ，OP ⊥AD ，
又OC∩OP=O，OC，OP⊂平面POC，
∴AD⊥平面POC，
又OP⊂平面POC，∴PC⊥AD．
解：（Ⅱ）∵，PO=OC=，PC=，
∴PO2+OC2=PC2，∴PO⊥OC，
又OP⊥AD，OC∩AD=O，OC，AD⊂平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
又=，
∴三棱锥M﹣PAB的体积==．
20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点过为F，过F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过F，且圆C与直线x=相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值X围．
解：（Ⅰ）由题意，直线l 的方程为y=x ﹣，
联立，消去y 整理得，
设直线l 与抛物线E 的交点的横坐标为x 1，x 2，则x 1+x 2=3p ， 故直线l 被抛物线E 截得的线段长为x 1+x 2+p=4p=8，得p=2， ∴抛物线E 的方程为y 2
=4x ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F （1，0），设C （x 0，y 0），则圆C 的方程是，
令x=﹣，则，又
，
△==
＞0恒成立，
设A （），B （
，y 4），则y 3+y 4=2y 0，
，
∴|FA|•|FB|==
=
=
，
∵x 0≥0，∴|FA|•|FB|∈[3，+∞）．
21. （本小题满分12分）
已知函数()x e f x x
=．
（1）求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）设()()ln 2G x xf x x x =--，证明3()ln 22
G x >--
． 解之得621'5y -±=
P 的坐标为621(0,
5--或6221
(0,5
-+． 21.解：（1）2'()x x e x e f x x -=，2222
2'(2)24e e e f -==且2
(2)2e f =， 所以切线方程22(2)24e e y x -=-，即2
4
e y x =．
（2）由()()ln 2G x xf x x x =--(0)x >，
1
'()2x G x e x =--．
21
''()0x G x e x
=+>，所以'()G x 在(0,)+∞为增函数，
又因为'(1)30G e =-<，25
'(2)02
G e =->，
所以存在唯一0(1,2)x ∈，使0001'()20x
G x e x =-
-=，即00
1
2x e x =+且当0(0,)x x ∈时，'()0G x <，()G x 为减函数，0(,)x x ∈+∞时'()0G x >，()G x 为增函数，
所以0min 000000
1
()()ln 22ln 2x
G x G x e x x x x x ==--=+--，0(1,2)x ∈， 记1
()2ln 2H x x x x
=
+--，(12)x <<， 211
'()20H x x x
=---<，所以()H x 在(1,2)上为减函数，
所以13
()(2)2ln 24ln 222H x H >=+--=--，
所以03
()()ln 22
G x G x ≥>--．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为
(1,0)，若直线l
cos()104π
θ+-=，曲线C 的参数方程是2
44x t y t
⎧=⎨
=⎩（t 为参数）.
（1）求直线l 和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求
11MA MB
+.
解：
cos()10
4
π
ρθ+-=，
所以cos sin10
ρθρθ
--=
由cos,sin
x y
ρθρθ
==，
得10
x y
--=…………………………3分
因为
2
4
4
x t
y t
⎧=
⎨
=
⎩
，
，
消去t得24
y x
=
所以直线l和曲线C的普通方程分别为10
x y
--=和24
y x
=. …………4分
（Ⅱ）点M的直角坐标为(1,0)，点M在直线l上，
设直线l
的参数方程：
1
2
x
y
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
，
（t为参数），,A B对应的参数为
12
,t t
.
280
t--=
1212
8
t t t t
+==-…………………………7分
12
12
11t t
MA MB t t
-
+==
1
==…………………………10分
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()22
g x x x a
=++-（a R
∈）
（1）当3
a=时，解不等式()4
g x≤；
（2）令()(2)
f x
g x
=-，若()1
f x≥在R上恒成立，某某数a的取值X围.
解：（Ⅰ）依题意得()||2|1|4
g x x x
=+-≤
当1
x≥时，原不等式化为：2(1)4
x x
+-≤，解得12
x
≤≤
当01x ≤<时，原不等式化为：2(1)4x x +-≤，解得01x ≤< 当0x <时，原不等式化为：2(1)4x x -+-≤，解得203x -≤< 综上可得，不等式的解集为2|23x x ⎧
⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
…………………4分 （Ⅱ）()()(2)|2|2||f x g x x x a a R =-=-+-∈
时，
2>a ⎪⎩
⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a x a x a x a x x a x x f ,2232,222,223)(； 时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩
； 时，
2<a ⎪⎩
⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x a x a x x f ； 所以)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；
则⎩⎨⎧≥≥1
)2(1)(f a f ，所以|2|1a -≥
解得1≤a 或3≥a ……………10分。